Систематически излагаются основы теории устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые смежные вопросы. В дополнении излагаются основы теории почти периодических функций и их приложения к дифференциальным уравнениям. Включены дополнительные сведения к втузовскому курсу высшей математики.

Рисунков 66. Библиографических ссылок 82.

Книга представляет собой обработанный и дополненный курс лекций по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений, читанный автором в течение ряда лет на механико-математическом факультете Московского университета. Книга в основном рассчитана на студентов физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов, прослушавших обычный курс теории обыкновенных дифференциальных уравнений, но она будет также доступна и инженерам механического профиля, так как необходимые дополнительные сведения по математике приведены в курсе. Большое внимание обращено на точность формулировок и строгость доказательств. Механические и физические приложения затронуты незначительно; интересующийся этими вопросами читатель может обратиться к сочинениям: А. А. Андронов, А. А. Витт, Э. С. Хайкин, Теория колебаний, Физматгиз; 1959; Б. В. Булгаков, Колебания, ГИТТЛ, 1954; И. Г. Малкин, Теория устойчивости движения, ГИТТЛ, 1952; Н. Г. Четаев, Устойчивость движения, ГИТТЛ, 1946 и др.

Содержание книги посвящено классическому понятию устойчивости движения в смысле Ляпунова и некоторым связанным с ним проблемам. В основу положена матрично-векторная трактовка систем дифференциальных уравнений, в частности, широко использована жорданова форма матрицы. Это позволяет избегать излишних технических подробностей при вычислениях и более отчётливо выявлять суть дела. Решения линейных дифференциальных систем в большинстве случаев рассматриваются как комплекснозначные векторы-столбцы без перехода в действительную область; это выгодно при записи многих формул. Что касается нелинейных систем, то они, как правило, изучаются в действительной области.

Необходимые сведения по матричному исчислению приведены в первой главе и в приложении.

Чтобы не усложнять изложение техническими подробностями, в книге рассматриваются системы дифференциальных уравнений, правые части которых непрерывны (или кусочно непрерывны) относительно независимой переменной и дифференцируемы по зависимой переменной.

Первая гдава книги содержит элементы матричного исчисления. Здесь излагаются алгебра матриц и теория матричных рядов. Даётся понятие об экспоненциале и логарифме матрицы.

В главе второй изучается устойчивость линейных дифференциальных систем. Доказывается критерий Гурвица. На основе леммы Гронуолла-Беллмана исследуется устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей.

Глава третья посвящена первому методу Ляпунова. Проводится теория характеристических чисел функций и матриц. Рассматриваются правильные и приводимые системы, включая теоремы Ляпунова, Перрона и Еругина. Излагается теория Флоке и теорема Ляпунова-Пуанкаре для линейных гамильтоновых систем. Даётся понятие о методе малого параметра для разыскания периодических решений.

В главе четвёртой для систем в действительном пространстве изучаются основы второго метода Ляпунова. Доказываются классические теоремы Ляпунова, теорема Четаева и теорема обращения Персидского. С помощью метода функций Ляпунова устанавливаются необходимые и достаточные условия ограниченности решений дифференциальных систем (устойчивость в смысле Лагранжа). Даётся понятие о диссипативных системах.

Глава пятая содержит теоремы Красносельского-Крейна, теорему усреднения Боголюбова и асимптотику L-диагональных систем.

В дополнении изложены основные сведения по теории почти периодических функций в смысле Бора и теорема Америо для почти периодических дифференциальных систем.

В приложении даётся понятие о жордановой форме матрицы…

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предисловие	6
Обозначения	9

Г л а в а I
Некоторые сведения из матричного исчисления	11

§ 1. Арифметические действия над матрицами	11
§ 2. Степень матрицы	18
§ 3. Клеточные матрицы	19
§ 4. Норма матрицы	20
§ 5. Векторное пространство	22
§ 6. Жорданова форма матрицы	35
§ 7. Функции матрицы	41
§ 8. Матричные ряды	42
§ 9. Матричные степенные ряды	44
§ 10. Тождество Кейли и формула Сильвестра	48
§ 11. Производная и интеграл матрицы	50
§ 12. Экспоненциал матрицы	54
§ 13. Нормальная форма экспоненциала матрицы	55
§ 14. Некоторые свойства экспоненциала матрицы	57
§ 15. Логарифм матрицы	59
Упражнение к главе I	62

Г л а в а II
Устойчивость линейных дифференциальных систем	64

§ 1. Основные понятия теории устойчивости	64
§ 2. Общие свойства решений линейной дифференциальной системы	70
§ 3. Формула Остроградского-Лиувилля.	73
§ 4. Матрицант	74
§ 5. Метод вариации произвольных достоянных Лагранжа	76
§ 6. Общие теоремы об устойчивости линейных дифференциальных систем	78
§ 7. Устойчивость линейных однородных дифференциальных систем	81
§ 8. Устойчивость линейной дифференциальной системы с постоянной
матрицей	85
§ 9. Критерий Гурвица	90
§ 10. Критерий Михайлова	102
§ 11. Леммы Гронуолла-Беллмана и Бихари	108
§ 12. Устойчивость линейной дифференциальной системы с почти
постоянной матрицей	112
§ 13. Случай Лаппо-Данилевского	117
Упражнения к главе II	119

Г л а в а III
Первый метод Ляпунова	123

§ 1. Характеристические показатели функций	123
§ 2. Характеристические показатели функциональных матриц	132
§ 3. Спектр линейной однородной системы	135
§ 4. Нормальные фундаментальные системы	138
§ 5. Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной
дифференциальной системы	147
§ 6. Неравенство Важевского	149
§ 7. Неравенство Ляпунова	150
§ 8. Приводимые системы. Теорема Н. П. Еругина	153
§ 9. Приводимость к системе с нулевой матрицей	156
§ 10. Асимптотически эквивалентные системы	159
§ 11. Правильные системы	165
§ 12. Теорема Перрона	168
§ 13. Правильность треугольной линейной системы	174
§ 14. Теорема Перрона о триангуляции линейной системы	178
§ 15. Теория Флоке	183
§ 16. Приводимость периодической линейной системы	188
§ 17. Нормальная форма решений линейной периодической системы	190
§ 18. Приближённое вычисление мультипликаторов	193
§ 19. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с
периодическими коэффициентами	197
§ 20. Гамильтонова система дифференциальных уравнений	208
§ 21. Возвратные уравнения	211
§ 22. Теорема Ляпунова-Пуанкаре	213
§ 23. Неоднородная периодическая система	215
§ 24. Метод малого параметра	222
Упражнения к главе III	225

Г л а в а IV
Второй метод Ляпунова	234

§ 1. Приведённая система	234
§ 2. Знакоопределённые функции	235
§ 3. Первая теорема Ляпунова (теорема об устойчивости)	237
§ 4. Вторая теорема Ляпунова (теорема об асимптотической
устойчивости)	240
§ 5. Третья теорема Ляпунова (теорема об неустойчивости)	244
§ 6. Теорема Четаева	246
§ 7. Асимптотическая устойчивость в целом	248
§ 8. Экспоненциальная устойчивость	251
§ 9. Теорема Персидского	254
§ 10. Устойчивость квазилинейных систем	257
§ 11. Оценка матрицы Коши для правильной системы	265
§ 12. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению	266
§ 13. Признак устойчивости для нелинейных систем с неправильной
линейной частью	271
§ 14. Неограниченная продолжаемость решений	274
§ 15. Устойчивость по Лагранжу	278
§ 16. Системы с конвергенцией	281
§ 17. Диссипативные системы	289
§ 18. Уравнения в вариациях	293
§ 19. Орбитальная устойчивость	295
§ 20. Аналог теоремы Андронова-Витта	299
§ 21. Признак Пуанкаре	312
§ 22. Условная устойчивость	314
Упражнения к главе IV	319

Г л а в а V
Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений	324

§ 1. Равномерная сходимость семейства функций	324
§ 2. Теорема Арцеля	325
§ 3. Теорема Красносельского и Крейна	328
§ 4. Теорема Н. Н. Боголюбова	332
§ 5. Принцип сжатых отображений	335
§ 6. Сингулярные интегральные уравнения типа Вольтерра	339
§ 7. Асимптотика L-диагональных систем	342
§ 8. Лемма о диагонализации переменной матрицы	349
§ 9. Приведение линейной системы к L-диагональному виду	353
§ 10. Теорема Боля	358
Упражнения к главе V	365

Д о п о л н е н и е
Почти периодические функции	367

§ 1. Почти периодические функции в смысле Бора	367
§ 2. Основные свойства почти периодических функций	369
§ 3. Арифметические действия с почти периодическими функциями	371
§ 4. Равномерно сходящаяся последовательность почти периодических
функций	374
§ 5. Интеграл почти периодической функции	376
§ 6. Теорема о среднем значении почти периодической функции	379
§ 7. Пространство почти периодических функций	387
§ 8. Неравенство Бесселя	389
§ 9. Понятие о ряде Фурье почти периодической функции	391
§ 10. Формальные операции над рядами Фурье почти периодических
функций	395
§ 11. Свёртка почти периодической функции	397
§ 12. Теорема единственности	402
§ 13. Равенство Парсеваля	410
§ 14. Теорема аппроксимации	412
§ 15. Теорема компактности Бохнера	415
§ 16. Почти периодические матрицы	418
§ 17. Линейная система с постоянной матрицей и свободным почти
периодическим членом	421
§ 18. Квазилинейная почти периодическая система	425
§ 19. H-класс почти периодической системы	428
§ 20. Ограниченные решения почти периодических систем	431
§ 21. Теоремы Америо и Фавара	437
Упражнения	442

П р и л о ж е н и е. Жорданова форма матрицы	445

Цитированная литература	466
Предметный указатель	470

Книги на ту же тему

Введение в теорию устойчивости движения, Меркин Д. Р., 1971
Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
Устойчивость разностных схем, Самарский А. А., Гулин А. В., 1973
Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — 2-е изд., перераб. и доп., Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э., 1968
Функции Ляпунова, Барбашин Е. А., 1970
Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И., 1995
Обратные задачи динамики, Галиуллин А. С., 1981
Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
Численные и графические методы прикладной математики: Справочник, Фильчаков П. Ф., 1970
Основные понятия вычислительной математики. — 2-е изд., Дьяченко В. Ф., 1977
Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2-х томах (комплект из 2 книг), Бахвалов Н. С., Воеводин В. В., Дымников В. П., ред., 2005
Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие для вузов. — 6-е изд., стер., Филиппов А. Ф., 1985
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек, Якушев В. Л., 2004
Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания, Андреев А. Н., Немировский Ю. В., 2001
Введение в теорию нелинейных колебаний: Учебное пособие для втузов. — 2-е изд., испр., Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., 1987
Теория колебаний, Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., 1981
Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание, Климов Д. М., Петров А. Г., Георгиевский Д. В., 2005
Разреженные матрицы, Тьюарсон Р., 1977
Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Деммель Д., 2001
Разрешимость и устойчивость задач полиномиального программирования, Белоусов Е. Г., Андронов В. Г., 1993

elapsed time 0.022 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему