Решение многих задач элементарной алгебры значительно облегчается, если использовать симметричность условия задачи. В этой книге рассказывается, как использовать симметрию при решении систем уравнений, иррациональных уравнений, неравенств и т. д. Все эти задачи решаются единообразным методом, основанным на теории симметрических многочленов.

Книга будет полезна школьникам, готовящимся к конкурсным экзаменам, студентам пединститутов и учителям математики.

Введение	5

§ 1. Симметрические многочлены от х и у	8

1. Примеры симметрических многочленов (8). 2. Основная теорема
о симметрических многочленах от двух переменных (9). 3. Выражение
степенных сумм через σ₁, и σ₂ (11). 4. Доказательство основной
теоремы (13). 5. Теорема единственности (14). 6. Формула Варинга
(16).

§ 2. Применения к элементарной алгебре. I	19

7. Решение систем уравнений (19). Упражнения (24).
8. Введение вспомогательных неизвестных (25). Упражнения (27).
9. Задачи о квадратных уравнениях (29). Упражнения (30).
10. Неравенства (31). Упражнения (34). 11. Возвратные уравнения
(35). Упражнения (40). 12. Разложение симметрических многочленов
на множители (41). Упражнения (45). 13. Разные задачи (45).
Упражнения (46).

§ 3. Симметрические многочлены от трёх переменных	47

14. Определение и примеры (47). 15. Основная теорема
о симметрических многочленах от трёх переменных (48). 16. Выражение
степенных сумм через σ₁, σ₂, σ₃ (50). 17. Орбиты одночленов (52).
18. Доказательство основной теоремы (57). Упражнения (58).
19. Формула Варинга (58). 20. Обратные степенные суммы (60).

§ 4. Применения к элементарной алгебре. II	62

21. Решение систем уравнений с тремя неизвестными (62).
Упражнения (69). 22. Разложение на множители (70). Упражнения (72).
23. Доказательство тождеств (72). Упражнения (76). 24. Неравенства
(79). Упражнения (80). 25. Освобождение от иррациональности
в знаменателе (82). Упражнения (89).

§ 5. Антисимметрические многочлены от трёх переменных	89

26. Определение и примеры (89). 27. Основная теорема
об антисимметрических многочленах (90). Упражнения (93).
28. Дискриминант и его применение к исследованию корней уравнения
(93). Упражнение (98). 29. Применение дискриминанта к доказательству
неравенств (98). Упражнение (100). 30. Чётные и нечётные
перестановки (100). 31. Чётно-симметрические многочлены (103).

§ 6. Применения к элементарной алгебре. III	105

32. Разложение на множители (105). Упражнения (107).
33. Доказательство тождеств и упрощение алгебраических выражений
(108). Упражнения (110). 34. Разложение симметрических многочленов
от трёх переменных на множители (111). Упражнения (114).

§ 7. Симметрические многочлены от нескольких переменных	115

35. Элементарные симметрические многочлены от нескольких переменных
(115). 36. Основная теорема о симметрических многочленах
от нескольких переменных (118). 37. Выражение степенных сумм через
элементарные симметрические многочлены (121). Упражнения (122).
38. Элементарные симметрические многочлены от n переменных
и алгебраические уравнения n-й степени. Формулы Виета (124).
Упражнения (127). 39. Метод неопределённых коэффициентов (127).
Упражнения (131). 40. Словарное расположение многочленов; старшие
члены (131). 41. Отбор слагаемых многочлена φ(σ₁, σ₂, … σ_n)
с помощью старших членов (133). 42. Антисимметрические многочлены
от n переменных (137). Упражнения (140). 43. Общий метод
освобождения от иррациональности в знаменателе (141). 44. Извлечение
корней с помощью симметрических многочленов (149).

Д о п о л н е н и е

Некоторые сведения об алгебраических уравнениях
высших степеней	153

45. Теорема Безу (153). Упражнения (154). 46. Нахождение целых
корней многочленов с целыми коэффициентами (154). Упражнения (157).
47. Нахождение целых комплексных корней (157). Упражнения (159).
48. Основная теорема алгебры и разложение многочленов на множители
первой степени (159).

Решения	163

Книги на ту же тему

Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени, Клейн Ф., 1989
Истина и красота: Всемирная история симметрии, Стюарт И., 2012
Международные математические олимпиады: Задачи, решения, итоги: Пособие для учащихся. — 3-е изд., исправл. и доп., Морозова Е. А., Петраков И. С., 1971
Турнир им. М. В. Ломоносова 1999—2006 гг. Задания. Решения. Комментарии, Кулыгин А. К., сост., 2007
Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание, Пойа Д., 1970
Задачи с изюминкой. — 2-е изд., испр., Тригг Ч., 2000
Математические новеллы. — 2-е изд., испр. и дополн., Гарднер М., 2000
Московские математические олимпиады 1958—1967 г., Прасолов В. В., Голенищева-Кутузова Т. И., Канель-Белов А. Я., Кудряшов Ю. Г., Трепалин А. С., Ященко И. В., 2013
Задачи по математике для внеклассных занятий (9—10 классы), Сивашинский И. X., 1968
Задачи на составление уравнений, Лурье М. В., Александров Б. И., 1976
Сборник задач по математике для поступающих во втузы. — 6-е изд., Сканави М. И., ред., 2001
Математика — абитуриенту. — 6-е изд., испр. и доп., Ткачук В. В., 2000
Задачи по элементарной математике, Лидский В. Б., Овсянников Л. В., Тулайков А. Н., Шабунин М. И., 1960
Сборник конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями), Говоров В. М., Дыбов П. Т., Мирошин Н. В., Смирнова С. Ф., 1983
Задачи по тригонометрии, геометрии и элементам векторной алгебры. В помощь поступающим в Московский инженерно-физический институт. Учебное пособие, Дыбов П. Т., Забоев А. И., Иванов А. С., Калиниченко Д. Ф., Шолохов Н. В., 1982
Математика — абитуриенту. — 12-е изд., испр. и доп., Ткачук В. В., 2005
Задачи по алгебре и началам анализа. В помощь поступающим в Московский инженерно-физический институт. Учебное пособие, Дыбов П. Т., Забоев А. И., Иванов А. С., Калиниченко Д. Ф., Шолохов Н. В., 1982
Математика действительных и комплексных чисел, Андронов И. К., 1975
Гиперкомплексные числа, Кантор И. Л., Солодовников А. С., 1973
Задачи студенческих олимпиад по математике, Садовничий В. А., Подколзин А. С., 1978
Российские математические олимпиады школьников, Купцов Л. П., Резниченко С. В., Терёшин Д. А., 1996
Математика. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы, Шарыгин И. Ф., 1999
Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами, Шарыгин И. Ф., Гордин Р. К., 2001
Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы, Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина М. В., 1999

elapsed time 0.019 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему