1. Основные определения (13). 2. Операции над множествами (13).

1. Отображение множеств. Общее понятие функции (16). 2. Разбиение на классы. Отношения эквивалентности (18).

1. Конечные и бесконечные множества (21), 2. Счётные множества (22). 3. Эквивалентность множеств (24). 4. Несчётность множества действительных чисел (26). 5. Теорема Кантора-Бернштейна (28). 6. Понятие мощности множества (28).

1. Частично упорядоченные множества (31). 2. Отображения, сохраняющие порядок (32). 3. Порядковые типы. Упорядоченные множества (33). 4. Упорядоченная сумма упорядоченных множеств (34). 5. Вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа (34). 6. Сравнение порядковых чисел (36). 7. Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентные им утверждения (38). 8. Трансфинитная индукция (40).

1. Кольцо множеств (41). 2. Полукольцо множеств (42). 3. Кольцо, порождённое полукольцом (44). 4. σ-алгебры (45). 5. Системы множеств и отображения (46).

1. Определение и основные примеры (48). 2. Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия (55).

1. Предельные точки. Замыкание (56). 2. Сходимость (58). 3. Плотные подмножества (59). 4. Открытые и замкнутые множества (60). 5. Открытые и замкнутые множества на прямой (62).

1. Определение и примеры полных метрических пространств (66). 2. Теорема о вложенных шарах (69). 3. Теорема Бэра (70). 4. Пополнение пространства (71).

1. Принцип сжимающих отображений (74). 2. Простейшие применения принципа сжимающих отображений (75). 3. Теоремы существования и единственности для дифференциальных уравнений (78). 4. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям (81).

1. Определение и примеры топологических пространств (83). 2. Сравнение топологий (85). 3. Определяющие системы окрестностей. База. Аксиомы счётности (86). 4. Сходящиеся последовательности в Т (90). 5. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм (91). 6. Аксиомы отделимости (94). 7. Различные способы задания топологии в пространстве. Метризуемость (97).

1. Понятие компактности (98). 2. Непрерывные отображения компактных пространств (101). 3. Непрерывные и полунепрерывные функции на компактных пространствах (101). 4. Счётная компактность (103). 5. Предкомпактные множества (105).

1. Полная ограниченность (106). 2. Компактность и полная ограниченность (107). 3. Предкомпактные подмножества в метрических пространствах (109). 4. Теорема Арцела (109). 5. Теорема Пеано (111). 6. Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов (113). 7. Обобщённая теорема Лрцела (114).

1. Определение и примеры линейных пространств (119). 2. Линейная зависимость (121). 3. Подпространства (122). 4. Фактор-пространства (123). 5. Линейные функционалы (124). 6. Геометрический смысл линейного функционала (126).

1. Выпуклые множества и выпуклые тела (128). 2. Однородно-выпуклые функционалы (130). 3. Функционал Минковского (132). 4. Теорема Хана-Банаха (134). 5. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве (137).

1. Определение и примеры нормированных пространств (139). 2. Подпространства нормированного пространства (140). 3. Фактор-пространства нормированного пространства (141).

1. Определение евклидовых пространств (143). 2. Примеры (145). 3. Существование ортогональных базисов, ортогонализация (147). 4. Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы (149). 5. Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса-Фишера (152). 6. Гильбертово пространство. Теорема об изоморфизме (155). 7. Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма (158). 8. Характеристическое свойство евклидовых пространств (161). 9. Комплексные евклидовы пространства (164).

1. Определение и примеры (167). 2. Локальная выпуклость (169). 3. Счётно-нормированные пространства (170).

1. Непрерывные линейные функционалы в топологических линерных пространствах (174). 2. Линейные функционалы на нормированных пространствах (175). 3. Теорема Хана-Банаха в нормированном пространстве (179). 4. Линейные функционалы в счётно-нормированном пространстве (181).

1. Определение сопряжённого пространства (182). 2. Сильная топология в сопряжённом пространстве (182). 3. Примеры сопряжённых пространств (185). 4. Второе сопряжённое пространство (190).

1. Слабая топология и слабая сходимость в линейном топологическом пространстве (192). 2. Слабая сходимость в нормированных пространствах (194). 3. Слабая топология и слабая сходимость в сопряжённом пространстве (197). 4. Ограниченные множества в сопряжённом пространстве (199).

1. Расширение понятия функции (203). 2. Пространство основных функций (204). 3. Обобщённые функции (205). 4. Действия над обобщёнными функциями (207). 5. Достаточность запаса основных функций (210). 6. Восстановление функции по производной. Дифференциальные уравнения в классе обобщённых функций (211). 7. Некоторые обобщения (214).

1. Определение и примеры линейных операторов (218). 2. Непрерывность и ограниченность (222). 3. Сумма и произведение операторов (223). 4. Обратный оператор, обратимость (224). 5. Сопряжённые операторы (230). 6. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые операторы (232). 7. Спектр оператора. Резольвента (234).

1. Определение и примеры компактных операторов (237). 2. Основные свойства компактных операторов (241). 3. Собственные значения компактного оператора (244). 4. Компактные операторы в гильбертовом пространстве (245). 5. Самосопряжённые компактные операторы в H (246).

1. Мера элементарных множеств (251). 2. Лебегова мера плоских множеств (256). 3. Некоторые дополнения и обобщения (262).

1. Определение меры (265). 2. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо (266). 3. σ-аддитивность (268).

1. Лебегово продолжение меры, определённой на полукольце с единицей (271). 2. Продолжение меры, заданной на полукольце без единицы (274). 3. Расширение понятия измеримости в случае σ-конечной меры (276). 4. Продолжение меры по Жордану (279). 5. Однозначность продолжения меры (280).

1. Определение и основные свойства измеримых функций (282). 2. Действия над измеримыми функциями (283). 3. Эквивалентность (285). 4. Сходимость почти всюду (286). 5. Теорема Егорова (287). 6. Сходимость по мере (288). 7. Теорема Лузина. C-свойство (291).

1. Простые функции (292). 2. Интеграл Лебега для простых функций (292). 3. Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры (294). 4. σ-аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега (298). 5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега (302). 6. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры (306). 7. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана (307).

1. Произведения систем множеств (310). 2. Произведения мер (312). 3. Выражение плоской меры через интеграл линейной меры сечений и геометрическое определение интеграла Лебега (314). 4. Теорема Фубини (316).

1. Основные свойства монотонных функций (321). 2. Дифференцируемость монотонной функции (324). 3. Производная интеграла по верхнему пределу (331).

1. Заряды. Разложение Хана и разложение Жордана (349). 2. Основные типы зарядов (352). 3. Абсолютно непрерывные заряды. Теорема Радона-Никодима (353).

1. Меры Стилтьеса (356). 2. Интеграл Лебега-Стилтьеса (358). 3. Некоторые применения интеграла Лебега-Стилтьеса в теории вероятностей (360). 4. Интеграл Римана-Стилтьеса (362). 5. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса (366). 6. Общий вид линейных непрерывных функционалов в пространстве непрерывных функций (369).

1. Определение и основные свойства пространства L₁ (375). 2. Всюду плотные множества в L₁ (377).

1. Определение и основные свойства (380). 2. Случай бесконечной меры (384). 3. Всюду плотные множества в L₂. Теорема об изоморфизме (385). 4. Комплексное пространство L₂ (387). 5. Сходимость в среднем квадратичном и её связь с другими типами сходимости функциональных последовательностей (387).

1. Тригонометрическая система. Тригонометрический ряд Фурье (390). 2. Тригонометрические системы на отрезке [0, π] (393). 3. Ряд Фурье в комплексной форме (394). 4. Многочлены Лежандра (395). 5. Ортогональные системы в произведениях. Кратные ряды Фурье (397). 6. Многочлены, ортогональные относительно данного веса (399). 7. Ортогональный базис в пространствах L₂ (-¥, ¥) и L₂(0, ¥). (401). 8. Ортогональные многочлены с дискретным весом (402). 9. Системы Хаара и Радемахера-Уолша (404).

1. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке (406). 2. Условия равномерной сходимости ряда Фурье (412).

1. Теорема Фейера (415). 2. Полнота тригонометрической системы. Теорема Вейерштрасса (418). 3. Теорема Фейера для пространства L₁ (419).

1. Основная теорема (419). 2. Интеграл Фурье в комплексной форме (422).

1. Преобразование Фурье и формула обращения (423). 2. Основные свойства преобразования Фурье (427). 3. Полнота функций Эрмита и Лагерра (431). 4. Преобразование Фурье быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций (431). 5. Преобразование Фурье и свёртка функций (432). 6. Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности (433). 7. Преобразование Фурье функций нескольких переменных (435).

1. Теорема Планшереля (438). 2. Функции Эрмита (442).

1. Определение и основные свойства преобразования Лапласа (445). 2. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений (операторный метод) (446).

1. Определение преобразования Фурье-Стилтьеса (448). 2. Применения преобразования Фурье-Стилтьеса в теории вероятностей (450).

1. Типы интегральных уравнений (456). 2. Примеры задач, приводящих к интегральным уравнениям (457).

1. Интегральный оператор Фредгольма (460). 2. Уравнения с симметрическим ядром (463). 3. Теоремы Фредгольма. Случай вырожденных ядер (465). 4. Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольными ядрами (467). 5. Уравнения Вольтерра (472). 6. Интегральные уравнения первого рода (473).

1. Спектр компактного оператора в H (474). 2. Отыскание решения в виде ряда по степеням λ. Детерминанты Фредгольма (475).

1. Сильный дифференциал (дифференциал Фреше) (480). 2. Слабый дифференциал (дифференциал Гато) (482). 3. Формула конечных приращений (482). 4. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью (483). 5. Дифференцируемые функционалы (485). 6. Абстрактные функция (485). 7. Интеграл (485). 8. Производные высших порядков (488). 9. Дифференциалы высших порядков (491). 10. Формула Тейлора (491).

1. Теорема о неявной функции (492). 2. Теорема о зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных (495). 3. Касательные многообразия. Теорема Люстерника (496).

1. Необходимое условие экстремума (500). 2. Второй дифференциал. Достаточные условия экстремума функционала (503). 3. Экстремальные задачи с ограничениями (506).

1. Банаховы алгебры, изоморфизмы банаховых алгебр (513). 2. Примеры банаховых алгебр (514). 3. Максимальные идеалы (515).

1. Определения и примеры (516). 2. Свойства спектра (517). 3. Теорема о спектральном радиусе (519).

1. Теорема о фактор-алгебре (520). 2. Три леммы (521).

1. Линейные непрерывные мультипликативные функционалы и максимальные идеалы (521). 2. Топология во множестве M. Основные теоремы (523). 3. Теорема Винера; упражнения (525).