В основу книги положен годовой курс лекций, который авторы читали в Московском государственном университете. Даётся систематическое изложение методов построения и исследования разностных схем для численного решения одномерных нестационарных задач газовой динамики и магнитной гидродинамики, включая результаты, полученные в последние годы.

Наряду с разностными схемами в книге большое внимание уделяется алгоритмам, их реализующим. Значительная часть схем и алгоритмов, описанных в книге, испытана на практике при решении большого числа различных задач. Приводятся примеры подобных расчётов, иллюстрирующих эффективность выбранных схем и алгоритмов.

Книга рассчитана на студентов, инженеров и научных работников в области прикладной математики.

Книга содержит 109 рис., библ. 43 назв.

Во многих областях современной науки возникают задачи, включающие в качестве существенного элемента уравнения газовой динамики. Уравнения газовой динамики нелинейны, поэтому единственным эффективным и универсальным способом их решения в настоящее время являются численные методы, основанные на использовании быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ).

Количество научных работников, в той или иной мере связанных с решением задач газодинамики, постоянно увеличивается, чем объясняется растущий интерес к соответствующим разделам вычислительной математики. Отсюда также вытекает необходимость в пособиях с систематическим изложением основ данного вопроса. К этой категории и относится настоящая книга.

При численном решении задач газовой динамики методом конечных разностей непрерывная среда заменяется некоторой дискретной моделью, а дифференциальные уравнения, описывающие исходную задачу, — конечной системой алгебраических соотношений (разностной схемой). Разностная схема, аппроксимирующая дифференциальную задачу, может быть построена неединственным образом. Поэтому возникает проблема конструирования оптимальных в определённом смысле разностных схем.

В книге изложены некоторые общие принципы (консервативность, однородность и т. д.), позволяющие получать разностные схемы газовой динамики, которые обладают хорошими количественными характеристиками. В частности, сформулирован принцип полной консервативности, который даёт возможность строить схемы, правильно передающие быстро изменяющиеся решения даже на грубых сетках, когда фактически теряется аппроксимация. Эти качественные принципы имеют теоретическое обоснование для линейного случая и подтверждены практическими расчётами для нелинейных задач. При изложении основные вопросы теории иллюстрируются простыми наглядными примерами.

Следует отметить, что большинство описанных принципов носит эвристический характер и отражает общие физические закономерности изучаемого явления. По-видимому, это обстоятельство носит общий характер: на современном этапе решать численно сложную нелинейную задачу математической физики как абстрактно математическую нецелесообразно. Эффективные разностные схемы и алгоритмы могут быть построены лишь при соответствующем учёте физического содержания исследуемого объекта.

Значительное место в книге уделено также описанию методов реализации разностных схем газовой динамики, которые представляют собой большие системы нелинейных алгебраических уравнений.

На основе сформулированной системы принципов построены разностные схемы для численного решения одномерных нестационарных задач радиационной газовой динамики и магнитной гидродинамики в лагранжевых массовых переменных. Этот класс схем может быть использован для решения широкого круга практически интересных задач. Описанные идеи и методы могут быть применены и к другим задачам математической физики.

При написании книги авторы стремились познакомить читателя с приёмами построения и анализа разностных схем газовой динамики, указать схемы и алгоритмы, надёжность и эффективность которых проверена на практике при решении больших сложных задач, описать ряд «технологических» вопросов, неизбежно возникающих при реализации численных алгоритмов на ЭВМ и составляющих «кухню» исследователя-вычислителя, — одним словом, передать в какой-то степени многолетний опыт решения задач газовой динамики и магнитной гидродинамики, накопленный большим коллективом, в который входят и авторы.

Авторы полагают, что подробно познакомившись с материалом книги, читатель сможет самостоятельно проводить численное решение одномерных нестационарных задач радиационной газовой динамики и магнитной гидродинамики.

С помощью численных методов к настоящему времени выполнены большие комплексы исследований в различных областях математической физики и, в частности, в механике, в магнитной гидродинамике, в физике плазмы. Сам стиль таких исследований, проводимых на основе последних достижений современной прикладной математики и вычислительной техники, характер получаемых результатов, методы их обработки, интерпретация, степень соответствия реальному явлению и т. д. приближают эти работы к физическим экспериментам. Подчёркивая это обстоятельство, в применении к подобного рода исследованиям часто употребляют термины «вычислительный эксперимент», «численный эксперимент».

В приложении в качестве примеров приведены постановки и решения трёх магнитогидродинамических задач: «взаимодействие плазмы с магнитным полем в канале рельсотрона», «сильноточный разряд с учётом эффекта вторичного пробоя» и «магнитогидродинамическая модель вспышки сверхновой». Эти задачи, относящиеся к актуальным направлениям физики плазмы и астрофизики, позволяют наглядно продемонстрировать эффективность численных алгоритмов, описанных в книге.

При чтении книги желательно знакомство с элементарными сведениями из теории газодинамических течений (по любому систематическому курсу газовой динамики), с особенностями постановки задач математической физики (например, по книге А. Н. Тихонова, А. А. Самарского «Уравнения математической физики»), а также с основными вопросами теории разностных схем (см., например, книгу А. А. Самарского «Введение в теорию разностных схем» [1971]). Однако, для цельности изложения в книге предусмотрены специальные разделы, содержащие все необходимые справочные сведения.

Следует отметить методическое и идейное единство книги о монографиями: «Введение в теорию разностных схем» А. А. Самарского и «Устойчивость разностных схем» А. А. Самарского и А. В. Гулина.

Книга возникла на основе лекций, которые авторы в течение нескольких лет читали в Московском государственном университете для студентов и аспирантов физического факультета и факультета вычислительной математики и кибернетики. Она предназначена для пирокого круга читателей, связанных с применением разностных методов к решению задач газодинамики и магнитной гидродинамики…

ПРЕДИСЛОВИЕ
А. А. Самарский, Ю. П. Попов

Книги на ту же тему

1. Лекции по математической физике: Учебное пособие для вузов, Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В., 2004
2. Вычислительные методы в математической физике, Самарский А. А., ред., 1986
3. Метод фиктивных областей в задачах математической физики, Вабищевич П. Н., 1991
4. Уравнения математической физики, Бицадзе А. В., 1976
5. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики, Ковеня В. М., Тарнавский Г. А., Чёрный С. Г., 1990
6. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х томах (комплект из 2 книг), Андерсон Д., Таннехилл Д., Плетчер Р., 1990
7. Повышение точности решений разностных схем, Марчук Г. И., Шайдуров В. В., 1979
8. Фундаментальные основы математического моделирования, Макаров И. М., ред., 1997
9. Численные методы газовой динамики: Учебное пособие для студентов вузов, Пирумов У. Г., Росляков Г. С., 1987
10. Сборник задач по уравнениям математической физики, Владимиров В. С., Михайлов В. П., Вашарин А. А., Каримова Х. Х., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И., 1974
11. Уравнения математической физики. — 7-е изд., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 2004
12. Математическая теория неоднородных газов, Чепмен С., Каулинг Т., 1960
13. Разностные методы решения краевых задач, Рихтмайер Р., Мортон К., 1972
14. Магнитогидродинамические течения в каналах, Гаррис Л., 1963
15. Лекции по математической теории устойчивости, Демидович Б. П., 1967
16. Численные методы расчёта одномерных систем, Воеводин А. Ф., Шугрин С. М., 1981
17. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
18. Устойчивость разностных схем, Самарский А. А., Гулин А. В., 1973
19. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
20. Вычислительные методы в физике, Поттер Д., 1975
21. Вычислительные методы в физике реакторов, Гринспен Х., Келбер К., Окрент Д., ред., 1972
22. Технология разреженных матриц, Писсанецки С., 1988
23. Управляемый термоядерный синтез, Киллин Д., ред., 1980
24. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
25. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
26. Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
27. Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
28. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Деммель Д., 2001
29. Прямые методы для разреженных матриц, Эстербю О., Златев З., 1987
30. Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
31. Аддитивные схемы для задач математической физики, Самарский А. А., Вабищевич П. Н., 2001
32. Численные методы, алгоритмы и программы. Введение в распараллеливание: Учебное пособие для вузов, Карпов В. Е., Лобанов А. И., 2014
33. Численные методы прогноза погоды, Белов П. Н., Борисенков Е. П., Панин Б. Д., 1989
34. Математическое моделирование: Проблемы и результаты, 2003
35. Численное решение задач гидромеханики, Рихтмайер Р., ред., 1977
36. Математическое моделирование плазмы. — 2-е изд., перераб. и доп., Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П., 1993
37. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2-х томах (комплект из 2 книг), Бахвалов Н. С., Воеводин В. В., Дымников В. П., ред., 2005
38. Исследование гидродинамической неустойчивости в задачах лазерного термоядерного синтеза методами математического моделирования, Лебо И. Г., Тишкин В. Ф., 2006
39. Турбулентность: новые подходы, Белоцерковский О. М., Опарин А. М., Чечеткин В. М., 2003
40. Численный эксперимент в турбулентности: От порядка к хаосу, Белоцерковский О. М., Опарин А. М., 2001
41. Численное моделирование методами частиц-в-ячейках, Григорьев Ю. Н., Вшивков В. А., Федорук М. П., 2004
42. Численное моделирование методом частиц, Хокни Р., Иствуд Д., 1987
43. Математическое моделирование. Процессы в сложных экономических и экологических системах, Самарский А. А., Моисеев Н. Н., Петров А. А., 1986
44. Методы граничных элементов в прикладных науках, Бенерджи П. К., Баттерфилд Р., 1984
45. Проливы Мирового океана. Общий подход к моделированию, Андросов А. А., Вольцингер Н. Е., 2005