Сохранность книги — хорошая

NUMERICAL METHODS
FOR HIGH SPEED
COMPUTERS
G. N. Lance
LONDON: ILIFFE & SONS LTD
1960

Пер. с англ. И. А. Брина

Формат 84x108 1/32

Эта небольшая книжка знакомит читателя с теми методами численного анализа, которые, по мнению автора, являются наиболее подходящими для быстродействующих вычислительных машин. Во введении рассматриваются общие вопросы, связанные со спецификой вычислений на таких машинах. Отдельная глава посвящена вычислениям значений функций. Здесь очень подробно излагаются общие методы, связанные с разложениями по полиномам Чебышева, а также конкретные методы вычисления квадратных корней, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций, а также полных эллиптических интегралов, функций Якоби и функций Бесселя.

Излагаются приближённые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, краевых задач и т. п.

Книга полезна всем, кто связан с работой на быстродействующих цифровых вычислительных машинах, а также студентам вычислительной специальности.

В самом конце своей книги «Численный анализ» покойный профессор Хартри, член Королевского общества, писал: «В разработке методов, учитывающих возможности автоматических вычислительных машин, проделана некоторая работа, однако основное развитие этой ветви численного анализа, по-видимому, является делом будущего». Профессор Хартри писал это в 1952 году. С тех пор многое было сделано в области численного анализа, причём особое внимание уделялось методам, непосредственно связанным с применением автоматических быстродействующих вычислительных машин.

По многим причинам интерес к этому предмету возрастал и продолжает возрастать. Прежде всего, и это, пожалуй, главное, в настоящее время во всём мире работает так много быстродействующих вычислительных машин, что огромное количество математиков втянулось в область численного анализа и они оказались в большей или меньшей степени непосредственно связанными с работой этих машин. Возрос интерес к вычислительным машинам не только среди математиков, которые во многих случаях участвовали в проектировании вычислительных машин, но также среди инженеров, физиков, химиков, астрономов, метеорологов, ботаников, психологов и даже лингвистов, обычно связанных лишь с использованием вычислительных машин в интересующих их специальных отраслях науки.

Вторая причина наблюдающегося сейчас интереса к этой области заключается в том, что многие из этих исследователей стали сознавать, что ряд численных методов, созданных для решения их задач в ту пору, когда единственными доступными вычислителю инструментами были настольные счётные машины, не может непосредственно применяться для работы на автоматических вычислительных машинах. «Старомодные» методы не используют всех удобств и возможностей, предоставленных быстродействующими вычислительными машинами. В-третьих, работники, использующие автоматические вычислительные машины, разработали методы, пригодные только для работы на быстродействующих машинах.

К сожалению, немногие из авторов учебников, находящихся в обращении, считают необходимым разъяснить, какие из описанных ими методов пригодны для работы на ручных и какие для работы на автоматических машинах. Насколько мне известно, до сих пор не написано ни одной книги, автор которой ставил бы своей целью удовлетворить непосредственные запросы людей, занятых эксплуатацией автоматических быстродействующих вычислительных машин.

Настоящая книга представляет собой попытку восполнить тот пробел, который профессор Хартри предвидел восемь лет назад.

Большинство описанных здесь методов публиковалось только в оригинальных статьях, не всегда и не всем легко доступных. Некоторые методы описаны в документах, имеющих только ограниченное обращение. Нелегко было решить, какой материал включить и какой исключить. Последнее решение часто было легче принять, так как если рассматриваемый приём был пригоден только для использования с помощью карандаша и бумаги или с помощью ручных машин, то он подлежал исключению. С другой стороны, читателю бросится в глаза отсутствие в книге некоторых процессов, возможно, допускающих применение быстродействующих вычислительных машин. Я имею в виду методы Монте Карло и быстро развивающиеся методы линейного программирования. В этих двух случаях я считал невозможным уделить им должное внимание в рамках одной книги. Кроме того, по общим вопросам линейного программирования существует уже несколько хороших книг. Они приводятся в библиографии.

В библиографии я перечислил все оригинальные статьи и книги, на которые есть ссылки в тексте, и некоторые работы значительно более общего характера, но также имеющие непосредственное отношение к рассматриваемому предмету. Однако в столь быстро развивающейся области невозможно добиться полноты.

Ради краткости я не во всех случаях приводил детальные доказательства сделанных утверждений или используемых формул, однако всюду даются ссылки на публикации, в которых содержатся доказательства. Я опустил некоторые длинные доказательства, учитывая, что большинство читателей этой книги составят люди, интересующиеся использованием вычислительных машин. Перед этой категорией читателей в первую очередь стоит вопрос: «Какой из методов лучше всего выбрать для решения данной задачи на автоматической быстродействующей цифровой вычислительной машине?»

Для таких читателей существенно, чтобы все методы были испытаны и показали себя полезными на практике; этому условию удовлетворяют все описанные здесь приёмы. В тех случаях, когда для решения данной задачи предлагается более одного метода, различные возможности тщательно сравниваются и сопоставляются…

ПРЕДИСЛОВИЕ
Дж. Н. Ланс
Институт атомной энергии,
Уинфрит, графство Дорсет,
апрель, 1960 г.

П р е д и с л о в и е	б

Г л а в а 1. Введение	9

1.1. Ручные вычислительные машины	9
1.2. Автоматические быстродействующие цифровые вычислительные машины	11
1.3. Необходимость в новых численных методах	15
1.3.1. Масштаб и переполнение	16
1.3.2. Ограничения, связанные с объёмом памяти	17
1.3.3. Возможности, обусловленные увеличением скорости
выполнения арифметических действий	19
1.4. Контроль	21
1.4.1. Ошибки вычислительной машины	21
1.4.2. Ошибки программиста	22

Г л а в а 2. Вычисление функций	25

2.1. Полиномы Чебышева	25
2.1.1. Основное свойство	30
2.1.2. Приложения — экономизация степенных рядов	31
2.1.3. Разложение функций	35
2.1.4. Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений	40
2.2. Квадратные корни	46
2.3. Показательная функция	47
2.3.1. Метод 1. Выборка из таблицы и чебышевское разложение	47
2.3.2. Метод 2. Приближение непрерывной дробью	48
2.4. Тригонометрические функции	53
2.5. Логарифмическая функция	56
2.6. Арктангенс	57
2.7. Арксинус и арккосинус	60
2.7.1. Использование (1/π)arctg x в качестве вспомогательной
подпрограммы	60
2.7.2. Последовательное подразделение интервалов	61
2.7.3. Сравнение методов вычисления арксинуса и арккосинуса	62
2.8. Полные эллиптические интегралы	63
2.9. Эллиптические функции Якоби	65
2.10. Функции Бесселя	67

Г л а в а 3 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений	70

3.1. О приспособленности различных численных методов для
быстродействующих вычислительных машин	70
3.2. Метод Рунге-Кутта второго порядка	72
3.3. Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка	74
3.4. Уравнения порядка выше первого	77
3.5. Уравнения второго порядка, не содержащие первой производной	79
3.5.1. Метод Де Вожелера	79
3.5.2. Конечно-разностный метод	80
3.6. Системы дифференциальных уравнений первого порядка	83
3.7. Граничные задачи	85
3.8. Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений	86
3.9. Метод сопряжённых уравнений	87
3.9.1. Простые обобщения	89
З.10. Метод дополнительных функций	89
3.11. Сравнение методов сопряжённых уравнений и дополнительных
функций	91
3.12. Нелинейные системы	91

Г л а в а 4. Матричные методы	94

4.1. Введение	94
4.2. Итеративный метод для вычисления собственных значений и
собственных векторов	94
4.2.1. Итеративная схема	96
4.2.2. Улучшенная итеративная схема	99
4.2.3. Исключение доминирующего вектора и понижение на единицу
порядка матрицы	100
4.2.4. Процесс обратной подстановки	103
4.2.5. Практическое применение процесса	103
4.3. Метод Якоби для вычисления собственных значений и собственных
векторов симметричной матрицы	105
4.3.1. Метод унитарных преобразований для произвольных матриц	108
4.3.2. Метод Ланцоша для вычисления собственных значений и
собственных векторов вещественных симметрических матриц	110
4.4. Матричные интерпретирующие программы	114
4.4.1. Применяемые обозначения	118
4.4.2. Допустимые операции	119
4.4.3. Форма записи	120
4.4.4. Иллюстрирующий пример	121
4.5. Обращение матриц	122
4.5.1. Итерационный метод обращения матриц небольшого порядка	123
4.5.2. Обращение матриц с целыми элементами	124
4.5.3. Обращение больших матриц специального вида	130

Г л а в а 5. Численное решение дифференциальных уравнений в частных
производных	137

5.1. Общие замечания	137
5.2. Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных	140
5.2.1. Итеративные методы решения	141
5.2.2. Метод решения, использующий обращение матрицы	143
5.2.3. Решение в непрямоугольных областях	146
5.3. Параболические дифференциальные уравнения	148
5.3.1. Замена второй производной конечно-разностным приближением	149
5.3.2. Замена производной первого порядка	150
5.3.3 Замена обеих производных	151
5.4. Гиперболические дифференциальные уравнения	152
5.4.1. Метод характеристик	153

Г л а в а 6. Различные процессы	157

6.1. Возможные методы решения уравнений	157
6.2. Метод Бернулли для решения алгебраических уравнений	158
6.2.1. Итеративный метод Мюллера для решения алгебраических
уравнений высоких степеней	162
6.3. Обобщённый метод Ньютона-Рафсона	164
6.3.1. Поочерёдное уточнение переменных	165
6.3.2. Метод скорейшего спуска	167
6.3.3. Исключение корней	169
6.4. Итеративный метод Вегстейна для решения вещественных
алгебраических или трансцендентных уравнений	171
6.5. Непрерывные дроби	175
6.5.1. Метод 1 вычисления непрерывных дробей	177
6.5.2. Метод 2 вычисления непрерывных дробей	177
6.5.3. Метод 3 вычисления непрерывных дробей	178
6.5.4. Сравнение трёх методов	179
6.6. Интерполяция функций одного переменного	180
6.6.1. Интерполяция по двум направлениям	183
6.7. Методы вычисления определённых интегралов	184
6.7.1. Обращение преобразования Лапласа	188
6.8. δ²-процесс Эйткена	191

Д о п о л н е н и е. Арифметические действия над числами,
представленными в форме с плавающей запятой	193

1. Представление чисел в форме с плавающей запятой	193
2. Сложение и вычитание	194
3. Умножение	195
4. Деление	195

Л и т е р а т у р а	197

Книги на ту же тему

Вычислительная математика в примерах и задачах, Копчёнова Н. В., Марон И. А., 1972
Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
Численное решение задач гидромеханики, Рихтмайер Р., ред., 1977
Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов, Голоскоков Д. П., 2004
Численный эксперимент в турбулентности: От порядка к хаосу, Белоцерковский О. М., Опарин А. М., 2001
Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, Митчелл Э., Уэйт Р., 1981
Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Деммель Д., 2001
Основы моделирования на аналоговых вычислительных машинах, Урмаев А. С., 1974
Численные методы и программное обеспечение, Каханер Д., Моулер К., Нэш С., 2001
Возможности вычислительных машин и человеческий разум. От суждений к вычислениям, Вейценбаум Д., 1982

elapsed time 0.021 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему