Изложен курс лекций по методу функций Ляпунова, прочитанный в Белорусском ордена Трудового Красного Знамени университете им. В. И. Ленина. Основное внимание уделено методам построения функций Ляпунова для нелинейных систем. Приводятся методы оценки области притяжения, оценки решений, времени регулирования, интегральных критериев качества регулирования. Излагаются достаточные критерии асимптотической устойчивости в целом, критерии абсолютной устойчивости. Приведено большое количество функций Ляпунова для нелинейных систем второго и третьего порядков. Рассмотрен случай, когда нелинейности зависят от двух координат точек фазового пространства. Исследуется также проблема построения векторных функций Ляпунова для сложных систем.

Для понимания материала необходимо знать курс математики в объёме втузовской программы.

Книга может быть рекомендована всем интересующимся конкретными приложениями теории устойчивости.

Библ. назв. 190

Метод функций Ляпунова является одним из наиболее эффективных методов исследования систем автоматического управления.

Значение этого метода далеко не исчерпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова для конкретной нелинейной системы автоматического управления позволяет решить целый комплекс задач, имеющих важное прикладное значение. К таким задачам относятся: оценки изменения регулируемой величины, оценка времени протекания переходного процесса (времени регулирования), оценка интегральных критериев качества регулирования и т. д.

С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т. е. многообразие всех начальных возмущений, исчезающих во времени, получить оценку влияния постоянно действующих возмущений. Знание функции Ляпунова позволяет решать задачи устойчивости в «большом», т. е. оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной заранее области. С помощью функций Ляпунова можно решать также проблему существования или отсутствия периодических решений. Функции Ляпунова широко используются и в теории оптимального управления.

Проблема обращения теорем об устойчивости А. М. Ляпунова была одной из самых трудных и интересных проблем рассматриваемой теории. Однако методы построения функций Ляпунова, разработанные для получения необходимых условий устойчивости и неустойчивости, хотя и позволили установить факт существования таких функций, но не были настолько эффективными, чтобы ими можно было воспользоваться при исследовании конкретных систем.

Следует заметить, что способ построения функций Ляпунова для линейных автономных систем был указан ещё самим А. М. Ляпуновым. При наличии свойства асимптотической устойчивости у системы линейного приближения легко строится функция Ляпунова в достаточно малой окрестности положения равновесия соответствующей нелинейной системы.

Проблему построения функций Ляпунова в заданной области фазового пространства нелинейной системы нельзя считать в настоящее время полностью решённой. Имеется лишь некоторый набор приёмов, дающих в ряде случаев положительный результат. Описанию этих приёмов и посвящена предлагаемая вниманию читателя книга.

В самом начале работы над книгой автор предполагал создать справочник, в котором были бы перечислены все наиболее интересные функции Ляпунова. В процессе работы пришлось отказаться от этого замысла, так как обилие примеров грозило затопить ведущие идеи описываемых методов.

Почти все приводимые в книге функции Ляпунова привлекаются для формулировки достаточных условий асимптотической устойчивости при любых начальных возмущениях (устойчивости в целом). Однако главная цель монографии состоит не в формулировке таких условий, а в том, чтобы продемонстрировать на конкретных примерах существующие в настоящее время приёмы построения функций Ляпунова…

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Введение в теорию устойчивости движения, Меркин Д. Р., 1971
2. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
3. Теория колебаний, Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., 1981
4. Введение в теорию нелинейных колебаний: Учебное пособие для втузов. — 2-е изд., испр., Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., 1987
5. Качественная теория дифференциальных уравнений, Немыцкий В. В., Степанов В. В., 1947
6. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
7. Асимптотические методы нелинейной механики, Моисеев Н. Н., 1969
8. Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
9. Методы анализа нелинейных математических моделей, Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М., 1991
10. Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
11. Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
12. Обратные задачи динамики, Галиуллин А. С., 1981
13. Нелинейная динамика поверхностных вод суши, Найденов В. И., 2004
14. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории, Занг В.-Б., 1999
15. Робастная устойчивость и управление, Поляк Б.Т., Щербаков П. С., 2002
16. Основы теории автоматического регулирования и автоматические регуляторы технологических процессов, Ордынцев В. М., Шендлер Ю. И., 1960
17. Системы автоматического управления двигателями летательных аппаратов, Боднер В. А., Рязанов Ю. А., Шаймарданов Ф. А., 1973