Систематически излагаются основы теории устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые смежные вопросы. В дополнении излагаются основы теории почти периодических функций и их приложения к дифференциальным уравнениям. Включены дополнительные сведения к втузовскому курсу высшей математики.

Рисунков 66. Библиографических ссылок 82.

Книга представляет собой обработанный и дополненный курс лекций по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений, читанный автором в течение ряда лет на механико-математическом факультете Московского университета. Книга в основном рассчитана на студентов физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов, прослушавших обычный курс теории обыкновенных дифференциальных уравнений, но она будет также доступна и инженерам механического профиля, так как необходимые дополнительные сведения по математике приведены в курсе. Большое внимание обращено на точность формулировок и строгость доказательств. Механические и физические приложения затронуты незначительно; интересующийся этими вопросами читатель может обратиться к сочинениям: А. А. Андронов, А. А. Витт, Э. С. Хайкин, Теория колебаний, Физматгиз; 1959; Б. В. Булгаков, Колебания, ГИТТЛ, 1954; И. Г. Малкин, Теория устойчивости движения, ГИТТЛ, 1952; Н. Г. Четаев, Устойчивость движения, ГИТТЛ, 1946 и др.

Содержание книги посвящено классическому понятию устойчивости движения в смысле Ляпунова и некоторым связанным с ним проблемам. В основу положена матрично-векторная трактовка систем дифференциальных уравнений, в частности, широко использована жорданова форма матрицы. Это позволяет избегать излишних технических подробностей при вычислениях и более отчётливо выявлять суть дела. Решения линейных дифференциальных систем в большинстве случаев рассматриваются как комплекснозначные векторы-столбцы без перехода в действительную область; это выгодно при записи многих формул. Что касается нелинейных систем, то они, как правило, изучаются в действительной области.

Необходимые сведения по матричному исчислению приведены в первой главе и в приложении.

Чтобы не усложнять изложение техническими подробностями, в книге рассматриваются системы дифференциальных уравнений, правые части которых непрерывны (или кусочно непрерывны) относительно независимой переменной и дифференцируемы по зависимой переменной.

Первая гдава книги содержит элементы матричного исчисления. Здесь излагаются алгебра матриц и теория матричных рядов. Даётся понятие об экспоненциале и логарифме матрицы.

В главе второй изучается устойчивость линейных дифференциальных систем. Доказывается критерий Гурвица. На основе леммы Гронуолла-Беллмана исследуется устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей.

Глава третья посвящена первому методу Ляпунова. Проводится теория характеристических чисел функций и матриц. Рассматриваются правильные и приводимые системы, включая теоремы Ляпунова, Перрона и Еругина. Излагается теория Флоке и теорема Ляпунова-Пуанкаре для линейных гамильтоновых систем. Даётся понятие о методе малого параметра для разыскания периодических решений.

В главе четвёртой для систем в действительном пространстве изучаются основы второго метода Ляпунова. Доказываются классические теоремы Ляпунова, теорема Четаева и теорема обращения Персидского. С помощью метода функций Ляпунова устанавливаются необходимые и достаточные условия ограниченности решений дифференциальных систем (устойчивость в смысле Лагранжа). Даётся понятие о диссипативных системах.

Глава пятая содержит теоремы Красносельского-Крейна, теорему усреднения Боголюбова и асимптотику L-диагональных систем.

В дополнении изложены основные сведения по теории почти периодических функций в смысле Бора и теорема Америо для почти периодических дифференциальных систем.

В приложении даётся понятие о жордановой форме матрицы…

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Введение в теорию устойчивости движения, Меркин Д. Р., 1971
2. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
3. Устойчивость разностных схем, Самарский А. А., Гулин А. В., 1973
4. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — 2-е изд., перераб. и доп., Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э., 1968
5. Функции Ляпунова, Барбашин Е. А., 1970
6. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И., 1995
7. Обратные задачи динамики, Галиуллин А. С., 1981
8. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
9. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
10. Численные и графические методы прикладной математики: Справочник, Фильчаков П. Ф., 1970
11. Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
12. Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
13. Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
14. Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
15. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
16. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2-х томах (комплект из 2 книг), Бахвалов Н. С., Воеводин В. В., Дымников В. П., ред., 2005
17. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
18. Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
19. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
20. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие для вузов. — 6-е изд., стер., Филиппов А. Ф., 1985
21. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
22. Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
23. Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
24. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
25. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек, Якушев В. Л., 2004
26. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания, Андреев А. Н., Немировский Ю. В., 2001
27. Введение в теорию нелинейных колебаний: Учебное пособие для втузов. — 2-е изд., испр., Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., 1987
28. Теория колебаний, Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., 1981
29. Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание, Климов Д. М., Петров А. Г., Георгиевский Д. В., 2005
30. Разреженные матрицы, Тьюарсон Р., 1977
31. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Деммель Д., 2001
32. Разрешимость и устойчивость задач полиномиального программирования, Белоусов Е. Г., Андронов В. Г., 1993