В первой части даётся систематическое изложение численных методов теории оптимальных управлений. Сначала описываются методы, использующие необходимые условия экстремума функционала. Далее рассматриваются численные методы, использующие идеи последовательного анализа вариантов и динамического программирования.

Вторая часть (главы IV, V и VI) посвящена вопросам синтеза систем управления объектами, подверженными действию внешних возмущений разного типа. Сначала подробно обсуждается математическое содержание проблемы синтеза и приводятся разнообразные методы синтеза, основанные на эвристических соображениях. Затем излагаются строгие методы теории линейного синтеза.

В заключение этой части обсуждается проблема синтеза в условиях неопределённости и приводится решение простых задач, иллюстрирующих роль информированности при построении оператора управления.

В последней главе обсуждается постановка задач теории иерархических систем управления.

Илл. 39.

«Элементы теории оптимальных систем» написаны на основе книги «Численные методы в теории оптимальных систем». Несмотря на то, что со времени её издания (1971 г.) прошло сравнительно немного времени, в теории управления появилось немало новых идей и результатов, которые потребовали переработки книги и многочисленных дополнений.

Мне кажется, что наиболее значительным из того, что произошло за эти годы, было возникновение новой большой главы, посвящённой изучению систем, обладающих иерархической организацией. Это обстоятельство означает, по существу говоря, постепенное перемещение центра тяжести интересов теории управления в сторону изучения действительных сложных систем. По-видимому, все управляемые системы естественно разбить на простые, которые для достижения своих целей не нуждаются в иерархической организации, и сложные, для которых иерархия управления является необходимостью.

Переход к изучению сложных систем, требующих иерархической структуры, приведёт, вероятно, к значительному обогащению и пересмотру традиционных идей, методов и объектов исследования в теории управления. В частности, он позволит распространить многие из результатов, найденных при изучении технических систем, на задачи управления процессами более общей природы и, прежде всего, экономическими. Фрагментарному изложению элементов этой теории посвящена новая седьмая глава.

Таким образом, схема книги приобрела следующий вид. Первые три главы посвящены тому, что теперь принято называть «теорией оптимального управления», т. е. вариационному исчислению при дифференциальных связях и ограничениях на управляющие воздействия. Центральное место здесь занимают задачи Лагранжа и Л. С. Понтрягина. Рассмотрение ограничивается только кусочно-непрерывными управлениями. Это обстоятельство позволило получить очень простое доказательство принципа максимума. Помимо традиционного материала в первую главу книги включена также задача об асимптотике оптимального управления на бесконечном интервале времени.

Две следующие главы содержат изложение численных методов теории оптимального управления в той форме, как они изучались и использовались в Вычислительном центре Академии наук. Последующие три главы посвящены проблемам синтеза оптимальных управлений. Сложность задачи, отсутствие надёжного математического аппарата не позволили дать систематического изложения теории синтеза. Оно носит фрагментарный характер. Неизбежность использования эвристических приёмов и апелляции к интуиции заставила автора подробно обсуждать техническое содержание обсуждаемых проблем теории синтеза и приёмы анализа, основанные на интуитивной базе.

Завершается книга, как уже было сказано, главой о иерархических системах, где любое решение задачи необходимо носит характер синтеза.

Эта книга ни в коей мере не претендует на роль энциклопедии методов теории оптимальных систем. Она написана на основе опыта, приобретённого в Вычислительном центре Академии наук СССР и отражает прежде всего опыт автора данной монографии и его взгляды на существо изучаемой проблемы.

Необходимо заметить, что в последние годы значительно обогатился не только идейный базис теории управления, но и её аппарат. Прежде всего, появился ряд первоклассных исследований алгоритмов оптимизации. Новые способы доказательства сходимости, предложенные В. Г. Кармановым, идеи ускорения сходимости Н. 3. Шора, Б. Н. Пшеничного и их учеников, методы стохастического программирования Ю. М. Ермольева и многие другие работы, выполненные в традиционном стиле, составляют, конечно, замечательную новую главу прикладной математики.

Тем не менее эти результаты не нашли своего места в книге. И тому много причин.

Во-первых, их изложение потребовало бы значительного расширения объёма и в какой-то степени дублировало бы выходящие в данной серии книгу Б. Н. Пшеничного и Ю. М. Данилина и книгу Ю. М. Ермольева.

Во-вторых, как уже говорилось, автор старался включить в книгу лишь те разделы, в развитие которых он сам внёс определённую лепту.

Но третье и главное — это стремление сохранить «физический уровень» строгости и не перегружать книгу чисто математическими исследованиями. Это стремление отражено и в заглавии. Сам термин «оптимальные системы» очень нечёток, и благодаря этому он отражает существо дела.

Когда речь идёт о любой реальной системе технической, экономической, военной, — то процесс её проектирования никогда не может быть чётко сформулирован и сведён к решению какой-либо одной задачи или даже цепочки математических задач. Противоречивость требований к конструкции и наличие ряда других неопределённостей, с которыми неизбежно сталкивается человек, проектирующий систему, приводит к тому, что неформальный анализ, поиск компромисса занимает значительное место в процессе проектирования. В результате именно такого неформального анализа в проектировании и удаётся эффективно использовать оптимизационные методы (как некоторый вспомогательный элемент), дающие предельные оценки конструкции.

Поэтому в предлагаемой книге автор хотел изложить не только математическую теорию оптимального управления, которая, конечно, занимает большое место в книге, но и показать место оптимизационных задач в проблемах проектирования систем управления.

И, наконец, последнее. В книгах по методам оптимизации стало традиционным особенное внимание уделять проблемам сходимости алгоритмов. Студент, окончивший математический факультет, глубоко убеждён в том, что сходящийся алгоритм — это хороший алгоритм, а расходящийся — плохой. А строго говоря, свойство сходимости алгоритма в общем случае не является ни необходимым, ни достаточным для того, чтобы его можно было рекомендовать для окончательной оценки алгоритма. Существует много примеров, когда реализация сложных вычислений была осуществлена с помощью заведомо расходящихся алгоритмов и, наоборот, устойчивые сходящиеся алгоритмы приводили уже на одной из первых итераций к машинной бесконечности.

Эти примеры ничего не опровергают. Они просто показывают недостаточность традиционных представлений.

Постепенно начинает возникать понимание того факта, что математика не так уж существенно отличается от других естественных наук и, во всяком случае, имеет такое же эмпирическое начало. После работ Геделя, изобретения ЭВМ и опыта работы математиков в прикладных областях этот тезис становится всё более распространённым. Как и любое другое знание, любая другая наука, математика нужна человеку для решения определённых практических задач, достижения определённых целей. И каждый раз требования к этим знаниям, к анализу должны находиться в определённом соответствии с этими целями…

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Математические задачи системного анализа, Моисеев Н. Н., 1981
2. Прикладной функциональный анализ, Балакришнан А. В., 1980
3. Современное состояние теории исследования операций, Моисеев Н. Н., ред., 1979
4. Методы оптимизации, Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М., 1978
5. Компьютер и задачи выбора, Журавлёв Ю. И., сост., 1989
6. Оптимальные решения, Ланге О., 1967
7. Линейное программирование: Пособие для экономистов, Габр Я., 1960
8. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования, Еремин И. И., Астафьев Н. Н., 1976
9. Оптимальные решения в экономике, Канторович Л. В., Горстко А. Б., 1972
10. Равновесная термодинамика и математическое программирование, Каганович Б. М., Филиппов С. П., 1995
11. Итеративные методы в теории игр и программировании, Беленький В. З., Волконский В. А., Иванков С. А., Поманский А. Б., Шапиро А. Д., 1974
12. Разрешимость и устойчивость задач полиномиального программирования, Белоусов Е. Г., Андронов В. Г., 1993
13. Численные методы оптимизации: Единый подход, Полак Э., 1974
14. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами, Флеминг У., Ришел Р., 1978
15. Теория максимина и её приложение к задачам распределения вооружения, Данскин Д. М., 1970
16. Теория игр, Оуэн Г., 1971
17. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах, Горелик В. А., Кононенко А. Ф., 1982
18. Параллельные алгоритмы целочисленной оптимизации, Хохлюк В. И., 1987
19. Практические занятия по курсу математического программирования, Капустин В. Ф., 1976
20. Вариационное исчисление и интегральные уравнения: Справочное руководство. — 2-е изд., перераб., Цлаф Л. Я., 1970
21. Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
22. Динамические задачи дискретной оптимизации, Рихтер К., 1985
23. Элементы динамического программирования, Вентцель Е. С., 1964
24. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Варга Д., 1977
25. Синтез оптимального управления колебательными системами, Божко А. Е., 1990
26. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления, Раскин Л. Г., 1976
27. Курс теории автоматического управления, Паллю де Ла Барьер Р., 1973
28. Контроль динамических систем. — 2-е изд., перераб. и доп., Евланов Л. Г., 1979
29. Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции, Хог Э. Д., Арора Я. С., 1983
30. Стохастическое оптимальное управление: случай дискретного времени, Бертсекас Д., Шрив С., 1985
31. Управление гибкими производственными системами, Соломенцев Ю. М., Сосонкин В. Л., 1988
32. Иерархические структуры. Модель процессов проектирования и планирования, Мангейм М. Л., 1970