…При составлении настоящей книги мною учтён опыт упомянутого выше эссенского семинара, а также пожелания, высказанные мне многими инженерами при личных встречах и в переписке. В частности, особое внимание обращено на те особенности преобразования Лапласа, которые часто служат источником ошибок при его практическом применении. Там, где это необходимо, такого рода «ловушки» отмечены специальным предупреждением, как это, впрочем, было сделано и в прежнем руководстве. Такой способ фиксации внимания встретил в инженерных кругах очень теплый приём. Это побудило меня в настоящем издании заменить словесные предупреждения значительно более выразительным способом, а именно знаком предостережения, принятым на транспортных магистралях (восклицательный знак на треугольной доске).

При подборе материала мною были учтены пожелания практиков и в связи с этим введены небольшие главы, посвящённые разностным уравнениям (как с аргументом, изменяющимся непрерывно, так и с аргументом, принимающим только дискретные значения), уравнениям в частных производных и интегральным уравнениям. Разностные уравнения с аргументом, принимающим только дискретные значения, в настоящее время играют важную роль в теории цепочных схем, шаговых регуляторов, импульсных цепей и т. д. Правда, для решения таких уравнений, называемых иначе рекуррентными уравнениями, можно использовать также преобразование посредством степенных рядов, как это делал уже 150 лет тому назад Лаплас. В недавнее время этот метод разработал особенно тщательно проф. Я. 3. Цыпкин в своей книге «Переходные и установившиеся процессы в импульсных цепях» (Я. 3. Цыпкин называет это преобразование дискретным преобразованием Лапласа). Но при таком способе решения необходимо создание для указанного преобразования специального нового алгоритма и новой таблицы соответствий, между тем как при применении обыкновенного преобразования Лапласа этого не требуется.

Как известно, обратное преобразование Лапласа значительно труднее прямого, поэтому оно изложено в настоящей книге довольно подробно. То же самое сделано и в отношении асимптотического разложения функций, во-первых, вследствие того, что такое разложение часто является единственным способом для получения хотя бы некоторого представления об искомой функции, а во-вторых, потому, что оно служит основой для исследования устойчивости, играющего в технике регулирования особенно важную роль, но в то же время выполняемого часто без достаточного математического обоснования.

Для того чтобы читатель практически усвоил все приёмы преобразования Лапласа, в книге приводится некоторое число тщательно разобранных примеров. Все эти примеры взяты из технической практики. Так, например, системе дифференциальных уравнений, рассмотренной в § 13, соответствует схема регулирования, обсуждавшаяся на эссенском семинаре в докладах д-ра Оппельта и д-ра Ольденбурга. От приведения в примерах самих схем регулирования и других технических подробностей я намеренно отказался, во-первых, потому, что такого рода примеры представляли бы интерес для менее широкого круга читателей, а во-вторых, с целью сосредоточить всё внимание читателя на самих приёмах преобразования Лапласа, а не на технических объектах и их особенностях. Это тем более оправдано, что во всех случаях, когда техническая проблема сформулирована в одном или нескольких дифференциальных уравнениях, преобразование Лапласа приводит к решению автоматически и притом без всякой необходимости обращения к физической интерпретации. Правда, примеры, облечённые в чисто математическую форму, иногда могут показаться нежизненными.

Во избежание этого я обычно указываю, из какой технической области взят приводимый пример.

В соответствии с указанной в начала предисловия целью книги я по возможности избегал выводов и доказательств и давал их только там, где они безусловно необходимы для понимания…

Практическое применение преобразования Лапласа невозможно без таблиц соответствий между функциями. Такие таблицы даны в виде приложения в конце книги. Они составлены Р. Гершелем (фирма Telefunken), обладающим большим опытом применения преобразования Лапласа. Эти таблицы облегчат работу всем, кому приходится тратить много времени на решение обыкновенных дифференциальных уравнений…

ПРЕДИСЛОВИЕ
Густав Дёч
Фрейбург в области Брайс, сентябрь 1956 г.

Книги на ту же тему

1. Операционное исчисление и его приложения к задачам электротехники, Левинштейн М. Л., 1964
2. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности, Галицын А. С., Жуковский А. Н., 1976
3. Дифференциально-разностные уравнения, Беллман Р., Кук К. Л., 1967
4. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — 2-е изд., перераб. и доп., Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э., 1968
5. Обобщённые функции в математической физике, Владимиров В. С., 1976
6. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд., стереотип., Градштейн И. С., Рыжик И. М., 1971