Книга предназначается для студентов инженерно-физических, физико-технических и других специальностей с повышенной физико-математической подготовкой и инженеров этих профилей. В ней достаточно подробно излагаются основные методы решения задач математической физики (методы Фурье, функций Грина, характеристик, потенциалов, интегральных уравнений и др.) и специальные функции — цилиндрические, сферические, ортогональные полиномы, гамма-функция и начальные сведения о гипергеометрических функциях. Метод характеристик излагается для систем линейных и квазилинейных уравнений. Рассматриваются обратные задачи математической физики, являющиеся некорректно поставленными задачами, и метод регуляризации их приближённого решения. Излагаются основные вопросы, относящиеся к разработке Систем автоматизированной математической обработки результатов физических экспериментов.

Эта книга предназначается для студентов инженерно-физических, физико-технических и других специальностей с повышенной физико-математической подготовкой и инженеров этих профилей.

Она является результатом существенной переработки моей книги «Математическая физика», выпущенной издательством «Наука» в 1966 г. В наибольшей степени переработке подверглись следующие разделы: метод характеристик решения задач для уравнений гиперболического типа, метод функций Грина, единственность решения краевых задач и задач Коши и вся вторая часть книги, посвящённая специальным функциям.

Изменилось и построение книги. В основу положены методы решения простейших задач математической физики и их возможности в применении к уравнениям (системам) различных классов (типов). Такое расположение материала, по нашему мнению, позволяет лучше усвоить практические алгоритмы получения решений основных задач.

Имея в виду практические потребности обработки результатов физического эксперимента, в книге вводится понятие корректно поставленных и некорректно поставленных задач. Для многих основных задач рассматривается устойчивость изучаемых методов их решения к малым изменениям «исходных данных». В приложенни к интегральным уравнениям первого рода алгоритмически описывается и метод нахождения приближённых решений некорректно поставленных задач, устойчивых к малым изхменениям «исходных данных» (метод регуляризации).

В отличие от прежней книги, в этой книге метод характеристик излагается для систем линейных и квазилинейных уравнений и показывается возможность образования разрыва в решении при сколь угодно гладких «исходных данных».

Содержание книги почти полностью совпадает с курсом лекций, который я читал в течение многих лет на факультете экспериментальной и теоретической физики Московского инженерно-физического института.

А. Г. Свешников прочитал рукопись и высказал многочисленные важные замечания и ценные советы по содержанию книги и изложению, которыми я воспользовался. Полезные замечания, позволившие устранить упущения и улучшить изложение, были высказаны А. Ф. Никифоровым, Е. А. Волковым и редактором А. С. Чистопольским. Всем этим товарищам выражаю глубокую благодарность.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Автор

Предисловие ко второму изданию	7
Предисловие к первому изданию	7
Из предисловия к книге «Математическая физика»	8

Ч А С Т Ь I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Г л а в а I. Классификация линейных уравнений с двумя независимыми
переменными и приведение их к канонической форме	9

Задачи	17

Г л а в а II. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям различных
типов. Постановка краевых задач	17

§ 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны	17
§ 2. Уравнение малых продольных колебаний упругого стержня	19
§ 3. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны	21
§ 4. Уравнения гидродинамики и акустики	24
§ 5. Уравнения для напряжённости электрического и магнитного полей
в вакууме	26
§ 6. Уравнения теплопроводности и диффузии	26
§ 7. Кинетическое уравнение	28
§ 8. Типы краевых условий. Постановка краевых задач	32
Задачи	37

Г л а в а III. Метод характеристик	38

§ 1. Характеристическое направление и характеристики оператора H[f]	39
§ 2. Характеристическая форма оператора h[u, v] = Н₁[u] + Н₂[v]	40
§ 3. Характеристическая форма пары операторов h₁[u, v] и h₂[u, v]	41
§ 4. Гиперболические системы с постоянными коэффициентами	44
§ 5. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения.
Формула Даламбера	46
§ 6. Решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения	47
§ 7. Устойчивость решения задачи Коши для одномерного волнового
уравнения к входным данным. Обобщённое решение	50
§ 8. Решение краевых задач на полупрямой	53
§ 9. Отражение волн на закреплённых и на свободных концах	55
§ 10. Решение задачи о распространении краевого режима на полупрямой	56
§ 11. Решение задачи Коши для трёхмерного и двумерного волновых
уравнений. Формула Пуассона	57
§ 12. Физическая интерпретация формулы Пуассона	63
§ 13. Системы квазилинейных уравнений	64
§ 14. Характеристики систем квазилинейных уравнений	65
§ 15. Образование разрывов в решении	66
§ 16. Одномерные плоские адиабатические течения газа	68
§ 17. Численное решение систем квазилинейных уравнений методом
характеристик	69
Задачи	70

Г л а в а IV. Метод Фурье решения краевых задач (метод разделения
переменных)	71

§ 1. Предварительные понятия	71
§ 2. Сущность метода Фурье. Собственные функции и собственные
значения	72
§ 3. Основные свойства собственных функций и собственных значений	78
§ 4. Некоторые свойства совокупности собственных функций	92
§ 5. Решение неоднородных краевых задач методом Фурье	95
§ 6. Применение метода Фурье к решению краевых задач для уравнений
эллиптического типа	100
Задачи	ЮЗ

Г л а в а V. Метод Дюамеля решения задач о распространении
краевого режима	106

Г л а в а VI. Метод функций Грина решения краевых задач и задачи
Коши для уравнений параболического типа	110

§ 1. Сущность метода функций Грина решения краевых задач и задачи
Коши для уравнений параболического типа	110
§ 2. Построение функции Грина задачи Коши на прямой	115
§ 3. Решение задачи о распространении тепла на бесконечной прямой
(задачи Коши) и на полупрямой	119
§ 4. Решение задачи о распространении тепла в трёхмерном (двумерном)
пространстве	127
§ 5. Устойчивость решения задачи Коши к малым изменениям исходных
данных	130
Задачи	132

Г л а в а VII. Метод функций Грина решения краевых задач для
уравнений еллиптического типа	133

§ 1. Вторая формула Грина. Простейшие свойства гармонических функций	133
§ 2. Сущность метода функций Грина. Некоторые свойства функций Грина	138
§ 3. Построение функций Грина, Интеграл Пуассона	143
Задачи	152

Дополнение к главам VI и VII. О методе функций Грина решения краевых
задач и задачи Коши для уравнений гиперболического типа	152

Г л а в а VIII. Единственность решения основных задач	154

§ 1. Единственность решения краевых задач для уравнений
гиперболического типа	155
§ 2. О единственности решения задачи Коши для волнового уравнения	157
§ 3. Единственность решения краевых задач для уравнений
параболического типа	158
§ 4. Принцип максимума и минимума для решений уравнения
теплопроводности	159
§ 5. Единственность решения задачи Коши для уравнения
теплопроводности	162
§ 6. Единственность решения краевых задач для уравнений
эллиптического типа	163

Г л а в а IX. Интегральные уравнения	167

§ 1. Классификация линейных интегральных уравнений	167
§ 2. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами	168
§ 3. Существование решений	169
§ 4. Понятие о приближённых методах решения интегральных уравнений
Фредгольма второго рода	173
§ 5. Теоремы Фредгольма	174

Г л а в а X. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям.
Потенциалы	178

§ 1. Объёмный потенциал	179
§ 2. Потенциал простого слоя	186
§ 3. Потенциал двойного слоя	188
§ 4. Применение потенциалов к решению краевых задач	193
§ 5. Другие задачи, сводимые к интегральным уравнениям	196
Задачи	197

Г л а в а XI. Интегральные уравнения с симметричными ядрами	197

§ 1. Простейшие свойства собственных функций и собственных значений
ядра К(x,s)	198
§ 2. Спектр итерированных ядер	203
§ 3. Разложение итерированных ядер	205
§ 4. Теорема Гильберта-Шмидта	206
§ 5. Разложение решения неоднородного уравнения	210
§ 6. Теорема Стеклова	211
§ 7. Классификация ядер	212
§ 8. Спектр симметричных ядер, заданных на бесконечном промежутке	214

Г л а в а XII. О методах решения обратных задач математической
фиэики и обработке результатов экспериментов	216

§ 1. Обратные задачи и их особенности.	216
§ 2. Некоторые понятия, употребляемые в дальнейшем	218
§ 3. Понятие корректно поставленных и некорректно поставленных задач	221
§ 4. Кратко о некоторых методах решения некорректно поставленных
задач	224
§ 5. Вариационный принцип отбора возможных решений	228
§ 6. О численном моделировании и прогнозировании физических
экспериментов	232

Ч А С Т Ь II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Г л а в а XIII. Гамма-функция. Бета-функция	238

§ 1. Гамма-функция и её свойства	238
§ 2. Бета-функция	246

Г л а в а XIV. Цилиндрические функции	248

§ 1. Поведение решений уравнений с особыми точками в окрестности
особых точек	249
§ 2. Функции Бесселя и Неймана	251
§ 3. Ортогональность функций Бесселя	256
§ 4. Нули цилиндрических функций	260
§ 5. Функции Ганкеля	266
§ 6. Модифицированные цилиндрические функции (цилиндрические функции
мнимого аргумента)	272
§ 7. Асимптотические представления цилиндрических функций	274
§ 8. Функции Эйри	287
Задачи	289

Г л а в а XV. Ортогональные многочлены	290

§ 1. Некоторые общие свойства ортогональных многочленов	291
§ 2. Многочлены Лежандра	294
§ 3. Многочлены Чебышева-Эрмита	306
§ 4. Многочлены Чебышева-Лагерра	315
§ 5. Многочлены Якоби и другие семейства попарно ортогональных
многочленов	324

Г л а в а XVI. Сферические функции	329

§ 1. Простейшие сферические функции	330
§ 2. Присоединённые функции Лежандра	330
§ 3. Фундаментальные сферические функции	333
Задачи	337

Г л а в а XVII. Начальные сведения о гипергеометрических функциях	338

Дополнение. Понятие обобщённых функций, δ-функция	342

Ответы к задачам	356
Литература	382

Книги на ту же тему

Уравнения математической физики, Бицадзе А. В., 1976
Лекции по математической физике: Учебное пособие для вузов, Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В., 2004
Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики. Учебное пособие для втузов, Котляр Я. М., 1991
Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
Обобщённые функции в математической физике, Владимиров В. С., 1976
Курс математической физики, Михлин С. Г., 1968
Уравнения математической физики, Годунов С. К., 1971
Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Смирнов М. М., 1964
Сборник задач по уравнениям математической физики, Владимиров В. С., Михайлов В. П., Вашарин А. А., Каримова Х. Х., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И., 1974
Уравнения математической физики. — 5-е изд., стереотип., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1977
Уравнения математической физики. — 4-е изд., испр., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1972
Уравнения в частных производных математической физики. Учебное пособие для мех.-мат. факультетов университетов, Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., 1970
Математическая теория распространения электромагнитных волн, Бейтмен Г., 1958
Уравнения математической физики. — 7-е изд., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 2004
Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Ладыженская О. А., 1961
Лекции об уравнениях с частными производными. — 3-е изд., доп., Петровский И. Г., 1961
Аддитивные схемы для задач математической физики, Самарский А. А., Вабищевич П. Н., 2001
Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах, Сербина Л. И., 2007
Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности, Галицын А. С., Жуковский А. Н., 1976
Уравнения с частными производными, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., 1966
Некорректные задачи теории возмущений (асимптотические методы механики), Панченков А. Н., ред., 1984
Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции, Комаров И. В., Пономарев Л. И., Славянов С. Ю., 1976
Локальные свойства решений уравнения переноса, Гермогенова Т. А., 1986
Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989
Задачи для ультрагиперболических уравнений в полупространстве, Костомаров Д. П., 2006
Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1967
Методы решения некорректных задач, Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., 1974
Математические методы в теории пограничного слоя, Олейник О. А., Самохин В. Н., 1997
Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов, Голоскоков Д. П., 2004
Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (без CD), Глушко В. П., Глушко А. В., 2010
Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
Таблицы интегральных преобразований. Том II. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1970
Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций: Учебное пособие для вузов, Кудинов В. А., Карташов Э. М., Калашников В. В., 2005
Лекции по теории интегральных уравнений. — 3-е изд., исправл., Петровский И. Г., 1965
Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
Вариационное исчисление и интегральные уравнения: Справочное руководство. — 2-е изд., перераб., Цлаф Л. Я., 1970
Интегральные уравнения в теории упругости, Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., 1994
Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Нобл Б., 1962
Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд., стереотип., Градштейн И. С., Рыжик И. М., 1971
Лекции по математической теории устойчивости, Демидович Б. П., 1967
Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И., 1995
Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, Митчелл Э., Уэйт Р., 1981

elapsed time 0.017 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему