Существующие справочники, рассчитанные на инженеров и студентов, не содержат сведений по вариационному исчислению и интегральным уравнениям. Между тем эти разделы высшей математики широко используются в исследовательской работе и вошли уже в число математических дисциплин, изучаемых в ряде технических учебных заведений. Данное справочное руководство имеет своей целью восполнить указанный пробел.

Книга содержит основные сведения из вариационного исчисления и теории интегральных уравнений и их приложений к некоторым вопросам механики и математической физики. Даются также краткие сведения о принципе максимума Л. С. Понтрягина, принципе оптимальности Р. Беллмана и др. Отдельные положения теории поясняются примерами и решениями задач.

Предлагаемое издание содержит ряд дополнений по сравнению с предыдущим: необходимые и достаточные условия экстремума в разрывных задачах с подвижными концами в пространстве, сведения, из теории экстремума функционалов в линейных нормированных пространствах, экстремальные свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля и др.

Книга предназначается для инженеров, экономистов, а также для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений.

Вариационное исчисление и интегральные уравнения являются быстро развивающимися разделами анализа, охватить которые с достаточной полнотой в книге небольшого объёма невозможно.

В предлагаемое справочное руководство включены прежде всего классические результаты и некоторые новые, уже вошедшие в обиход инженерной исследовательской работы, например, оптимальные принципы в вариационном исчислении. В подобных случаях приводится лишь постановка задачи, основные результаты и их связь с классическими результатами.

Книга предназначена для инженеров, экономистов, студентов и аспирантов высших технических учебных заведений. Изложение материала проведено на основе обычного курса математического анализа, изучаемого в высших технических учебных заведениях. Исключения составляют весьма краткие сведения об интеграле Лебега и его использовании, а также некоторые начальные сведения из теории функций комплексного переменного.

На русском языке имеется обширная литература по излагаемым в книге вопросам, однако учебных руководств для высших технических учебных заведений по вариационному исчислению и интегральным уравнениям почти нет. Для удобства читателя в книге дан подробный справочный материал по основам теории, причём по каждому излагаемому вопросу указаны литературные источники, а также учебная литература и монографии, в которых содержится дальнейшее развитие теории.

В книге приведены также сведения о некоторых приложениях вариационного исчисления и интегральных уравнений к вопросам, близко примыкающим к дополнительным главам высшей математики, читаемым в настоящее время в высших технических учебных заведениях.

Это относится к выводу некоторых уравнений математической физики, исходя из вариационных принципов механики, а также к изучению задачи Штурма-Лиувилля.

Рамки книги не позволили расширить разделы, связанные с приближёнными методами решения вариационных задач и интегральных уравнений. В книге даны лишь простейшие сведения об этих методах и приведены соответствующие примеры. Читатель, интересующийся вычислительными методами, найдёт богатый материал в известной книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова «Приближённые методы высшего анализа», изд. 5, М., Физматгиз, 1962, а также в книге С. Г. Михлина «Численная реализация вариационных методов», М., «Наука», 1966…

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Л. Цлаф

Предисловие ко второму изданию	8
Предисловие к первому изданию	9

Г л а в а I. Вариационное исчисление	11

§ 0. Введение	11
1.0.1. Функционал (11). 1.0.2. Предмет вариационного исчисления (11). 1.0.3. Некоторые определения и обозначения (12).
§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума	14
1.1.1. Постановка задачи (14). 1.1.2. Первая и вторая вариации функционала (14). 1.1.3. Первое необходимое условие экстремума. Дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа. Экстремали (15). 1.1.4. Регулярные (или неособенные) экстремали (16). 1.1.5. Случаи понижения порядка уравнения Эйлера-Лагранжа (17). 1.1.6. Условия Вейерштрасса-Эрдмана. Ломаные экстремали (18). 1.1.7. Второе необходимое условие экстремума — условие Лежандра (18). 1.1.8. Третье необходимое условие экстремума — условие Вейерштрасса (19). 1.1.9. Четвёртое необходимое условие экстремума — условие Якоби (19). 1.1.10. Инвариантность уравнения Эйлера-Лагранжа (20).
§ 2. Вариационные задачи с подвижными концами	20
1.2.1. Постановка задачи (20). 1.2.2. Вспомогательная формула (21). 1.2.3. Условие трансверсальности (22). 1.2.4. Трансверсальность и ортогональность (23).
§ 3. Необходимые условия экстремума для функционала, зависящего от нескольких функций	23
1.3.1. Постановка задачи (23). 1.3.2. Первое необходимое условие экстремума. Уравнения Эйлера-Лагранжа. Экстремали (24). 1.3.3. Условия Вейерштрасса-Эрдмана. Ломаные экстремали (24). 1.3.4. Второе необходимое условие экстремума — условие Лежандра (24). 1.3.5. Третье необходимое условие экстремума — условие Вейерштрасса (25). 1.3.6. Четвёртое необходимое условие экстремума — условие Якоби (25). 1.3.7. Условие трансверсальности (25).
§ 4. Необходимые условия экстремума функционала, содержащего производные высших порядков	26
1.4.1. Постановка задачи (26). 1.4.2. Первое необходимое условие экстремума. Дифференциальное уравнение Эйлера-Пуассона. Экстремали (26). 1.4.3. Случаи понижения порядка уравнения Эйлера-Пуассона (27). 1.4.4. Сведение рассматриваемой задачи к задаче на условный экстремум. Дальнейшие необходимые условия (27). 1.4.5. Условие трансверсальности (28).
§ 5. Вариационные задачи в параметрической форме	29
1.5.1. Параметрическое задание линий (29). 1.5.2. Функционалы от линий. Сильные и слабые окрестности (29). 1.5 3. Первое необходимое условие экстремума. Уравнения Эйлера-Лагранжа (30). 1.5.4. Вейерштрассова форма уравнений Эйлера-Лагранжа. Экстремали (31). 1.5.5. Условие Вейерштрасса-Эрдмана (31). 1.5.6. Второе необходимое условие экстремума (аналог условия Лежандра) (32). 1.5.7. Третье необходимое условие экстремума — условие Вейерштрасса (32). 1.5.8. Четвёртое необходимое условие экстремума — условие Якоби (66). 1.5.9. Условия трансверсальности (33).
§ 6. Разрывные задачи. Односторонние экстремумы	34
1.6.1. Разрывные задачи первого рода для простейшего функционала (34). 1.6.2. Разрывные задачи второго рода (33). 1.6.3. Разрывные задачи для функционала, зависящего от нескольких функций (36). 1.6.4. Разрывные задачи с подвижными концами в пространстве (37). 1.6.5. Односторонние экстремумы (39).
§. 7. Канонические уравнения. Теория Гамильтона-Якоби	41
1.7.1. Каноническая или гамильтонова форма уравнений Эйлера (41). 1.7.2. Первые интегралы канонической системы (42). 1.7.3. Теорема Э. Нётер (43). 1.7.4. Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби (44). 1.7.5. Канонические преобразования (45).
§ 8. Некоторые сведения из теории поля экстремалей	46
1.8.1. Геодезическое расстояние и его производные (46). 1.8.2. Поле экстремалей (48). 1.8.3. Выражение геодезического расстояния между двумя точками через инвариантный интеграл Гильберта (4S). 1.8.4. Другие определения поля (50). 1.8.5. Условия Лежандра и Якоби включения экстремали функционала J(у) = int^{x_2}_{x_1}F(х, у_1, ...y_n, yprime_1, ..., yprime_n)dx в ноле (50). 1.8.6. Построение полей экстремалей для некоторых вариационных задач с подвижными концами (51). 1.8.7. Определение поля для вариационных задач в параметрической форме (52).
§ 9. Достаточные условия экстремума	52
1.9.1. Достаточное условие Вейерштрасса (52). 1.9.2. Упрощённое достаточное условие сильного, экстремума (55).
1.9.3. Достаточные условия сильного экстремума в задачах с подвижными концами (55). 1.9.4. Достаточные условия слабого экстремума функционала, зависящего от нескольких функций (56). 1.9.5. Достаточные условия экстремума для вариационных задач в параметрической форме (57).
§ 10. Вариационные задачи с частными производными	58
1.10.1. Первое необходимое условие. Уравнение Эйлера-Остроградского (58). 1.10.2. Инвариантность, уравнения Эйлера-Остроградского (59). 1.10.3. Второе необходимое условие для экстремума двойного интеграла (аналог условия Лежандра) (59). 1.10.4. Вариация функционала с переменной областью интегрирования (60). 1.10.5. Инвариантные вариационные задачи. Теорема Э. Нётер (61). 1.10.6. Разрывная задача nepвогo рода (62).
§11. Вариационные задачи на условный экстремум	64
1.11.1. Изопериметрическая задача (64). 1.11.2. Правило множителей (65). 1.11.3. Условия трансверсальности (66). 1.11.4. Необходимое условие Клебша (67). 1.11.5. Необходимое условие Якоби (67). 1.11.6. Достаточные условия экстремума в изопериметрической задаче (69). 1.11.7. Задачи Лагранжа, Майера и Больца (69). 1.11.8. Связь задач изопериметрической, Лагранжа, Майера и Больца (73). 1.11.9. Правило множителей для задач Лагранжа, Майера и Больца (74). 1.11.10. Условия трансверсальности (76). 1.11.11. Необходимые условия экстремума Вейерштрасса и Клебша (76). 1.11.12. Вторая вариация в задаче Больца (77). 1.11.13. Присоединённая или акцессорная задача Больца (77). 1.11.14. Достаточные условия сильного относительного минимума (78). 1.11.15. Условие Якоби положительной определённости второй вариации (79).
§ 12. Оптимальные принципы	70
1.12.1. Принцип максимума Понтрягина. Постановка задачи (79). 1.12.2. Формулировка принципа максимума (81). 1.12.3. Принцип максимума и вариационное исчисление (82). 1.12.4. Принцип оптимальности Беллмана (динамическое программирование) (84). 1.12.5. Вариационное исчисление и принцип оптимальности Беллмана (85). 1.12.6. Связь динамического программирования с задачами условного экстремума и принципом максимума (86).
§ 13. Линейное программирование	88
1.13.1. Постановка задачи (88). 1.13.2. Геометрическая интерпретация (88). 1.13.3. Симплекс-метод (89). 1.13.4. Связь с динамическим программированием (90).
§ 14. Прямые методы вариационного исчисления	91
1.14.1. Постановка задачи (91). 1.14.2. Метод Ритца. Примеры (92). 1.14.3. Метод конечных разностей (96).
§ 15. Некоторые сведения из теории экстремума функционалов в линейных нормированных пространствах	97
1.15.1. Линейные нормированные пространства (97). 1.15.2. Фактор-пространство (98). 1.15.3. Линейные функционалы (98). 1.15.4. Билинейные и квадратичные функционалы (99). 1.15.5. Дифференцируемые функционалы (99). 1.15.6. Второй дифференциал функционала (101). 1.15.7. Необходимые условия экстремума (101). 1.15.8. Достаточные условия экстремума (102). 1.15.9. Изопериметрическая задача. Правило множителей (202). 1.15.10. Общая задача на условный экстремум (103).

Г л а в а II. Интегральные уравнения	105

§ 0. Введение	105
2.0.1. Определение. Примеры (105). 2.0.2. Классификация интегральных уравнений (107). 2.0.3. Сведения об интеграле Лебега (108). 2.0.4. Последовательности и ряды ортогональных функций (112).
§ 1. Интегральные уравнения Вольтерра	114
2.1.1. Теоремы существования и единственности (114). 2.1.2. Метод последовательных приближений (114). 2.1.3. Связь уравнения Вольтерра с дифференциальными уравнениями (116). 2.1.4. Уравнения Вольтерра первого рода (116).
§ 2. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода	117
2.2.1. Теоремы существования и единственности решения (117). 2.2.2. Метод последовательных приближений (118). 2.2.3. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром (119). 2.2.4. Аппроксимация невырожденного ядра вырожденным (120). 2.2.5. Теоремы Фредгольма (122).
§ 3. Симметричные интегральные уравнения	123
2.3.1. Существование характеристического числа (123). 2.3.2. Ортогональность собственных функций (123). 2.3.3. Действительность характеристических чисел (124). 2.3.4. Ортогонализация собственных функций (125). 2.3.5. Количество собственных функций, соответствующих характеристическому числу, и распределение характеристических чисел (126). 2.3.6. Билинейная формула (127). 2.3.7. Теорема Гильберта-Шмидта (129). 2.3.8. Билинейные ряды итерированных ядер (129). 2.3.9. Решение неоднородного уравнения (130). 2.3.10. Альтернатива Фредгольма для симметричных интегральных уравнении (131). 2.3.11. Экстремальные свойства характеристических чисел и собственных функций (131).
§ 4. Интегральные преобразования и интегральные уравнения	133
2.4.1. Преобразование Фурье (133). 2.4.2. Преобразование Лапласа (136).
§ 5. Уравнения Фредгольма первого рода	138
2.5.1. Теорема Пикара (138). 2.5.2. Метод последовательных приближений (138). 2.5.3. Решение некоторых интегральных уравнений первого рода (139).
§ 6. Приближённые методы решения интегральных уравнений	140
2.6.1. Метод последовательных приближений решения уравнения Фредгольма второго рода (140). 2.6.2. Метод механических квадратур (140). 2.6.3. Метод наименьших квадратов и метод Галёркина (141). 2.6.4. Формулы для отыскания характеристических чисел (142).
§ 7. Некоторые нелинейные интегральные уравнения	143
2.7.1. Нелинейные уравнения Вольтерра (143). 2.7.2. Уравнения типа Гаммерштейна (143). 2.7.3. Бифуркация решений (144).
§ 8. Сингулярные интегральные уравнения	145
2.8.1. Главное значение несобственного интеграла (145). 2.8.2. Преобразование Гильберта — М. Рисса (146). 2.8.3. Сингулярное интегральное уравнение Гильберта (147). 2.8.4. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши (148).

Г л а в а III. Некоторые приложения вариационного исчисления и интегральных уравнений	149

§ 0. Введение	149
3.0.1. Содержание главы (149).
§ 1. Задачи о геодезических	149
3.1.1. Задача о геодезических в трёхмерном евклидовом пространстве (149). 3.1.2. Отыскание геодезических в случае, когда поверхность задана параметрическими уравнениями (151). 3.1.3. Отыскание геодезических на римановых многообразиях (152).
§ 2. Вариационнные принципы механики	153
3.2.1. Принцип Гамильтона-Остроградского (153). 3.2.2. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби (156). 3.2.3. Принцип наименьшего действия и его связь с теорией геодезических (157). 3.2.4. Вывод уравнения малых колебаний струны (157). 3.2.5. Вывод уравнения колебаний мембраны (159). 3.2.6. Вывод уравнения колебаний стержня, заделанного на концах (160).
§ 3. Задача Штурма-Лиувилля	161
3.3.1. Постановка задачи (161). 3.3.2. Задача Штурма-Лиувилля (162). 3.3.3. Формула Грина. Самосопряжённые краевые задачи (163). 3.3.4. Функция Грина самосопряжённой краевой задачи Штурма-Лиувилля (164). 3.3.5. Теорема Гильберта (167). 3.3.6. Эквивалентность самосопряжённой задачи Штурма-Лиувилля симметричному интегральному уравнению (167). 3.3.7. Свойства собственных значении и собственных функций самосопряжённой задачи Штурма-Лиувилля (168). 3.3.8. Знак собственных значений (169). 3.3.9. Неоднородная краевая задача (170). 3.3.10. Обобщённая функция Грина (170). 3.3.11. Экстремальные свойства собственных значений и собственных функций (173). 3.3.12. Метод Ритца (176). 3.3.13. Теория Якоби второй вариации в простейшей задаче вариационного исчисления (179).
Литература	181
Предметный указатель	185

Книги на ту же тему

Интегральные уравнения. — 2-е изд., испр., Привалов И. И., 1937
Интегральные уравнения, Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик Л. С., Стеценко В. Я., 1968
Интегральные уравнения (Введение в теорию), Краснов М. Л., 1975
Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, Литвинчук Г. С., 1977
Метод сингулярных интегральных уравнений, Джураев А. Д., 1987
Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд., стереотип., Градштейн И. С., Рыжик И. М., 1971
Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики: Учебное пособие, Дмитриев В. И., Захаров Е. В., 1987
Методы граничных элементов в прикладных науках, Бенерджи П. К., Баттерфилд Р., 1984
Интегральные уравнения в теории упругости, Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., 1994
Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Нобл Б., 1962
Лекции по нелинейному функциональному анализу, Ниренберг Л., 1977
Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
Прикладной функциональный анализ, Балакришнан А. В., 1980
Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Варга Д., 1977
Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами, Флеминг У., Ришел Р., 1978
Сборник задач по математике для втузов: Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. — 2-е изд., перераб., Вуколов Э. А., Ефимов А. В., Земсков В. Н., Каракулин А. Ф., Лесин В. В., Поспелов А. С., Терещенко А. М., 1990
Введение в теорию линейного и выпуклого программирования, Еремин И. И., Астафьев Н. Н., 1976
Итеративные методы в теории игр и программировании, Беленький В. З., Волконский В. А., Иванков С. А., Поманский А. Б., Шапиро А. Д., 1974
Равновесная термодинамика и математическое программирование, Каганович Б. М., Филиппов С. П., 1995
Разрешимость и устойчивость задач полиномиального программирования, Белоусов Е. Г., Андронов В. Г., 1993
Практические занятия по курсу математического программирования, Капустин В. Ф., 1976
Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции, Хог Э. Д., Арора Я. С., 1983
Элементы динамического программирования, Вентцель Е. С., 1964
Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В. В., 1995
Элементы наследственной механики твёрдых тел, Работнов Ю. Н., 1977

elapsed time 0.022 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему