Данная книга посвящена аналитической теории исключения мешающих параметров при испытании статистических гипотез и теории несмещённых оценок. При этом внимание сосредоточивается на аналитических свойствах тестов и оценок и математических основах получения в том или ином смысле оптимального теста или оптимальной несмещённой оценки, но не приводится ни вычислительных алгоритмов (которые во многих случаях сводятся к некоторым видам линейного программирования), ни таблиц. Таким образом, в книге нет отдельных статистических рецептов для задач с мешающими параметрами, но делается попытка указать пути построения таких рецептов.

Во введении и ниже напоминаются некоторые стандартные сведения о σ-алгебрах, вероятностных мерах и статистиках. В главе I излагаются сведения о кратных преобразованиях Лапласа и описываются простейшие свойства и применения аналитических пучков в направлении, разработанном А. Картаном. Эти свойства в дальнейших главах применяются к теории экспонентных семейств. Глава II излагает основы теории достаточных статистик для распределений, заданных в евклидовых пространствах, и связанных с ними (для повторных выборок) экспонентных семейств. В главе III появляются собственные задачи с мешающими параметрами. В главе IV трактуется теория подобия по Ю. Нейману, Э. Леманну и Г. Шеффе. Главы V, VII, VIII, IX и X излагают изыскания последних лет ленинградских статистиков по теории подобных тестов и несмещённых оценок, в частности по проблеме Беренса-Фишера; в главе VI излагается изящный метод Р. А. Вийсмана, который, однако, не даёт всех желательных тестов. Роль теории пучков идеалов функций как аналитической основы теории подобных тестов и несмещённых оценок для неполных экспонентных семейств выясняется в главах V и VII. При этом экспонентные семейства рассматриваются не только для повторных выборок, но и для других случаев.

В главе XI затрагивается проблема многих малых выборок, в частности исследование А. А. Петрова.

В конце книги указываются некоторые нерешённые задачи, составляющие лишь небольшую часть красивых и разнообразных проблем, возникающих в аналитической статистике. Привлечение внимания лиц, интересующихся математической статистикой, к её аналитическому аспекту составляет одну из целей настоящей книги…

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предисловие	7

Введение	9

1. Вероятностные меры. Интегрирование. Статистики	9
2. Некоторые свойства статистик	11
3. Об условных вероятностях	12

Г л а в а I. Сведения о кратном преобразовании Лапласа, функциях
многих комплексных переменных и аналитических пучках	15

1. Кратное преобразование Лапласа	15
2. Функции многих комплексных переменных. Оценочные теоремы	19
3. Идеалы в кольцах голоморфных функций. Аналитические пучки	26

Г л а в а II. Достаточные статистики и экспонентные семейства	32

1. Общие сведения о достаточных статистиках	32
2. Примеры достаточных статистик	36
3. Информационные свойства достаточных статистик	42
4. Достаточные статистики повторной выборки и экспонентные семейства	45
5. Экспонентные семейства	51
6. Достаточные статистики и несмещённые оценки	56

Г л а в а III. Мешающие параметры. Тесты с инвариантной мощностью	60

1. Мешающие параметры	60
2. Тесты с инвариантной мощностью	62
3. Некоторые результаты о тестах с инвариантной мощностью	65
4. Тест Ч. Стейна	72

Г л а в а IV. Подобные тесты и статистики	77

1. Свойство подобия тестов и статистик	77
2. Структуры Ю. Неймана. Теоремы Леманна и Шеффе	80
3. Некоторые методы построения подобных зон	84
4. Приближённо подобные зоны	94
5. Независимые статистики	97
6. Приложения одной теоремы А. Картана для исследования семейств
статистик	100

Г л а в а V. Котестовые идеалы для экспонентных семейств	106

1. Подобные тесты и котестовые идеалы	106
2. Постановка задачи для неполных экспонентных семейств	109
3. Идеалы предкотестов	112
4. Применение теорем А. Картана	115
5. Поведение гладких предкотестов	117
6. Сглаживание предкотестов	120
7. Образование гладких котестов из заданного	123
8. Формулировка окончательных результатов. Примеры	125

Г л а в а VI. D-метод Р. Вийсмана	137

1. D-метод и условия его применения	137
2. Примеры применения D-метода	139

Г л а в а VII. Несмещённые оценки	145

1. Несмещённые оценки для неполных экспонентных семейств, зависящие
от достаточных статистик	145
2. О поведении дисперсии несмещённых оценок	147
3. Теорема С. Р. Рао о недопустимости некоторых оценок	154

Г л а в а VIII. Аналитические методы изучения нерандомизованных
тестов. Применение к проблеме Беренса-Фишера	159

1. Вопросы существования нерандомизованных подобных тестов
для неполных экспонентных семейств	159
2. Постановка задачи о нерандомизованном однородном подобном тесте
в проблеме Беренса-Фишера	163
3. Однородные тесты Фишера-Велча-Вальда	167
4. Леммы о касании тестовой границы с критиками	174
5. Окончание доказательства теоремы 8.3.1	192

Г л а в а IX. Рандомизованные однородные тесты в проблеме
Беренса-Фишера. Характеризация тестов типа Бартлетта-Шеффе	193

1. Несуществование «нуль-регулярных» подобных тестов	193
2. Тесты Бартлетта-Шеффе	205
3. Однородный рандомизованный тест, связанный с тестом Бартлетта	208
4. Характеризация тестов типа Бартлетта-Шеффе	210

Г л а в а X. Нерандомизованный однородный подобный тест в проблеме
Беренса-Фишера	221

1. Конструкция нерандомизованного теста	221
2. Теорема И. В. Романовского и В. Н. Судакова	226

Г л а в а XI. Проблема многих малых выборок	234

1. Постановка задачи	234
2. Исследования А. А. Петрова	236

Д о п о л н е н и е. Нерешённые вопросы	245
Литература	249

Книги на ту же тему

Справочник по прикладной статистике. В 2-х томах (комплект из 2 книг), Ллойд Э., Ледерман У., ред., 1990
Математическая статистика, Уилкс С., 1967
Элементарная теория статистических решений, Чернов Г., Мозес Л., 1962
Основы прикладной статистики, Мелник М., 1983
Прикладной многомерный статистический анализ, 1978
Вычислительные алгоритмы в прикладной статистике, Мэйндоналд Д., 1988
Прикладной регрессионный анализ, Дрейпер Н., Смит Г., 1973
Знаковый статистический анализ линейных моделей, Болдин М. В., Симонова Г. И., Тюрин Ю. Н., 1997
Задачи по математической статистике, Чибисов Д. М., Пагурова В. И., 1990
Оптимальные статистические решения, Гроот М. де, 1974
Статистические методы поиска, Растригин Л. А., 1968
Анализ данных и регрессия: В 2-х вып. (комплект из 2 книг), Мостеллер Ф., Тьюки Д., 1982

elapsed time 0.020 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему