David Cox, John Little, Donal O'Shea
Ideals, Varieties, and Algorithms
An Introduction to Computational Algebraic
Geometry and Commutative Algebra
© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.
Пер. с англ. Ю. Ю. Кочеткова
Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная

Монография известных американских математиков посвящена изложению результатов бурно развивающейся области, связанной с алгоритмами, превращающими базисные понятия коммутативной алгебры и алгебраической геометрии из абстрактно-теоретических в конкретно вычислимые. Обсуждение алгоритмов основывается на обобщении алгоритма деления для полиномов от одной переменной, найденном лишь в шестидесятых годах. Эти алгоритмы в соединении с мощью быстрых компьютеров привели к некоторым интересным приложениям — например, в роботике и в доказательстве геометрических теорем.

Для математиков-теоретиков, специалистов по компьютерной технике и инженеров, а также для студентов соответствующих специальностей.

В алгебраической геометрии изучаются системы полиномиальных уравнений от одной и более переменных. В частности, в ней ставятся такие вопросы: конечно ли количество решений данной системы, и если конечно, то как их найти, а если бесконечно, то как их можно описать и как с ними обращаться?
Решения системы полиномиальных уравнений образуют геометрический объект, называемый многообразием. Ему соответствует алгебраический объект — идеал. Между идеалами и многообразиями существует тесная взаимосвязь которая отражает глубокую связь между алгеброй и геометрией.
По уровню изложения доступная студентам, книга, которую мы предлагаем вниманию читателя, содержит такой материал, как теорема Гильберта о базисе, теорема о нулях, теория инвариантов, проективная геометрия и теория размерности.

Предисловие к русскому изданию	5

Предисловие к первому изданию	6

Предисловие ко второму изданию	9

1 Геометрия, алгебра и алгоритмы	11
§1. Полиномы и аффинное пространство	11
§2. Аффинные многообразия	17
§3. Параметризации аффинных многообразий	28
§4. Идеалы	45
§5. Полиномы от одной переменной	56

2 Базисы Грёбнера	70
§1. Введение	70
§2. Упорядочение мономов в k[x₁ , …, х_n]	75
§3. Алгоритм деления в k[x₁ , …, х_n]	85
§4. Мономиальные идеалы и лемма Диксона	95
§5. Теорема Гильберта о базисе и базисы Грёбнера	102
§6. Свойства базисов Грёбнера	111
§7. Алгоритм Бухбергера	119
§8. Первые применения базисов Грёбнера	128
§9. Дополнение. Усовершенствования алгоритма Бухбергера	136

3 Теория исключения	151
§1. Теоремы об исключении и продолжении	151
§2. Геометрия исключения	161
§3. Неявное представление	167
§4. Особые точки и огибающие	179
§5. Единственность разложения на множители и результанты	194
§6. Результанты и теорема о продолжении	209

4 Алгебро-геометрический «словарь»	221
§1. Теорема Гильберта о нулях	221
§2. Радикальные идеалы и соответствие идеал — многообразие	229
§3. Суммы, произведения и пересечения идеалов	238
§4. Замыкание Зарисского и частные идеалов	250
§5. Неприводимые многообразия и простые идеалы	256
§6. Разложение многообразия в объединение неприводимых	263
§7. Дополнение. Примарное разложение идеалов	270
§8. Сводка результатов	275

5 Полиномиальные и рациональные функции на многообразии	276
§1. Полиномиальные отображения	276
§2. Факторкольца полиномиальных колец	284
§3. Алгоритмические вычисления в k[x₁ , …, х_n]/I	295
§4. Координатное кольцо аффинного многообразия	306
§5. Рациональные функции на многообразии	318
§6. Дополнение. Доказательство теоремы о замыкании	330

6 Роботика и автоматическое доказательство геометрических теорем	339
§1. Геометрическое описание роботов	339
§2. Прямая кинематическая задача	345
§3. Обратная кинематическая задача и планирование движения	353
§4. Автоматическое доказательство геометрических теорем	369
§5. Метод By	388

7 Теория инвариантов конечных групп	399
§1. Симметрические полиномы	399
§2. Конечные матричные группы и кольца инвариантов	412
§3. Образующие кольца инвариантов	422
§4. Соотношения между образующими и геометрия орбит	433

8 Проективная алгебраическая геометрия	448
§1. Проективная плоскость	448
§2. Проективное пространство и проективные многообразия	461
§3. Проективный алгебро-геометрический словарь	475
§4. Проективное замыкание аффинного многообразия	485
§5. Проективная теория исключения	494
§6. Геометрия квадрик	513
§7. Теорема Безу	530

9 Размерность многообразия	549
§1. Многообразие мономиального идеала	549
§2. Дополнение мономиального идеала	554
§3. Функция Гильберта и размерность многообразия	570
§4. Элементарные свойства размерности	585
§5. Размерность и алгебраическая независимость	596
§6. Размерность и неособость	606
§7. Касательный конус	620

А Некоторые понятия из алгебры	637
§1. Поля и кольца	637
§2. Группы	639
§3. Определители	640

В Псевдокод	642
§1. Вход, выход, переменные и константы	643
§2. Операторы присваивания	643
§3. Операторы цикла	644
§4. Условный оператор	645

С Системы компьютерной алгебры	646
§1. AXIOM	647
§2. Maple	650
§3. Mathematica	653
§4. REDUCE	655
§5. Другие системы	661

D Темы для самостоятельных исследований	664
§1. Общие замечания	664
§2. Предлагаемые темы	664

Литература	671

Предметный указатель	676

Книги на ту же тему

Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений: Популярное введение в теорию чисел и арифметическую теорию сложности, Гашков С. Б., Чубариков В. Н., 1996
Теория алгоритмов: основные открытия и приложения, Успенский В. А., Семёнов А. Л., 1987
Элементы криптографии (Основы теории зашиты информации): Учебное пособие для университетов и пед. вузов, Нечаев В. И., 1999
Коды и математика (рассказы о кодировании), Аршинов М. Н., Садовский Л. Е., 1983
Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры, Робинсон А., 1967
n-угольники, Бахман Ф., Шмидт Э., 1973

elapsed time 0.030 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему