Среди крупных достижений современной математики, получивших наибольшую популярность и одобрение в инженерных кругах, особое место занимает математическая теория оптимального управления, созданная коллективом советских учёных во главе с академиком Л. С. Понтрягиным. Основы этой теории были изложены в изданной в 1961 году монографии Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко «Математическая теория оптимальных процессов», удостоенной Ленинской премии за 1962 год.

В настоящей книге математическая теория оптимального управления излагается в форме, доступной инженеру, имеющему математическую подготовку в объёме технического вуза. Особое внимание автор уделяет вычислительным методам, а также тем задачам, которые к моменту написания книги удалось решить полностью. Стремясь к максимальной простоте изложения, автор нигде не жертвовал строгостью. Тем самым, нужная инженеру, эта книга будет интересна и математику.

Во втором издании книга существенно переработана автором: изменена планировка книги, по-новому изложены доказательства ряда теорем, добавлен новый материал. Таким образом, по существу, вниманию читателя предлагается новая книга.

Математическая теория оптимального управления возникла недавно. Центральным её стержнем служит принцип максимума и связанный с ним круг исследований, которые проведены коллективом математиков, возглавляемым академиком Львом Семёновичем Понтрягиным. Принцип максимума был высказан в качестве гипотезы Л. С. Понтрягиным. Это явилось основным стимулом и исходным пунктом возникновения теории оптимальных процессов. Поэтому указанная теорема и близкие к ней пользуются во всём мире заслуженной известностью под названием принципа максимума Понтрягина. Для линейных систем принцип максимума был доказан Р. В. Гамкрелидзе. Кроме того, ему принадлежат теорема о конечности числа переключений, а также теоремы существования и единственности. Доказательство принципа максимума для нелинейных систем, как и ряд дальнейших результатов об оптимальных процессах в общем нелинейном случае (главы III — IV), принадлежат автору. Важные результаты были получены в Америке Л. Нейштадтом, Ж. Ла-Саллем и группой математиков, возглавляемой Р. Беллманом. Следует также отметить интересные работы академика Н. Н. Красовского, чехословацкого математика Я. Курцвейля и др. Наконец, нужно вспомнить об исследованиях А. А. Фельдбаума, одного из пионеров и энтузиастов этой новой области.

В 1961 году вышла монография, содержащая изложение основных результатов теории оптимального управления [Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, 1961]. Она приобрела известную популярность среди не только математиков, но и инженерных работников. Основные результаты были сформулированы в монографии сравнительно просто и доступно, но понимание доказательств требовало немалой математической культуры. Достаточно сказать, что в них использовались понятие интеграла Лебега, дифференциальные уравнения с измеримыми правыми частями, теорема о слабой компактности сферы в пространстве линейных функционалов и т. п. В связи с этим у автора этих строк давно возник замысел написать более простую книгу по тем же вопросам. Замысел этот становился всё яснее, так как не раз приходилось читать лекции по теории оптимальных управлений. Наконец мне удалось найти доказательство теоремы существования оптимальных управлений, не использующее слабой компактности сферы. Это позволило отказаться от использования измеримых функций и интеграла Лебега и вернуться к первоначальному доказательству принципа максимума, использующему лишь кусочно-непрерывные функции. Изложение сразу стало заметно более простым.

Благодаря произведённым упрощениям книга доступна, например, студенту, овладевшему курсом математики втуза. Книга отличается от упоминавшейся выше монографии и по содержанию. Я не включил задачу о преследовании стохастически движущегося объекта, решённую Л. С. Понтрягиным и Е. Ф. Мищенко, поскольку она сложна (по характеру получаемого результата) и имеет скорее теоретическую ценность, чем практическую направленность. Однако в книгу включены некоторые новые результаты, из которых в первую очередь следует упомянуть очень интересные и изящные результаты Нейштадта (и дополняющие их результаты Итона) о приближённом вычислении линейных оптимальных быстродействий, полученные автором достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования, ряд новых примеров и результатов и т. д. О целесообразности такого отбора материала предоставляется судить читателю.

Второе издание книги существенно отличается от предыдущего. Теория линейных оптимальных быстродействий излагается до общей теории и независимо от неё. В связи с этим добавлено простое доказательство принципа максимума для линейного случая. Таким образом,, первые две главы представляют собой теперь законченное целое, которое можно рекомендовать для первого знакомства с предметом.

Третья глава, посвящённая нелинейным оптимальным быстродействиям, также подверглась переработке: по-новому изложено доказательство основной леммы, и, кроме того, существенно расширены результаты автора, относящиеся к нелинейному синтезу. В частности, добавлено исследование оптимальных процессов в нелинейных осциллирующих объектах второго порядка (§ 12).

В конце книги добавлены только что полученные автором результаты об оптимальном управлении объектами, обладающими локальными сечениями (§ 16). Это позволило весьма просто получить теорему Р. В. Гамкрелидзе об оптимальных управлениях при наличии ограничений на фазовые координаты, и даже несколько более общие результаты.

В заключение мне хотелось бы выразить искреннюю благодарность всем тем, кто своим вниманием помог появлению этой книги, прежде всего моему учителю Льву Семёновичу Понтрягину, а также моему коллеге и другу Евгению Фроловичу Мищенко. По его инициативе наш коллектив начал заниматься прикладными вопросами, что и привело к созданию теории оптимального управления. Большую помощь и поддержку оказали мне Н. X. Розов и А. 3. Рывкин. Всем им автор искренне признателен.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В. Болтянский
25 февраля 1968 г.

Предисловие	б

Г л а в а 1. Введение	9

§ 1. Задача об оптимальном быстродействии	10
1. Понятие об управляемых объектах	10
2. Задача управления	13
3. Уравнения движения объекта	16
4. Допустимые управления	19
§ 2. Об основных направлениях в теории оптимальных процессов	24
5. Метод динамического программирования	24
6. Принцип максимума	30
7. Обсуждение принципа максимума	35
§ 3. Пример. Задача синтеза	38
8. Пример применения принципа максимума	38
9. Доказательство оптимальности полученных траекторий	42
10. О дифференцируемости функции Беллмана	45
11. Проблема синтеза оптимальных управлений	49

Г л а в а II. Линейные оптимальные быстродействия. Теория
Гамкрелидзе	54

§ 4. Некоторые сведения из геометрии	54
12. Простейшие понятия n-мерной геометрии	54
13. Некоторые свойства выпуклых множеств	61
14. Определение выпуклых многогранников	64
15. Граница выпуклого многогранника	68
16. Выпуклая оболочка	70
17. Опорные свойства выпуклых многогранников	73
§ 5. Линейная задача оптимального управления	76
18. Формулировка задачи	76
19. Принцип максимума	83
20. Сферы достижимости	85
21. Доказательство принципа максимума	89
22. Принцип максимума — необходимое и достаточное условие
оптимальности	94
23. Замечания о системах, не удовлетворяющих условию общности
положения	98
24. Пример	102
25. План решения линейной задачи оптимального управления	108
§ 6. Основные теоремы о линейных оптимальных быстродействиях	112
26. Теоремы о числе переключений	112
27. Моделирование оптимальных процессов релейными схемами	118
28. Теорема единственности	125
29. Теорема существования	128
30. Доказательства лемм	134
§ 7. Вычислительные методы	139
31. Нахождение начальных значений для вспомогательных
неизвестных: дифференциальное уравнение Нейштадта	139
32. Нахождение начальных значений для вспомогательных
неизвестных: итерационный процесс Итона	148
§ 8. Решение задачи синтеза для линейных задач второго порядка	156
33. Упрощение уравнений линейного управляемого объекта	156
34. Решение задачи синтеза в случае комплексных собственных
значений	162
35. Решение задачи синтеза в случае действительных собственных
значений	176
36. Синтез оптимальных управлений для уравнения второго порядка	189

Г л а в а III. Оптимальные быстродействия (общий случай).
Принцип максимума Понтрягина	196

§ 9. Некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных
уравнений	196
37. Теорема существования и единственности	196
38. Система уравнений в вариациях	201
39. Сопряжённые линейные системы	206
§ 10. Принцип максимума — необходимое условие оптимальности	208
40. Вариации управлений	208
41. Вариации траекторий	210
42. Основная лемма	216
43. Лемма об отображениях конусов	221
44. Доказательство основной леммы	227
45. Принцип максимума	232
46. Постоянство функции Н	237
§ 11. Обоснование метода динамического программирования и
достаточные условия оптимальности	240
47. Оценка времени переходного процесса	240
48. Достаточные условия оптимальности в форме принципа
динамического программирования	243
49. Гладкие многообразия и кусочно-гладкие множества	249
50. Доказательство основной леммы	256
51. Регулярный синтез и достаточное условие оптимальности в
форме принципа максимума	263
52. Доказательство достаточности	266
§ 12. Примеры синтеза оптимальных управлений в нелинейных системах
второго порядка	275
53. Обсуждение результатов	275
54. Неосциллирувдщие объекты	282
55. Осциллирующие объекты	302
56. Пример объекта с двумя управляющими параметрами	322

Г л а в а IV. Другие постановки задач оптимального управления	325

§ 13. Задача с подвижными концами	325
57. Предварительное обсуждение	325
58. Условия трансверсальности и формулировка теоремы	327
59. Доказательство	331
60. Применение условий трансверсальности к линейной задаче
оптимального управления	336
61. Осцилляционная теорема	345
§ 14. Общий принцип максимума	351
62. Постановка задачи	351
63. Основная теорема	352
64. Задача с подвижными концами	356
65. Уравнение Беллмана и достаточные условия оптимальности	357
§ 15. Разные обобщения	359
66. Принцип максимума для неавтономных систем	359
67. Оптимальные процессы с параметрами	364
68. Изопериметрическая задача и задача с закреплённым временем	369
§ 16. Метод локальных сечений	376
69. Описание управляемых объектов с помощью дифференциальных
включений	376
70. Локальные сечения	381
71. Принцип максимума	382
72. Применение к управляемым объектам	393
73. Случай постоянной области управления	398
74. Случай переменной области управления, определяемой системой
равенств и неравенств	399

Книги на ту же тему

Элементы теории оптимальных систем, Моисеев Н. Н., 1975
Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами, Флеминг У., Ришел Р., 1978
Компьютер и задачи выбора, Журавлёв Ю. И., сост., 1989
Курс теории автоматического управления, Паллю де Ла Барьер Р., 1973
Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Варга Д., 1977
Элементы динамического программирования, Вентцель Е. С., 1964
Стохастическое оптимальное управление: случай дискретного времени, Бертсекас Д., Шрив С., 1985
Динамические задачи дискретной оптимизации, Рихтер К., 1985
Введение в стохастическую теорию управления, Острем К., 1973
Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Янг Л., 1974
Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления, Раскин Л. Г., 1976
Синтез оптимального управления колебательными системами, Божко А. Е., 1990
Элементы теории управляющих машин (Метод полиномиальных уравнений в задачах синтеза систем автоматического управления с цифровыми вычислительными машинами), Волгин Л. Н., 1962
Практикум по теории автоматического управления химико-технологическими процессами. Аналоговые системы. — 2-е изд., перераб. и доп., Борисов В. В., Плютто В. П., 1987
Избранные труды по теории управления, Емельянов С. В., 2006
Контроль динамических систем. — 2-е изд., перераб. и доп., Евланов Л. Г., 1979
Избранные труды: Теоретическая и прикладная теория управления. Последние проекты и открытия, Красовский А. А., 2001
Математическая и прикладная теория: Избранные труды, Красовский А. А., 2002
Избранные труды: Самые ранние - самые новые, Красовский А. А., 2003
Нелинейные системы автоматического регулирования (расчёт и проектирование), Хлыпало Е. И., 1967
Синтез и применение дискретных систем управления с идентификатором, Бунич А. Л., Бахтадзе Н. Н., 2003
Основы теории автоматического регулирования и автоматические регуляторы технологических процессов, Ордынцев В. М., Шендлер Ю. И., 1960
Расчёт параметров промышленных систем регулирования. Справочное пособие, Широкий Д. К., Куриленко О. Д., 1972
Системы автоматического управления двигателями летательных аппаратов, Боднер В. А., Рязанов Ю. А., Шаймарданов Ф. А., 1973
Введение в теорию автоматического регулирования, Лернер А. Я., 1958
Отображение процессов управления в пространствах состояний, Шаталов А. С., 1986
Математические модели и методы оптимального проектирования СВЧ приборов, Кураев А. А., Байбурин В. Б., Ильин Е. М., 1990
Математические модели и оптимальные процессы в макросистемах, Цирлин А. М., 2006

elapsed time 0.020 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему