Необходимость решения дифференциальных уравнений явилась одним из первоначальных и основных мотивов для развития как аналоговых, так и цифровых вычислительных машин. Численное решение таких задач и сейчас поглощает значительную часть машинного времени, предоставляемого современными ЭВМ. Цель этой книги — познакомить читателя с численными методами решения как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных, хотя в основном мы сосредоточиваем наше внимание на обыкновенных дифференциальных уравнениях и особенно на решении краевых задач для таких уравнений.

Во второй главе мы рассматриваем задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В гл. 3 и 4 рассматриваются конечно-разностные методы решения соответственно линейных и нелинейных двухточечных краевых задач. В гл. 5 описываются методы Галёркина и коллокации. В гл. 6 рассматриваются задачи на собственные значения, а в гл. 7 и 8 — начальные и краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.

Мы предполагаем, что в качестве минимальной подготовки читатель прослушал начальный курс программирования для ЭВМ, включающий некоторые элементарные методы численного интегрирования, аппроксимации функций и т.д. Также предполагаем, что читатель прочно владеет основами математического анализа и линейной алгебры и знает начальный курс дифференциальных уравнений. Некоторые необходимые нам основные факты из этих областей собраны в приложениях, а подготовительный материал излагается непосредственно в тексте. Для полного изучения книги студентам с указанным минимальным уровнем подготовки потребуется целый год; однако, если исключить некоторые темы, материал книги легко использовать для семестрового или даже полусеместрового курса.

Решение дифференциальных уравнений требует знания различных областей численного анализа. Так, например, решение линейных краевых задач конечно-разностными или проекционными методами в конечном счёте сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений и независимое изложение этой темы приводится в гл. 3, там, где впервые появляется в этом необходимость. Если же дифференциальное уравнение оказывается нелинейным, то и возникающие при этом алгебраические уравнения также оказываются нелинейными и методы решения одного нелинейного уравнения и систем нелинейных уравнений разбираются в гл. 4. Аналогично, аппроксимация полиномами, сплайнами и по методу наименьших квадратов излагается там, где появляется необходимость в такой аппроксимации как средстве решения дифференциальных уравнений. Те студенты, которые прослушали семестровый курс численных методов, могут использовать значительную часть этого материала как обзорную и сосредоточиться непосредственно на дифференциальных уравнениях. В этом случае большая часть книги может быть пройдена за один семестр.

Так как содержание книги охватывает большинство основных тем, излагаемых в начальном курсе по численным методам, она может служить учебником по такому курсу. И действительно, книга была написана в основном с этой целью, но с ориентацией на студентов, интересующихся, главным образом, дифференциальными уравнениями. Фактически мы пришли к выводу, что для весьма большого числа студентов указанная организация материала, которая для начального курса выглядит довольно непривычно, оказалась более удобной и мотивированной, чем употребляемая обычно. Таким образом, эту книгу можно использовать в самых различных аудиториях, отличающихся как уровнем подготовки студентов, так и целями курса. Авторы с успехом использовали ранние варианты рукописи книги для чтения разнообразных курсов, от начального курса численных методов для студентов младших и старших курсов, специализирующихся по математике и использованию ЭВМ, до курса по методам численного решения дифференциальных уравнений для студентов второго курса, специализирующихся по инженерным и естественным наукам.

В первых разделах большинства глав приводится несколько модельных задач, причём в некоторых случаях даётся довольно полный вывод соответствующих уравнений. Мы отнюдь не считаем, что этих разделов достаточно, чтобы научить сложному искусству математического моделирования, но они всё же включены, чтобы обосновать последующее изложение. Эти разделы можно пройти в быстром темпе или вообще опустить без ущерба для понимания остального материала книги или, наоборот, расширить, если лектор захочет подчеркнуть некоторые аспекты моделирования. Эта книга носит теоретический характер, хотя в ней довольно мало формулировок теорем как таковых и многие доказательства либо вообще опущены, либо только намечены. Тем не менее мы обычно приводим достаточную математическую аргументацию, проясняющую математические свойства описываемых методов. Во многих случаях детали доказательств выносятся в разделы упражнений или дополнительных замечаний, где также указываются ссылки на литературу. Мы находим такой стиль вполне удовлетворительным для большинства студентов, особенно для нематематиков.

Решение дифференциальных уравнений на ЭВМ составляет большую и важную часть того, что всё чаще и чаще называют научным программированием [Чтобы выделить из области использования ЭВМ, охватывающей все сферы человеческой деятельности, часть, связанную с применением ЭВМ для решения научно-технических задач, авторы вводят термин «Scientific computing». Мы переводим его как «научное программирование», сознавая, что он страдает такими же недостатками, как уже укоренившиеся термины «математическое программирование» или «системное программирование» — Примеч. пер.]. Чтобы определить место нашего предмета в этой широкой тематике, в вводной гл. 1 даётся обзор того, что включает в себя научное программирование. Кратко обсуждаемые в этой главе вопросы, связанные с использованием ЭВМ, в дальнейшем не развиваются, хотя в различных местах мы отмечаем, что здесь было бы полезно использовать некоторые конкретные приёмы.

Развитие численных методов решения дифференциальных уравнений достигло сейчас такой стадии, когда существует надёжное, эффективное и удобное для пользователя математическое программное обеспечение решения многих основных задач. Например, всюду в мире используются прекрасные библиотеки процедур для решения задачи Коши из гл. 2, линейных уравнений гл. 3 и задач на собственные значения из гл. 6. Тщательно просмотрев дополнительные замечания и ссылки в конце каждого раздела, читатель может найти информацию о доступных пакетах программного обеспечения. В некоторых упражнениях читателю предлагается составить программы, реализующие некоторые основные алгоритмы для тех же самых задач. Цель этих упражнений не в создании практического программного обеспечения, а в том, чтобы читатель получил определённый опыт в программировании таких алгоритмов, что, в частности, ведёт к более глубокому их пониманию. Разработка надёжного, эффективного и удобного для использования программного обеспечения выходит за рамки этой книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, Холл Д., Уатт Д., ред., 1979
2. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
4. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
5. Устойчивость разностных схем, Самарский А. А., Гулин А. В., 1973
6. Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
7. Фундаментальные основы математического моделирования, Макаров И. М., ред., 1997
8. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
9. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб., Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., 2004
10. Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
11. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин, Ланс Д. Н., 1962
12. Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
13. Вычислительные методы в физике, Поттер Д., 1975
14. Вычислительные методы в физике реакторов, Гринспен Х., Келбер К., Окрент Д., ред., 1972
15. Численные методы расчёта одномерных систем, Воеводин А. Ф., Шугрин С. М., 1981
16. Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
17. Введение в вычислительную физику: Учебное пособие: Для вузов, Федоренко Р. П., 1994
18. Технология разреженных матриц, Писсанецки С., 1988
19. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, Ортега Д., Рейнболдт В., 1975
20. Итерационные методы для разреженных линейных систем: Учебное пособие. — В 2-х томах. Том 1, Саад Ю., 2013
21. Прямые методы для разреженных матриц, Эстербю О., Златев З., 1987
22. Разреженные матрицы, Тьюарсон Р., 1977
23. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Учебное пособие. — 2-е изд., перераб., Киселёв А. И., Краснов М. Л., Макаренко Г. И., 1967
24. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — 4-е изд., доп., Филиппов А. Ф., 1973
25. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие для вузов. — 6-е изд., стер., Филиппов А. Ф., 1985
26. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями), Коллатц Л., 1968
27. Распределение собственных значений (самосопряжённые обыкновенные дифференциальные операторы), Костюченко А. Г., Саргсян И. С., 1979
28. Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
29. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
30. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 3-е изд., стереотип., Понтрягин Л. С., 1970
31. Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
32. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989