Математика

Дифференциально-разностные уравнения

год издания — 1967, кол-во страниц — 548, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б, масса книги — 700 гр., издательство — Мир

цена: 1000.00 руб

Сохранность книги — хорошая

DIFFERENTIAL-DIFFERENCE
EQUATIONS

RICHARD BELLMAN
The RAND Corporation
Santa Monica, California

KENNETH L. COOKE
Pomona College
Claremont, California

ACADEMIC PRESS, 1963

Пер. с англ. А. М. Зверкина и Г. А. Каменского

Формат 60x90 1/16

В книге подробно излагается теория линейных дифференциально-разностных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами. Много места уделено асимптотическому поведению решений, а также теории устойчивости линейных и квазилинейных уравнений. Большинство результатов в этой области принадлежит авторам. Существенную часть книги составляет большое число задач и примеров, связанных, как правило, с конкретными проблемами теории вероятностей, экономики, ядерной физики и т. п. Многие из них могут служить темой научной работы студентов и аспирантов математических факультетов.

Книга представляет интерес для широкого круга читателей, прежде всего для математиков, занимающихся теорией дифференциальных уравнений, и инженеров, работающих в области автоматического регулирования. Изложение рассчитано на читателя, владеющего математикой в объёме программы втуза; необходимые сведения из теории преобразования Лапласа, теории асимптотических рядов и т. д. включены в текст.

Предисловие редактора перевода	5
Предисловие	7

Г л а в а 1. Преобразование Лапласа	11

1.1. Введение	11
1.2. Существование и сходимость	11
1.3. Проблема обращения	13
1.4. Поведение ядра Дирихле	14
1.5. Детали доказательства	14
1.6. Формулировка результата	18
1.7. Разрывы первого рода	18
1.8. Функции ограниченной вариации	19
1.9. Контурное интегрирование	20
1.10. Примеры	21
1.11. Преобразование Фейера	23
1.12. Условия, при которых функция является преобразованием Лапласа
некоторой функции	23
1.13. Теорема о свёртке	25
1.14. Преобразование Фурье	28
1.15. Теорема Планшереля-Парсеваля	29
1.16. Применение к преобразованию Лапласа	30
1.17. Формула Поста-Уиддера	30
1.18. Действительные формулы обращения	31
Различные упражнения и проблемы для исследования	33
Библиография и комментарии	38

Г л а в а 2. Линейные дифференциальные уравнения	39

2.1. Введение	39
2.2. Линейные дифференциальные уравнения	39
2.3. Основная теорема существования и единственности	41
2.4. Последовательные приближения	41
2.5. Основная лемма	43
2.6. Теорема единственности	43
2.7. Метод неподвижной точки	44
2.8. Разностные схемы	44
2.9. Матричное уравнение	45
2.10. Другое доказательство	45
2.11. Неоднородное уравнение	46
2.12. Сопряжённое уравнение	46
2.13. Постоянные коэффициенты I	47
2.14. Постоянные коэффициенты II	48
2.15. Решение с помощью преобразования Лапласа	49
2.16. Собственные значения и собственные функции	50
Различные упражнения и проблемы для исследования	52
Библиография и комментарии	53

Г л а в а 3. Линейные дифференциально-разностные уравнения первого
порядка запаздывающего типа с постоянными коэффициентами	54

3.1. Введение	54
3.2. Примеры	57
3.3. Уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов	61
3.4. Теоремы существования и единственности	62
3.5. Экспоненциальные решения	66
3.6. Порядок роста решений	72
3.7. Решение, полученное с помощью преобразования Лапласа	76
3.8. Решение дифференциального уравнения в виде определённого
интеграла	86
3.9. Решение дифференциально-разностного уравнения в виде
определённого интеграла	87
Различные упражнения и проблемы для исследования	95
Библиография и комментарии	112

Г л а в а 4. Разложения в ряд решений уравнений первого порядка
запаздывающего типа	114

4.1. Корни характеристического уравнения	114
4.2. Разложения в ряды	118
4.3. Другие формы теоремы разложения	124
4.4. Асимптотическое поведение решения	129
4.5. Устойчивость равновесия	134
4.6. Разложения типа Фурье	138
4.7. Теорема смещения	144
Различные упражнения и проблемы для исследования	149
Библиография и комментарии	155

Г л а в а 5. Линейные уравнения первого порядка с постоянными
коэффициентами нейтрального и опережающего типов	157

5.1. Теоремы существования и единственности	157
5.2. Экспоненциальные решения и решения в виде определённого
интеграла. Уравнения нейтрального типа	161
5.3. Разложения в ряды. Уравнения нейтрального типа	171
5.4. Асимптотическое поведение и устойчивость. Уравнения
нейтрального типа	176
5.5. Другие разложения решений уравнений нейтрального типа	178
5.6. Уравнения опережающего типа	179
Различные упражнения и проблемы для исследования	180

Г л а в а 6. Системы линейных дифференциально-разностных
уравнений с постоянными коэффициентами	182

6.1. Введение	182
6.2. Векторно-матричные обозначения	183
6.3. Классификация систем	183
6.4. Теоремы существования и единственности для систем	185
6.5. Решения, полученные с помощью преобразования Лапласа. Системы
запаздывающего и нейтрального типов	192
6.6. Решение систем нейтрального и запаздывающего типов с помощью
определённых интегралов	198
6.7. Разложения в ряды для систем нейтрального и запаздывающего
типов	202
6.8. Асимптотическое поведение решений систем запаздывающего
и нейтрального типов	208
6.9. Скалярные уравнения	212
6.10. Метод конечного преобразования	217
6.11. Разложения типа Фурье	227
Различные упражнения и проблемы для исследования	230
Библиография и комментарии	235

Г л а в а 7. Уравнения восстановления	238

7.1. Введение	238
7.2. Существование и единственность	239
7.3. Дальнейшие теоремы существования и единственности	242
7.4. Монотонность и ограниченность вариации	246
7.5. Формальное решение с помощью преобразования Лапласа	249
7.6. Экспоненциальные оценки для u(t)	250
7.7. Строгое решение	251
7.8. Теорема о свёртке	251
7.9. Асимптотическое поведение решений	254
7.10. Использование представления в виде контурного интеграла	254
7.11. φ(t) — положительная функция	255
7.12. Сдвиг контура	256
7.13. Ступенчатые функции	257
7.14. Один элементарный результат	259
7.15. Более сложные результаты	259
7.16. Результаты абелева и тауберова типа	262
7.17. Тауберова теорема Харди и Литлвуда	263
7.18. Асимптотическое поведение решения уравнения восстановления	264
7.19. Обсуждение	265
7.20. Тауберова теорема Икехара	265
7.21. Тауберова теорема Винера	267
Различные упражнения и проблемы для исследования	268
Библиография и комментарии	280

Г л а в а 8. Системы уравнений восстановления	281

8.1. Введение	281
8.2. Векторное уравнение восстановления	281
8.3. Положительные матрицы	282
8.4. Некоторые следствия	283
8.5. Нуль с наибольшей действительной частью	283
8.6. Асимптотическое поведение	286
Различные упражнения и проблемы для исследования	286
Библиография и комментарии	287

Г л а в а 9. Асимптотическое поведение решений линейных
дифференциально-разностных уравнений	289

9.1. Введение	289
9.2. Первый основной результат	290
9.3. Предварительные замечания	291
9.4. Обсуждение	292
9.5. Случай ∫^∞а (t₁)dt₁ < ∞	292
9.6. Трудная часть теоремы 9.1	295
9.7. Лемма	297
9.8. Продолжение доказательства теоремы 9.1	299
9.9. Случай, когда b(t) ≠ 0	300
9.10. Дальнейшие результаты	303
9.11. Более точные результаты	303
9.12. Асимптотические ряды	303
9.13. Основы теории асимптотических рядов	306
9.14. Другая формулировка	307
9.15. Дифференциальные и интегральные свойства	307
9.16. Обобщение определения	308
9.17. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка	309
9.18. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка	310
9.19. Случай, когда a₀ = 0	312
9.20. Строгий вывод асимптотического разложения	312
9.21. Определение постоянных	314
9.22. Одна из основных проблем в теории дифференциальных уравнений	314
9.23. Формальное определение коэффициентов	315
9.24. Асимптотическое разложение решения	316
Различные упражнения и проблемы для исследования	317
Библиография и комментарии	324

Г л а в а 10. Устойчивость решений линейных
дифференциально-разностных уравнений	325

10.1. Введение	325
10.2. Теория устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений	325
10.3. Сопряжённое уравнение	327
10.4. Скалярное линейное дифференциально-разностное уравнение	329
10.5. Матричное уравнение с запаздывающим аргументом	331
10.6. Теорема об устойчивости для уравнений с запаздывающим
аргументом	334
10.7. Уравнения с постоянными коэффициентами	335
10.8. Лемма	337
10.9. Теорема об устойчивости для уравнений с постоянными
коэффициентами	338
10.10. Ограниченность решений невозмущённой системы	338
10.11. Скалярное уравнение нейтрального типа: интегральное
представление решения	339
10.12. Скалярное уравнение нейтрального типа: представление
производной решения	342
10.13. Системы уравнений нейтрального типа	346
10.14. Теоремы об устойчивости для уравнений нейтрального типа	350
10.15. Теоремы об устойчивости для уравнений нейтрального типа
с постоянными коэффициентами	355
Различные упражнения и проблемы для исследования	357
Библиография и комментарии	361

Г л а в а 11. Теория устойчивости и асимптотическое поведение
решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений	363

11.1. Введение	363
11.2. Теорема Пуанкаре-Ляпунова	364
11.3. Малые возмущения общих систем	366
11.4. Типы устойчивости	368
11.5. Теорема существования для нелинейных
дифференциально-разностных уравнений	370
11.6. Единственность	373
11.7. Формулировка теорем существования и единственности	375
11.8. Теорема устойчивости	378
11.9. Теорема устойчивости: второе доказательство	381
11.10. Асимптотическое поведение решений	385
11.11. Доказательство теоремы 11.5	387
11.12. Другая теорема устойчивости	393
11.13. Теорема Дини-Хукухара для уравнений с переменными
коэффициентами	396
11.14. Теорема Пуанкаре-Ляпунова для уравнений с произвольными
переменными коэффициентами	399
11.15. Асимптотическое поведение нелинейных уравнений с почти
постоянными коэффициентами	401
11.16. Системы нелинейных уравнений	404
11.17. Функции и функционалы Ляпунова	405
Различные упражнения и проблемы для исследования	408
Библиография и комментарии	423

Г л а в а 12. Асимптотическое расположение нулей квазиполиномов	427

12.1. Введение	427
12.2. Вид функции det H(s)	428
12.3. Нули аналитических функций	429
12.4. Постоянные коэффициенты и соизмеримые показатели	433
12.5. Постоянные коэффициенты и произвольные действительные
показатели	435
12.6. Асимптотически постоянные коэффициенты	439
12.7. Полиномиальные коэффициенты с пропорциональными
числами m_j и β_j	441
12.8. Полиномиальные коэффициенты	446
12.9. Примеры	453
12.10. Условия, обеспечивающие принадлежность всех корней
к заданному типу	455
12.11. Построение контуров	457
12.12. Некоторые результаты о порядке величины H^—1(s)	459
12.13. Результаты о порядке величины H^—1(s) в скалярном случае	461
12.14. Сходимость контурных интегралов	462
12.15. Интегралы вдоль вертикальных прямых	465
Различные упражнения и проблемы для исследования	471
Библиография и комментарии	478

Г л а в а 13. О свойствах устойчивости нулей квазиполиномов	480

13.1. Введение	480
13.2. Квазиполиномы	480
13.3. Функции вида f(z, cos z, sin z)	481
13.4. Наличие главного члена	482
13.5. Нули функции h(z, e^z)	482
13.6. Основные результаты об устойчивости	483
13.7. Результат Хейса	484
13.8. Одно важное уравнение	487
13.9. Другой пример	492
Различные упражнения и проблемы для исследования	495
Библиография и комментарии	496

Д о б а в л е н и е. Дифференциально-разностные уравнения
с периодическими коэффициентами	498

Д.1. Введение	498
Д.2. Скалярное уравнение с отклонениями аргумента, кратными
периоду: формальное построение решений	499
Д.З. Асимптотическое разложение в ряд по решениям типа Флоке	502
Д.4. Устойчивость	507
Д.5. Системы уравнений с отклонениями, кратными периоду	510
Д.6. Уравнения нейтрального типа с отклонениями аргумента,
кратными периоду	512
Д.7. Уравнения с произвольными постоянными отклонениями аргумента	514
Д.8. Устойчивость и асимптотическое разложение решений	517
Д.9. Проблема приводимости	519
Д.10. Сопряжённая система и определение коэффициентов разложения
с помощью биортогональной системы	521
Д.11. Биортогональное разложение ядра и интегральное представление
решений неоднородных уравнений	526
Д. 12. Периодические решения неоднородной системы	528
Различные упражнения и проблемы для исследования	530
Библиография и комментарии	533

Именной указатель	536
Предметный указатель	540

Книги на ту же тему

Численно-аналитическое моделирование радиоэлектронных схем, Гридин В. Н., Михайлов В. Б., Шустерман Л. Б., 2008
Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. С приложением таблиц, составленных Р. Гершелем. — 2-е изд., Дёч Г., 1960
Методы приближённого преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа (справочная книга), Крылов В. И., Скобля Н. С., 1974
Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — 2-е изд., перераб. и доп., Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э., 1968
Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
Численные методы прогноза погоды, Белов П. Н., Борисенков Е. П., Панин Б. Д., 1989

http://knigoprovod.ru

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему