Математика

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи — Хайрер Э., Ваннер Г.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи
Научное издание

год издания — 1999, кол-во страниц — 685, ISBN — 5-03-003117-0, 3-540-60452-9, тираж — 1000, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б, масса книги — 780 гр., издательство — Мир

КНИГА СНЯТА С ПРОДАЖИ

E. Hairer and G. Wanner
SOLVING ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS II
Stiff and Differential-Algebraic Problems
Second Revised Edition

Springer-Verlag 1996

Пер. со второго англ. издания Е. Л. Старостина (гл. IV), И. А. Кульчицкой (гл. V), А. В. Тыглияна (гл. VI) и С.С. Филиппова (гл. VII)

Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная №1. Печать офсетная

Книга известных швейцарских специалистов по численному анализу представляет собой продолжение для случая жёстких задач вышедшей ранее книги тех же авторов (в соавторстве с С. П. Нёрсеттом) для случая нежёстких задач (М.: Мир, 1990). Книгу отличают методические достоинства: вначале приводятся примеры расчётов прикладных задач из физики, химии и др. и обсуждаются возникающие проблемы, а затем рассматриваются методы интегрирования, излагаются теоретические результаты с доказательствами; приводятся многочисленные литературные ссылки; каждый раздел сопровождается задачами. Приложение содержит описание программ на Фортране.

Для всех, кто в своей работе встречается с решением дифференциальных уравнений — для математиков-вычислителей, инженеров, аспирантов и студентов.

Предлагаемая Вашему вниманию книга представляет собой перевод второго тома двухтомной монографии, посвящённой современным численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений, в развитие и исследование которых авторы — известные специалисты по численному анализу и блестящие педагоги, профессора Женевского университета Эрнст Хайрер и Герхард Ваннер внесли большой вклад.

Первый том — «Нежёсткие задачи» — содержит три главы: одну, посвящённую классической математической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, вторую — одношаговым методам (Рунге-Кутты и экстраполяционным), третью — многошаговым методам, а также приложение с текстами программ на фортране. Перевод первого тома был выпущен издательством «Мир» в 1990 г. и разошёлся за один месяц, несмотря на значительный тираж (14 000 экземпляров). Когда в 1991 г. появился второй том, мы сразу же приступили к его переводу в надежде, что ожидаемая читателями книга сможет выйти в кратчайший срок. Но… прошли долгие годы, прежде чем наши усилия привели к цели. За эти годы издательство «Шпрингер» выпустило второе издание сначала первого (в 1993 г.), а затем и второго (в 1996 г.) тома, существенно переработанное авторами и дополненное новыми результатами. Книга, которую Вы держите в руках — перевод со второго английского издания. Поэтому номера разделов, формул, теорем и т.п. из первого тома, ссылки на которые имеются в книге, не всегда совпадают с соответствующими номерами в русском издании 1990 г. (см. Дополнение в конце книги).

Я выражаю искреннюю признательность всем лицам и организациям, содействовавшим появлению этой книги: авторам Г. Ваннеру и Э. Хайреру за неоценимую помощь в преодолении трудностей, возникавших при подготовке этого издания; руководству ООО «Медицинские системы», финансировавшему издание; переводчикам — сотрудникам Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, которые, вопреки всему, не потеряли веры в то, что их труд будет востребован; сотрудникам издательства «Мир» за ценные советы по подготовке издания и оформлению книги; издательству «Шпрингер», неоднократно продлявшему срок действия лицензии на право издания русского перевода. Хотелось бы поблагодарить также многих будущих читателей, которые живо интересовались судьбой перевода и этим даже в самые тяжёлые времена поддерживали в нас уверенность, что наш труд не напрасен…

От редактора перевода
С. С. Филиппов
Июль 1999 г.

От редактора перевода	5
Из предисловия к первому изданию	6
Предисловие ко второму изданию	7
Предисловие к русскому изданию	8

Глава IV. Жёсткие задачи — одношаговые методы	9

IV.1. Примеры жёстких уравнений	10

Системы, описывающие химические реакции	11
Электрические схемы	12
Диффузия	14
«Жёсткий» стержень	17
Высокочастотные колебания	21
Упражнения	21

IV.2. Анализ устойчивости для явных методов Рунге-Кутты	25

Анализ устойчивости для метода Эйлера	25
Явные методы Рунге-Кутты	26
Экстраполяционные методы	27
Анализ примеров из IV.1	28
Автоматическое обнаружение жёсткости	31
Устойчивость управления длиной шага	35
ПИ-управление длиной шага	39
Стабилизированные явные методы Рунге-Кутты	43
Упражнения	49

IV.3. Функция устойчивости неявных методов Рунге-Кутты	53

Функция устойчивости	53
А -устойчивость	56
L-устойчивость и А(α)-устойчивость	57
Численные результаты	59
Функции устойчивости порядка ≥ s	60
Аппроксимации Паде для показательной функции	62
Упражнения	63

IV.4. Порядковые звёзды	65

Введение	65
Порядок и устойчивость для рациональных аппроксимаций	70
Устойчивость аппроксимаций Паде	72
Сравнение областей устойчивости	73
Рациональные аппроксимации с вещественными полюсами	76
«Сэндвич» с вещественными полюсами	77
Аппроксимации с кратным вещественным полюсом	82
Упражнения	85

IV.5. Конструирование неявных методов Рунге-Кутты	87

Гауссовы методы	87
Методы Радо IA и Радо IIА	88
Методы Лобатто IIIА, IIIВ и IIIС	91
W-преобразование	94
Конструирование неявных методов Рунге-Кутты	100
Функция устойчивости	101
Положительные функции	103
Упражнения	106

IV.6. Диагонально неявные методы Рунге-Кутты	109

Условия порядка	109
Жёстко точные методы ОДНРК	111
Функция устойчивости	114
Аппроксимации с кратным вещественным полюсом и с R(∞)=0	116
Выбор метода	118
Упражнения	119

IV.7. Методы типа Розенброка	121

Вывод метода	121
Условия порядка	123
Функция устойчивости	126
Конструирование методов 4-го порядка	127
Методы высших порядков	130
Реализация методов типа Розенброка	131
«Горб»	133
Методы с неточной матрицей Якоби (W-методы)	134
Упражнения	137

IV.8. Реализация неявных методов Рунге-Кутты	139

Иная запись нелинейной системы	139
Упрощённые итерации Ньютона	140
Линейная система	143
Выбор длины шага	144
Неявные дифференциальные уравнения	149
Программа ОДНРК	149
Методы ОНРК	150
Упражнения	152

IV.9. Экстраполяционные методы	153

Экстраполяция симметричных методов	153
Сглаживание	154
Линейно неявное правило средней точки	156
Неявный и линейно неявный метод Эйлера	160
Реализация	162
Упражнения	164

IV.10. Численные эксперименты	I66

Использованные программы	166
Двенадцать задач-тестов	167
Обсуждение результатов	176
Разделение и проекционные методы	186
Упражнения	191

IV.11. Контрактивность для линейных задач	193

Евклидовы нормы (теорема фон Неймана)	194
Функция роста погрешности для линейных задач	195
Малые нелинейные возмущения	198
Контрактивность в нормах ∥•∥_∞ и ∥•∥₁	201
Исследование порогового коэффициента	203
Абсолютно монотонные функции	204
Упражнения	206

IV.12. В -устойчивость и контрактивность	207

Одностороннее условие Липшица	207
B-устойчивость и алгебраическая устойчивость	208
Некоторые алгебраически устойчивые НРК методы	210
АN-устойчивость	212
Приводимые методы Рунге-Кутты	214
Теорема об эквивалентности для S-неприводимых методов	216
Функция роста погрешности	220
Вычисление φ_B(х)	223
Упражнения	227

IV.13. Положительные квадратурные формулы и B-устойчивые методы
Рунге-Кутты	230

Квадратурные формулы и соответствующие непрерывные дроби	230
Число лоложительных весов	233
Характеристика положительных квадратурных формул	234
Необходимые условия алгебраической устойчивости	236
Характеристика алгебраически устойчивых методов	238
«Эквивалентность» А- и В-устойчивости	241
Упражнения	243

IV.14. Существование и единственность решений НРК	245

Существование	245
Контрпример	247
Влияние возмущений и единственность	248
Вычисление α₀(А^-1)	250
Методы с вырожденной матрицей А	252
Методы Лобатто IIIС	253
Упражнения	254

IV.15. В-сходимость	256

Феномен снижения порядка	256
Локальная погрешность	259
Распространение погрешности	261
В-сходимость при переменной длине шага	261
В-сходимость влечёт алгебраическую устойчивость	263
Правило трапеций	266
Снижение порядка для методов Розенброка	267
Упражнения	269

Глава V. Многошаговые методы для жёстких задач	271

V.I. Устойчивость многошаговых методов	272

Область устойчивости	272
Методы Адамса	275
Схемы предиктор-корректор	276
Методы Нюстрёма	277
Методы ФДН	279
Второй барьер Далквиста	280
Упражнения	282

V.2. «Почти» A-устойчивые многошаговые методы	283

A(α) -устойчивость и жёсткая устойчивость	283
A(α)-устойчивые методы высоких порядков	284
Приближение методов низкого порядка методами высокого порядка	286
Теорема о диске	287
Барьеры точности для линейных многошаговых методов	288
Упражнения	292

V.3. Обобщённые многошаговые методы	295

Многошаговые методы Энрайта со второй производной	295
Методы ФДН со второй производной	299
Смешанные многошаговые методы	300
Расширенные многошаговые методы Каша	302
Многошаговые коллокационные методы	305
Методы «типа Радо»	308
Упражнения	312

V.4. Порядковые звёзды на поверхностях Римана	315

Поверхности Римана	315
Полюсы характеризуют вычислительные затраты	319
Порядок и порядковые звёзды	321
«Догадка Даниела-Мура»	323
Методы со «Свойством С»	325
Общие линейные методы	328
Двойственные порядковые звёзды	333
Упражнения	335

V.5. Эксперименты с многошаговыми программами	338

Использованные программы	338
Упражнения	343

V.6. Одноопорные методы и G-устойчивость	344

Одноопорные (многошаговые) методы	344
Существование и единственность	345
G-устойчивость	346
Алгебраический критерий	348
Эквивалентность A-устойчивости и G -устойчивости	349
Критерий для положительных функций	352
Оценки погрешности одноопорных методов	353
Сходимость A-устойчивых многошаговых методов	357
Упражнения	358

V.7. Сходимость для линейных задач	361

Разностные уравнения для глобальной погрешности	361
Матричная теорема Крайсса	363
Некоторые применения матричной теоремы Крайсса	366
Глобальная погрешность для задачи Протеро-Робинсона	368
Сходимость для линейных систем с постоянными коэффициентами	369
Матричный вариант теоремы фон Неймана	371
Дискретная формула вариации постоянных	372
Упражнения	378

V.8. Сходимость для нелинейных задач	380

Задачи, удовлетворяющие одностороннему условию Липшица	380
Метод множителей	383
Множители и нелинейности	387
Дискретная вариация постоянных и возмущения	389
Сходимость для нелинейных параболических задач	390
Упражнения	396

V.9. Алгебраическая устойчивость общих линейных методов	398

G-устойчивость	398
Алгебраическая устойчивость	399
АN -устойчивость и эквивалентность различных определений
устойчивости	401
Многошаговые методы Рунге-Кутты	404
Упрощающие предположения	405
Квадратурные формулы	407
Алгебраически устойчивые методы порядка 2s	409
B-сходимость	411
Упражнения	412

Глава VI. Сингулярно возмущённые задачи и задачи индекса 1	413

VI.1. Решение задач индекса 1	414

Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля	414
Метод ε-вложения для задач индекса 1	416
Метод пространства состояний	418
Транзисторный усилитель	419
Задачи вида Мuʹ = φ(u)	420
Сходимость методов Рунге-Кутты	422
Упражнения	424

VI.2. Многошаговые методы	425

Методы для задач индекса 1	425
Сходимость для сингулярно возмущённых задач	426
Упражнения	430

VI.3. Эпсилон-разложения для точных решений и для РК-решений	431

Разложение гладкого решения	431
Разложения, включающие члены пограничного слоя	432
Оценка остаточного члена	434
Разложение решения метода Рунге-Кутты	436
Сходимость РК-методов для дифференциально-алгебраических систем	437
Существование и единственность решения метода Рунге-Кутты	440
Влияние возмущений	441
Оценка остаточного члена в численном решении	442
Численное подтверждение	446
Возмущение начальных значений	446
Упражнения	449

VI.4. Методы Розенброка	450

Определение метода	450
Производные точного решения	451
Деревья и элементарные дифференциалы	452
Разложение Тейлора для точного решения	453
Разложение Тейлора для численного решения	455
Условия порядка	458
Сходимость	460
Жёстко точные методы Розенброка	462
Построение RODAS — жёстко точного вложенного метода	463
Несогласованные начальные значения	466
Упражнения	468

VI.5. Экстраполяционные методы	470

Дискретизация с помощью линейно неявного метода Эйлера	470
Возмущённое асимптотическое разложение	472
Таблица порядков	475
Разложение погрешности для сингулярно возмущённых задач	477
Плотная выдача	483
Упражнения	485

VI.6. Квазилинейные задачи	487

Пример; движущиеся конечные элементы	487
Задачи индекса один	490
Численное решение уравнения С(у)уʹ = f(y)	491
Экстраполяционные методы	492
Упражнения	494

Глава VII. Дифференциально-алгебраические задачи
высших индексов	495

VII.1. Понятие индекса и различные примеры	496

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами	496
Индекс дифференцирования	498
Дифференциальные уравнения на многообразиях	501
Индекс возмущений	503
Задачи теории управления	506
Механические системы	508
Упражнения	511

VII.2. Методы понижения индекса	514

Понижение индекса дифференцированием	514
Стабилизация с помощью проекции	516
Дифференциальные уравнения с инвариантами	518
Методы, использующие представления в локальном пространстве
состояний	520
Переопределённые дифференциально-алгебраические уравнения	524
Бесструктурные задачи старших индексов	525
Упражнения	527

VII.3. Многошаговые методы для ДАУ индекса 2	528

Существование и единственность численного решения	529
Влияние возмущений	531
Локальная погрешность	532
Сходимость методов, использующих ФДН	533
Общие многошаговые методы	536
Решение нелинейной системы упрощённым методом Ньютона	538
Упражнения	539

VII.4. Методы Рунге-Кутты для ДАУ индекса 2	540

Нелинейная система	540
Оценка локальной погрешности	542
Сходимость для y-компоненты	544
Сходимость для z-компоненты	545
Коллокационные методы	546
Сверхсходимость коллокационных методов	548
Проецированные методы Рунге-Кутты	549
Сводка результатов по сходимости	552
Упражнения	552

VII.5. Условия порядка для ДАУ индекса 2	554

Производные точного решения	554
Деревья и элементарные дифференциалы	555
Разложение Тейлора для точного решения	556
Производные численного решения	558
Условия порядка	560
Упрощающие предположения	561
Проецированные методы Рунге-Кутты	564
Упражнения	567

VII.6. Полуявные методы для систем индекса 2	568

Полуявные методы Рунге-Кутты	568
Экстраполяционные методы	574
β-блоковые многошаговые методы	577
Упражнения	578

VII.7. Расчёт многозвенных механизмов	579

Описание модели	579
Подпрограммы на Фортране	582
Вычисление согласованных начальных значений	584
Численные расчёты	586
Жёсткая механическая система	590
Упражнения	591

VII.8. Симплектические методы для гамильтоновых
систем со связями	593

Свойства гамильтонова фазового потока	594
Симплектический метод первого порядка	595
SHAKE и RATTLE	598
Пара Лобатто IIIA—IIIB	601
Композитные методы	605
Обратный анализ погрешностей (для ОДУ)	607
Обратный анализ погрешностей на многообразиях	611
Упражнения	614

Приложение. Программы на Фортране	616

Драйвер для программы RADAU5	617
Подпрограмма RADAU5	619
Подпрограмма RADAUP	625
Подпрограмма RODAS	625
Подпрограмма SEULEX	626
Задачи, имеющие особую структуру	626
Использование SOLOUT и плотной выдачи	627

Литература	628
Указатель обозначений	659
Предметные указатель	661
Дополнение. Содержание первого тома	673

Книги на ту же тему

Численно-аналитическое моделирование радиоэлектронных схем, Гридин В. Н., Михайлов В. Б., Шустерман Л. Б., 2008
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, Холл Д., Уатт Д., ред., 1979
Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
Фундаментальные основы математического моделирования, Макаров И. М., ред., 1997
Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
Численные методы, алгоритмы и программы. Введение в распараллеливание: Учебное пособие для вузов, Карпов В. Е., Лобанов А. И., 2014
Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 4-е изд., испр., Камке Э., 1971
Обыкновенные дифференциальные уравнения, Федорюк М. В., 1980
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 5-е изд., доп., Петровский И. Г., 1964
Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
Качественная теория дифференциальных уравнений, Немыцкий В. В., Степанов В. В., 1947
Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
Обратные задачи динамики, Галиуллин А. С., 1981

http://knigoprovod.ru

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему