Эта брошюра посвящена гиперкомплексным числам — обобщению обычных комплексных чисел. В ней рассказывается о том, к чему приводит замена одной «мнимой единицы» i несколькими мнимыми единицами, иначе говоря, рассказывается о величинах вида a + bi + сj… В частности, книга знакомит читателя с замечательными примерами гиперкомплексных чисел — кватернионами и октавами. Эти числа играют большую роль в различных математических вопросах. В книге рассматриваются два таких вопроса: разыскание «алгебр с делением» (теорема Фробениуса) и разыскание «нормированных алгебр» (теорема Гурвица).

Предметом этой книжки являются различные системы «чисел», которые можно построить, исходя из действительных чисел, путём добавления ряда «мнимых единиц». Классический пример такой системы — это система комплексных чисел.

Одно из важнейших свойств комплексных чисел выражается тождеством

(1)     |zz'| = |z|·|z'|

(модуль произведения равен произведению модулей). Если обозначить z = a₁+а₂i, z' = b₁ + b₂i, то (1) перепишется в виде

        (a₁b₁ - a₂b₂)² + (a₁b₂ + a₂b₁)² = (a₁² + a₂²) (b₁² + b₂²).

Прочитанное справа налево, это тождество звучит так: «произведение суммы двух квадратов на сумму двух квадратов есть снова сумма двух квадратов».

Существуют ли подобные тождества с большим, чем 2, числом квадратов?

Как описать все такие тождества?

Ещё Л. Эйлер указал пример тождества для 4 квадратов; позже было найдено тождество для 8 квадратов. Однако полное решение вопроса удалось получить только в конце XIX века.

Можно предположить, что каждое тождество «для n квадратов» связано с формулой (1), в которой z и z' обозначают уже не комплексные числа, а «числа» более общего вида:

        a₁ + a₂i + a₃ j + … + a_nℓ,

где i, j, …, ℓ — мнимые единицы. Несколько упрощая положение вещей, можно сказать, что это действительно так. Установление связи между тождествами «для n квадратов» и формулой (1) для некоторых систем «гиперкомплексиых» чисел составляет одну из основных линий в общем построении этой книжки.

Другой вопрос, которому уделено в этой книжке много места, — это вопрос о делении гиперкомплексных чисел. Дело в том, что в любой системе гиперкомплексных чисел определены только три из четырёх «арифметических» операций: сложение, вычитание и умножение. Что же касается деления, то вопрос о возможности этой операции для данной системы гиперкомплексных чисел требует отдельного рассмотрения. Вообще, следует сказать, что гиперкомплексные системы, в которых возможно деление, составляют большую редкость. Разумеется, системы действительных чисел, так же как и комплексных, являются примерами систем с делением. Но, кроме них, имеются и другие примеры. Самыми замечательными среди них являются система так называемых кватернионов и система октав. Проблема разыскания всех гиперкомплексных систем с делением исчерпывающим образом не решена и до сих пор. Несколько вариантов этой проблемы будут рассмотрены в данной книжке.

Первая глава этой книги знакомит читателя с различными примерами гиперкомплексных чисел, в том числе с «кватернионами» и «октавами»; для тех и других справедлива формула (1), и те и другие составляют «систему с делением». Третья глава посвящена исключительной роли, которую играют три системы: комплексных чисел, кватернионов, октав по отношению к поставленным выше вопросам. Вторая глава является вспомогательной: в ней излагаются на элементарном уровне основные понятия линейной алгебры.

Книжка рассчитана на учащихся математических школ и просто всех интересующихся математикой. Первая и вторая главы в основном доступны школьнику старших классов, чтение других разделов может потребовать от него довольно напряжённых усилий. Во всех случаях никаких предварительных знаний от читателя не требуется.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Дополнительные главы математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов, Макаров И. П., 1968
2. Математика действительных и комплексных чисел, Андронов И. К., 1975
3. Задачи и теоремы из анализа: В 2 ч. — 3-е изд. (комплект из 2 книг), Пойа Д., Сеге Г., 1978
4. Группы и их графы, Гроссман И., Магнус В., 1971
5. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е изд., стереотип., Привалов И. И., 1977
6. Методы теории функций комплексного переменного. — 5-е изд., испр., Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., 1987
7. Основы теории аналитических функций комплексного переменного, Бицадзе А. В., 1969
8. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 11-е изд., Привалов И. И., 1967
9. Краткий курс теории аналитических функций. — 3-е изд., испр. и доп., Маркушевич А. И., 1966
10. Симметрия в алгебре, Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я., 1967
11. Элементарное введение в абстрактную алгебру, Фрид Э., 1979
12. Основы линейной алгебры и некоторые её приложения. Учебное пособие, Блох Э. Л., Лошинский Л. И., Турин В. Я., 1971
13. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 3-е изд., Кострикин А. И., 2004
14. Алгебра, Ленг С., 1968