В книге изложена теория приложений метода моментов для приближённого отыскания собственных значений линейных операторов и решения линейных уравнений. Теория иллюстрируется рядом конкретных прикладных задач. Рассчитана на научных работников и аспирантов в области прикладной математики, физики и техники, а также на студентов старших курсов соответствующих специальностей.

Многочисленные задачи механики, физики и техники приводят к рассмотрению линейных уравнений как неоднородных в статических задачах, так и однородных в проблеме колебаний. Идея применения метода последовательных приближений (итеративного метода) для решения этих уравнений возникла уже давно. Итеративный метод был использован ещё Лиувиллем в его исследованиях в области линейных дифференциальных уравнений. Тот же метод применял Нейман в теории потенциала.

Вычисление решений линейных уравнений последовательными приближениями связано с рядом трудностей. Во-первых, процесс приближений может не сходиться к решению. Это обстоятельство сильно сужает круг задач, где этот метод может быть использован. Во-вторых, даже если процесс приближений сходится к решению, часто оказывается, что сходимость настолько медленная, что для фактического вычисления решения с удовлетворительной точностью нужно проделать очень большое количество вычислений.

Ограниченная область применения и медленная сходимость процессов приближений рассеяли на время интерес к теории итеративных методов. Лишь в последнее время с появлением автоматических счётных машин итеративные методы вследствие простоты вычислительной схемы стали широко применяться в практических расчётах. Это, естественно, возбудило интерес к их теории.

В предлагаемой работе мы из большого числа различных итеративных методов, развитых за последние годы, излагаем лишь один класс методов, построенных на вариационном принципе и тесно связанных с классической проблемой моментов Чебышёва-Маркова. Эти методы выгодно отличаются как широтой круга задач, где они могут быть использованы, так и быстротой сходимости последовательных приближений.

Общая постановка задачи и использование аппарата функционального анализа позволили объединить все методы рассматриваемого класса в единый метод моментов.

Для облегчения чтения книги мы сочли необходимым изложить в нужных местах в краткой и по возможности доступной форме терминологию и основные результаты теории линейных операторов в гильбертовом пространстве. Однако для более глубокого понимания некоторых разделов книги необходимо знакомство со спектральной теорией самосопряжённых операторов и теорией неограниченных операторов. Эти вопросы прекрасно изложены в курсах Л. Люстерника и В. Соболева «Элементы функционального анализа» и Ф. Рисса и Б. Надя «Лекции по функциональному анализу», к которым мы и отсылаем читателя.

Материал этой книги неоднократно обсуждался с Л. А. Люстерником, сделавшим мне ряд ценных указаний, которые мною использованы при написании книги, за что я и приношу ему свою глубокую признательность.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
2. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
3. Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
4. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
5. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
6. Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
7. Лекции по методам вычислений, Гавурин М. К., 1971
8. Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
9. Численные и графические методы прикладной математики: Справочник, Фильчаков П. Ф., 1970
10. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
11. Устойчивость разностных схем, Самарский А. А., Гулин А. В., 1973
12. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
13. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И., 1995
14. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
15. Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
16. Уравнения математической физики, Бицадзе А. В., 1976
17. Уравнения с частными производными, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., 1966
18. Уравнения математической физики. — 7-е изд., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 2004
19. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
20. Интегральные уравнения в теории упругости, Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., 1994
21. Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
22. Вариационное исчисление и интегральные уравнения: Справочное руководство. — 2-е изд., перераб., Цлаф Л. Я., 1970
23. Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
24. Лекции по нелинейному функциональному анализу, Ниренберг Л., 1977
25. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, Варга Р., 1974
26. Итеративные методы в теории игр и программировании, Беленький В. З., Волконский В. А., Иванков С. А., Поманский А. Б., Шапиро А. Д., 1974