Математика

Асимптотика и специальные функции — Олвер Ф.

Асимптотика и специальные функции
Научное издание

год издания — 1990, кол-во страниц — 528, ISBN — 5-02-014228-X, тираж — 6100, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б, масса книги — 820 гр., издательство — Физматлит

цена: 1000.00 руб

Сохранность книги — оличная

Пер. с англ. Ю. А. Брычкова

Формат 70x108 1/16. Бумага типографская №2. Печать высокая

Содержит последовательное и систематическое изложение двух областей анализа — теории асимптотических разложений и теории специальных функций. Отличается своеобразным переплетением этих теорий, обстоятельностью изложения и сравнительной элементарностью. В основу положен курс лекций, читавшийся автором в течение ряда лет в Мэрилендском университете.

Для широкого круга научных работников — математиков, физиков, инженеров, а также студентов и аспирантов, специализирующихся в области вычислительной математики и математической физики.

Книга известного американского математика Ф. У. Дж. Олвера посвящена двум областям анализа — теории асимптотических разложений и теории специальных функций. Она отличается своеобразным переплетением этих теорий, обстоятельностью изложения и сравнительной элементарностью.

В США книга вышла в двух вариантах. Первый [Olver F. W. J., Asymptotics and Special Functions,— N. Y., L.: Academic Press, 1974.— 584 p.], полный, содержащий 14 глав, во многих отношениях дополняет ряд известных монографий, посвящённых асимптотике и специальным функциям.

Второй [Olver F. W. J., Introduction to Asymptotics and Special Functions.— N. Y., L.: Academic Press, 1974.— 297 p.], сокращённый — первые 7 глав полного — предназначен в качестве учебного пособия для лиц, желающих начать изучение асимптотических методов и специальных функций.

Перевод сокращённого варианта был опубликован на русском языке в 1978 г. [Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции.— М.: Наука, 1978.— 376 с.].

В связи с тем, что книга Ф. У. Дж. Олвера быстро приобрела популярность и стала почти библиографической редкостью, а также в связи с интересом к полному варианту, который отличается широтой охвата предмета, сочтено целесообразным предложить вниманию читателей полный вариант этой книги.

Удачная структура книги, интересные примеры и задачи, а также исторические сведения и литературные ссылки, содержащиеся в каждой главе, облегчают изучение книги.

Эти обстоятельства позволяют надеяться, что новое полное издание книги Ф. У. Дж. Олвера будет с интересом встречено широким крутом советских читателей — научных работников, аспирантов, инженеров и студентов высших учебных заведений.

После выхода в свет английского издания этой книги был опубликован ряд монографий на русском языке, посвящённых теории асимптотических разложений интегралов и решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В серии книг Э. Я. Риекстыньша «Асимптотические разложения интегралов».— Рига: Зинатне, 1974, т. I, 1977, т. 2, 1981, т. 3 и «Оценки остатков в асимптотических разложениях».— Рига: Зинатне, 1986, разработаны общие методы построения асимптотических разложений интегралов и получены асимптотические разложения различных классов интегралов. Изучены также различные методы получения точных оценок остатков асимптотических рядов.

В монографиях М. В. Федорюка «Метод перевала».— М.: Наука, 1977, «Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений».— М.: Наука, 1983 и «Асимптотика: интегралы и ряды».— М.: Наука, 1987, рассмотрены и обобщены основные методы вычислений асимптотики интегралов и рядов, содержащих большой параметр: метод Лапласа, метод стационарной фазы, метод перевала, как в одномерном, так и в многомерном случаях, изложены асимптотические методы решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе в комплексной области.

В совокупности указанные выше книги Ф. У. Дж. Олвера и советских авторов позволят читателям овладеть основными асимптотическими методами математического анализа.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ

А. П. Прудников

Предисловие к русскому переводу	7
Предисловие к книге «Asymptotics and Special Functions»	9

Г л а в а 1. Введение в асимптотические методы	11

§ 1. Происхождение асимптотических разложений	11
§ 2. Символы ~, о и О	14
§ 3. Символы ~, о и О (продолжение)	16
§ 4. Интегрирование и дифференцирование асимптотических
соотношений и отношений порядка	17
§ 5. Асимптотическое решение трансцендентных уравнений:
действительные переменные	20
§ 6. Асимптотическое решение трансцендентных уравнений:
комплексные переменные	23
§ 7. Определение и основные свойства асимптотических разложений	24
§ 8. Операции над асимптотическими разложениями	27
§ 9. Функции, имеющие заданные асимптотические разложения	30
§ 10. Обобщения определения Пуанкаре	32
§ 11. Анализ остаточных членов; вариационный оператор	34
Исторические сведения и дополнительные ссылки	37

Г л а в а 2. Введение в специальные функции	38

§ 1. Гамма-функция	38
§ 2. Пси-функция	44
§ 3. Интегральные функции: показательная, логарифмическая, синус и
косинус	45
§ 4. Интеграл вероятностей, интеграл Досона и интегралы Френеля	49
§ 5. Неполная гамма-функция	50
§ 6. Ортогональные полиномы	51
§ 7. Классические ортогональные полиномы	54
§ 8. Интеграл Эйри	58
§ 9. Функция Бесселя J_ν(z)	60
§ 10. Модифицированная функция Бесселя I_ν(z)	65
§ 11. Дзета-функция	66
Исторические сведения и дополнительные ссылки	69

Г л а в а 3. Интегралы в действительной области	70

§ 1. Интегрирование по частям	70
§ 2. Интегралы Лапласа	71
§ 3. Лемма Ватсона	74
§ 4. Лемма Римана-Лебега	76
§ 5. Интегралы Фурье	78
§ 6. Примеры; случаи, когда метод неэффективен	79
§ 7. Метод Лапласа	83
§ 8. Асимптотические разложения на основе метода Лапласа;
гамма-функция при больших значениях аргумента	88
§ 9*. Оценки остаточных членов для леммы Ватсона и метода Лапласа	91
§ 10*. Примеры	95
§11. Метод стационарной фазы	98
§ 12. Предварительные леммы	100
§ 13. Асимптотическая природа метода стационарной фазы	102
§ 14*. Асимптотические разложения на основе метода стационарной фазы	105
Исторические сведения и дополнительные ссылки	106

Г л а в а 4. Контурные интегралы	108

§ 1. Интеграл Лапласа с комплексным параметром	108
§ 2. Неполная гамма-функция комплексного аргумента	111
§ 3. Лемма Ватсона	113
§ 4. Интеграл Эйри с комплексным аргументом; составные
асимптотические разложения	117
§ 5. Отношение двух гамма-функций; лемма Ватсона для интегралов по
петле	119
§ 6. Метод Лапласа для контурных интегралов	122
§ 7. Точки перевала	126
§ 8. Примеры	128
§ 9. Функции Бесселя при больших значениях аргументов и порядка	130
§ 10*. Оценки остаточного члена для метода Лапласа; метод
наибыстрейшего спуска	134
Исторические сведения и дополнительные ссылки	137

Г л а в а 5. Дифференциальные уравнения с регулярными особыми точками;
гипергеометрическая функция и функции Лежандра	138

§ 1. Теорема существования для линейных дифференциальных
уравнений: действительные переменные	138
§ 2. Уравнения, содержащие действительный или комплексный параметр	141
§ 3. Теоремы существования для линейных дифференциальных
уравнений: комплексные переменные	143
§ 4. Классификация особых точек; свойства решений в окрестности
регулярной особой точки	146
§ 5. Второе решение в случае, когда разность показателей равна целому
числу или нулю	148
§ 6. Большие значения независимой переменной	151
§ 7. Численно удовлетворительные решения	152
§ 8. Гипергеометрическое уравнение	153
§ 9. Гипергеометрическая функция	156
§ 10. Другие решения гипергеометрического уравнения	160
§ 11. Обобщённые гипергеометрические функции	164
§ 12. Присоединённое уравнение Лежандра	165
§ 13. Функции Лежандра при произвольных значениях степени и порядка	170
§ 14. Функции Лежандра при целых значениях степени и порядка	176
§ 15. Функции Феррерса	181
Исторические сведения и дополнительные ссылки	184

Г л а в а 6. Приближение Лиувилля-Грина	186

§ 1. Преобразование Лиувилля	186
§ 2. Оценки остаточных членов: действительные переменные	189
§ 3. Асимптотические свойства относительно независимой переменной	193
§ 4. Сходимость V(F) в особой точке	196
§ 5. Асимптотические свойства относительно параметров	199
§ 6. Пример: функции параболического цилиндра при больших значениях
порядка	202
§ 7. Одно специальное обобщение	204
§ 8*. Нули	207
§ 9*. Задачи на собственные значения	210
§ 10. Теоремы о сингулярных интегральных уравнениях	213
§ 11. Оценки остаточных членов: комплексные переменные	216
§ 12. Асимптотические свойства в случае комплексных переменных	219
§ 13. Выбор поступательных путей	220
Исторические сведения и дополнительные ссылки	223

Г л а в а 7. Дифференциальные уравнения с иррегулярными особыми точками;
функции Бесселя и вырожденная гипергеометрическая функция	224

§ 1. Решения в виде формальных рядов	224
§ 2. Асимптотическая природа формальных рядов	226
§ 3. Уравнения, содержащие параметр	231
§ 4. Функции Ганкеля; явление Стокса	232
§ 5. Функция Y_ν(z)	236
§ 6. Нули функции J_ν(z)	239
§ 7. Нули функции Y_ν(z) и других цилиндрических функций	242
§ 8. Модифицированные функции Бесселя	244
§ 9. Вырожденное гипергеометрическое уравнение	248
§ 10. Асимптотические решения вырожденного гипергеометрического
уравнения	250
§ 11. Функции Уиттекера	253
§ 12*. Оценки остаточного члена для асимптотических решений в общем
случае	255
§ 13*. Оценки остаточного члена для разложений Ганкеля	259
§ 14*. Неоднородные уравнения	262
§ 15*. Уравнение Струве	267
Исторические сведения и дополнительные ссылки	270

Г л а в а 8. Суммы и последовательности	271

§ 1. Формула Эйлера-Маклорена и полиномы Бернулли	271
§ 2. Приложения	276
§ 3. Контурный интеграл для остаточного члена	281
§ 4. Ряд Стирлинга для lnΓ(z)	284
§ 5*. Суммирование по частям	286
§ 6. Интеграл Барнса для гипергеометрической функции	290
§ 7. Дальнейшие примеры	293
§ 8. Асимптотические разложения целых функций	297
§ 9. Коэффициенты степенных рядов. Метод Дарбу	299
§ 10. Примеры	300
§ 11*. Обратное преобразование Лапласа; метод Хаара	305
Исторические сведения и дополнительные ссылки	310

Г л а в а 9. Интегралы: дальнейшие методы	311

§ 1. Логарифмические особенности	311
§ 2. Обобщения метода Лапласа	314
§ 3*. Примеры из комбинаторной теории	318
§ 4. Обобщения метода Лапласа (продолжение)	320
§ 5. Примеры	322
§ 6. Более общие ядра	324
§ 7. Интеграл Никольсона для J_ν²(s) + Y_ν²(z)	328
§ 8. Осцилляторные ядра	330
§ 9. Метод Блайстейна	332
§ 10. Пример	334
§ 11. Метод Честера, Фридмана и Урселла	339
§ 12. Функции Ангера при большом значении порядка	339
§ 13*. Расширение области справедливости	345
Исторические сведения и дополнительные ссылки	348

Г л а в а 10. Дифференциальные уравнения с параметром: разложения по
элементарным функциям	349

§ 1. Классификация и предварительные преобразования	349
§ 2. Случай I: решения в виде формальных рядов	351
§ 3. Оценки остаточных членов для формальных решений	353
§ 4. Поведение коэффициентов в особой точке	355
§ 5*. Поведение коэффициентов в особой точке (продолжение)	356
§ 6*. Асимптотические свойства относительно параметра	358
§ 7. Модифицированные функции Бесселя при больших значениях
порядка	360
§ 8*. Расширение областей справедливости разложений
модифицированных функций Бесселя	365
§ 9*. Более общий вид дифференциального уравнения	368
§ 10*. Неоднородные уравнения	372
§ 11*. Пример: неоднородная форма модифицированного уравнения Бесселя	374
Исторические сведения и дополнительные ссылки	376

Г л а в а 11. Дифференциальные уравнения с параметром: точки поворота	377

§ 1. Функции Эйри: действительный аргумент	377
§ 2. Вспомогательные функции для действительных переменных	379
§ 3. Первое приближение	382
§ 4. Асимптотические свойства приближения; функции Уиттекера при
большом m	385
§ 5*. Действительные нули функций Эйри	388
§ 6*. Нули первого приближения	389
§ 7. Высшие приближения	393
§ 8. Функции Эйри: комплексный аргумент	397
§ 9. Асимптотические приближения для комплексных переменных	400
§ 10. Функции Бесселя при большом значении порядка	402
§ 11*. Дифференциальные уравнения более общего вида	408
§ 12*. Неоднородные уравнения	411
Исторические сведения и дополнительные ссылки	415

Г л а в а 12. Дифференциальные уравнения с параметром: простые полюсы
и другие точки поворота	416

§ 1. Функции Бесселя и модифицированные функции Бесселя при
действительных значениях порядка и аргумента	416
§ 2. Случай III: решения в виде формальных рядов	418
§ 3. Оценки остаточных членов: ζ > 0	421
§ 4. Оценки остаточных членов: ζ < 0	423
§ 5. Асимптотические свойства разложений	427
§ 6*. Вычисление фазового сдвига	428
§ 7*. Нули	431
§ 8. Вспомогательные функции при комплексных аргументах	432
§ 9. Оценки остаточных членов: комплексные значения u и ζ	436
§ 10*. Асимптотические свойства при комплексных переменных	438
§ 11*. Поведение коэффициентов на бесконечности	440
§ 12. Функции Лежандра при большом значении порядка:
действительные переменные	441
§ 13. Функции Лежандра при большом значении порядка: комплексные
переменные	447
§ 14*. Другие типы точек поворота	450
Исторические сведения и дополнительные ссылки	454

Г л а в а 13. Формулы связи для решений дифференциальных уравнений	456

§ 1. Введение	456
§ 2. Формулы связи в особой точке	456
§ 3. Дифференциальные уравнения с параметром	458
§ 4. Формулы связи в случае III	459
§ 5. Приложения к простым полюсам	461
§ 6. Примеры: присоединенное уравнение Лежандра	465
§ 7. Формулы Ганса-Джеффриса: действительные переменные	466
§ 8. Две точки поворота	469
§ 9*. Связанные состояния	471
§ 10. Прохождение волны через барьер. I	475
§ 11. Основная формула связи для простой точки поворота в
комплексной плоскости	477
§ 12. Пример: уравнение Эйри	480
§ 13. Выбор поступательных путей	481
§ 14. Формулы Ганса-Джеффриса: метод комплексной переменной	483
§ 15. Прохождение волны через барьер. II	486
Исторические сведения и дополнительные ссылки	489

Г л а в а 14. Численные оценки остаточных членов	491

§ 1. Численные приложения асимптотических приближений	491
§ 2. Множители сходимости	493
§ 3. Интегральная показательная функция	494
§ 4. Интегральная показательная функция (продолжение)	498
§ 5*. Вырожденная гипергеометрическая функция	502
§ 6. Преобразование Эйлера	506
§ 7. Применение к асимптотическим разложениям	510
Исторические сведения и дополнительные ссылки	513

Ответы к упражнениям	514
Список литературы	516

Книги на ту же тему

Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, Вазов В., 1968
Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности, Галицын А. С., Жуковский А. Н., 1976
Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989
Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — 3-е изд., испр. и доп., Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., 1963
Асимптотические разложения, Копсон Э. Т., 1966
Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ), Хединг Д., 1965
Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений, Богаевский В. Н., Повзнер А. Я., 1987
Задачи и теоремы из анализа: В 2 ч. — 3-е изд. (комплект из 2 книг), Пойа Д., Сеге Г., 1978
Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1967
Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции, Комаров И. В., Пономарев Л. И., Славянов С. Ю., 1976
Таблицы интегральных преобразований. Том II. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1970
Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд., стереотип., Градштейн И. С., Рыжик И. М., 1971
Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 5-е изд., Двайт Г. Б., 1977
Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Крейн С. Г., 1967

http://knigoprovod.ru

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему