Книга посвящена систематическому изложению теории одного класса формальных математических объектов, которые с экономической точки зрения можно интерпретировать как «рынки». Теория рынков тесно связана с теорией кооперативных игр, и эта связь последовательно прослеживается для рынков с конечным числом участников, для их предельного поведения при неограниченном возрастании числа участников и, наконец, для рынков с континуальным множеством участников. Предельные теоремы, справедливые при переходе от конечных игр к бесконечным, интересны с математической точки зрения и поддаются экономической интерпретации.

Книга является первой монографией по данному вопросу. Она представляет интерес для широкого круга читателей (научных работников, аспирантов и студентов старших курсов), занимающихся вопросами приложений математики к экономике.

Современная математика создаёт всё новые классы оптимизационных моделей. Один из таких классов составляют «рынки», теория которых является предметом предлагаемой советскому читателю книги Розенмюллера.

Формальная схема рынка допускает достаточно естественную экономическую интерпретацию: участники рынка располагают некоторыми начальными наборами товаров, и каждый из них может сравнивать различные наборы товаров по их предпочтительности для себя. На товары вводятся цены, и участники рынка вступают в обмен по этим ценам имеющимися у них товарами для взаимного получения более предпочтительных наборов товаров. Целью обмена естественно считать такое распределение товаров, что любой участник рынка, обменяв часть имеющихся товаров на равноценный набор, не увеличит предпочтительности своего набора товаров. Обладающее этим свойством распределение товаров, рассматриваемое совместно с ценами на них, называется равновесным распределением на рынке.

Такой подход к вопросу возник при фактическом рассмотрении экономических явлений ещё Курно [Cournot A. A., 1838] и Эджвортом [Edgeworth F. Y., 1881]. Однако к настоящему времени он приобрёл характер абстрактной математической теории и экономическое истолкование понятий и результатов этой теории уже выходит за её пределы. Во всяком случае, выяснение того, соответствует ли данный формально понимаемый рынок каким-либо реальным условиям натурального или товарно-денежного обмена, каждый раз представляет собой самостоятельную проблему.

Теория рынков связана с теорией кооперативных игр. Эта связь проявляется во взаимно однозначном соответствии кооперативных игр и рынков из достаточно чётко очерченных (теоретико-игровыми и соответственно «рынковыми» условиями) классов. Исследование этой связи и составляет математическое содержание книги. Поскольку в авторском введении содержание книги практически не описывается, уместно сделать это здесь. В первой главе книги рассматриваются кооперативные игры и рынки с конечным числом участников. Здесь равновесие рынка оказывается дележом в описывающей его игре и появляется возможность исследовать вопросы, касающиеся связи равновесия рынка с реализациями на нём других принципов оптимальности. В частности, приводятся теоремы о принадлежности равновесного дележа рынка его c-ядру и о характеризации класса характеристических функций рынков с трансферабельной полезностью как класса всех вполне сбалансированных характеристических функций. Существенную роль играет при этом выпуклость отношений предпочтения для участников рынка (соответствующая вогнутость их функций полезности).

Во второй главе описывается асимптотическое поведение рынка при неограниченном увеличении числа его участников. При этом выясняется, что роль условия выпуклости отношений предпочтения ослабевает, а реализации вектора Шепли, c-ядра и равновесия сближаются. Полезным средством при установлении такого рода фактов являются «повторенные» рынки, которые получаются из первоначально задаваемых рынков путём «расщепления» каждого из его участников на некоторое одно и то же число участников нового рынка с совпадающими отношениями предпочтения и одинаковыми начальными ресурсами товаров. Следует оговорить, что, хотя при таком подходе число участников рынка может неограниченно возрастать, число классов «подобных друг другу» участников остаётся постоянным.

В третьей главе исследуются кооперативные игры, в которых коалициями являются борелевские подмножества единичного сегмента, и рынки, в которых множество участников составляет единичный сегмент, а отношения предпочтения и начальные наборы товаров удовлетворяют надлежащим условиям измеримости. Разумеется, для этого класса игр и рынков возникают существенные концептуальные трудности, касающиеся уже самих определений основных понятий теории. Особенно относится это к определению вектора Шепли. Вместе с тем в сформулированных определениях удаётся установить достаточно общие результаты. В частности, отпадает стеснительное условие конечности числа классов подобных друг другу игроков.

Из сказанного видно, что книга Розенмюллера представляет несомненный интерес для всех, кто интересуется вопросами теории игр и в том числе их экономическими приложениями или интерпретациями. В настоящее время она является практически единственным источником монографического типа, по которому можно ознакомиться с рассматриваемыми в ней вопросами.

Книга Розенмюллера была опубликована в серии «Lecture Notes», допускающей несколько «сырые» работы. Поэтому при переводе пришлось осуществить редактирование в большем размере, чем обычно.

Перевод выполнили О. Н. Воробьева (гл. I) и А. С. Михайлова (введение, гл. II и III). А. С. Михайлова отредактировала и дополнила список литературы; она же составила предметный указатель.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Н. Н. Воробьёв

Книги на ту же тему

1. Игры и решения. Введение и критический обзор, Льюс Р. Д., Райфа Х., 1961
2. Введение в прикладную теорию игр, Дюбин Г. Н., Суздаль В. Г., 1981
3. Теория игр, Оуэн Г., 1971
4. Элементы теории игр. — 2-е изд., стереотип., Вентцель Е. С., 1961
5. Совершенный стратег или букварь по теории стратегических игр, Вильямс Д. Д., 1960
6. Нелинейный анализ и его экономические приложения, Обен Ж. П., 1988
7. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах, Горелик В. А., Кононенко А. Ф., 1982
8. Итеративные методы в теории игр и программировании, Беленький В. З., Волконский В. А., Иванков С. А., Поманский А. Б., Шапиро А. Д., 1974
9. A Primer in Game Theory, Gibbons R., 1992
10. Кооперативные эффекты в стохастических моделях, Цициашвили Г. Ш., Осипова М. А., 2005
11. Введение в теорию исследования операций, Гермейер Ю. Б., 1971
12. Современное состояние теории исследования операций, Моисеев Н. Н., ред., 1979
13. Математические методы исследования операций, Саати Т. Л., 1963
14. Системы и моделирование, Хорафас Д. Н., 1967
15. Кибернетическое моделирование. Некоторые приложения, Кемени Д. Д., Снелл Д. Л., 1972
16. Экономика истощаемых природных ресурсов, Фридман А. А., 2010