В книге дано систематическое изложение основ современной теории симметрических пространств. Изложение доведено до их классификации. В доступной для широкого круга читателей форме излагается теория корней симметрических пространств и теория диаграмм Сатаке.

Книга может быть использована как учебное пособие для первоначального изучения предмета.

Симметрические пространства прочно вошли в современную математику начиная с работ Э. Картана. Их роль обусловлена тем, что самые разнообразные вопросы из дифференциальной геометрии, теории групп, дифференциальных уравнений, гамильтоновой механики, теоретической физики и т.д. часто сводятся к тем или иным задачам на симметрических римановых пространствах. Ввиду богатства топологической и алгебраической структуры эти пространства являются удобным материалом, на котором проверяется эффективность многих современных способов изучения геометрии многообразий и связанных с ними объектов. Поэтому знакомство с алгебраическим и топологическим аспектами теории симметрических пространств необходимо всякому математику, связанному по роду своей деятельности с современной геометрией и её приложениями.

Книга О. Лооса может служить хорошим введением в этот круг вопросов. Изложение начинается с предварительных сведений о дифференциальных свойствах гладких многообразий, затем определяются симметрические пространства, т.е. римановы многообразия, снабжённые геодезической симметрией в каждой точке. В главах II и III даётся анализ основных общих свойств симметрических пространств, что позволяет в главе IV описать их структурное разложение. Следует отметить, что в этой же главе даётся описание так называемых картановских моделей симметрических пространств, играющих чрезвычайно важную роль во многих приложениях, однако редко излагаемых в книгах учебного характера. Такие модели являются «наиболее симметричными» реализациями симметрических пространств в виде гладких однородных подмногообразий в стандартной сфере в евклидовом пространстве. Это позволяет каноническим образом изометрично вкладывать симметрическое пространство в евклидово, в результате чего многие конкретные вычисления существенно упрощаются по сравнению со случаем общего риманова многообразия. В дальнейших главах излагается теория компактных групп Ли, корневых систем простых групп и алгебр Ли, даётся классификация симметрических пространств. Последняя глава посвящена некоторым специальным вопросам эрмитовых симметрических пространств и йордановых алгебр. В дополнении, завершающем книгу и написанном А.Т. Фоменко, мы знакомим читателя с современными приложениями теории симметрических пространств, в частности, к решению задач интегрирования гамильтоновых систем на алгебрах Ли.

Книга О. Лооса написана доступным языком, хорошо организована с методической точки зрения, что позволило автору в рамках сравнительно небольшого объёма охватить обширный фактический материал, включая прозрачное изложение теории корней полупростых алгебр Ли. От читателя не требуется каких-либо специальных знаний из теории групп Ли, однако для более глубокого понимания некоторых разделов (например главы VII) полезно знакомство с основами современного университетского курса дифференциальной геометрии и топологии. Книга рассчитана на широкий круг математиков разных специальностей и пригодна как начальный учебник по теории симметрических пространств для студентов и аспирантов математических факультетов. Список литературы дополнен некоторыми изданиями на русском языке, учитывающими последние научные достижения. При переводе специальных терминов учитывалась сложившаяся в отечественной литературе традиция (это относится, например, к термину «картановские модели») При переводе готические буквы были заменены латинскими…

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
А. Т. Фоменко

Книги на ту же тему

1. Теория Морса, Милнор Д., 2011
2. Наглядная геометрия. — 3-е изд., Гильберт Д., Кон-Фоссен С., 1981
3. Элементы дифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов, Новиков С. П., Фоменко А. Т., 1987
4. Дифференциальная геометрия. — 5-е изд., Погорелов А. В., 1969
5. Лекции по дополнительным главам математического анализа, Соболев В. И., 1968
6. Первые понятия топологии: Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов, Стинрод Н., Чинн У., 1967
7. Введение в теорию множеств и общую топологию, Александров П. С., 1977
8. Топологические векторные пространства, Шефер X., 1971
9. Общая топология, Келли Д. Л., 1968
10. Дифференциальная топология: Начальный курс, Милнор Д., Уоллес А., 1972
11. Основы общей топологии в задачах и упражнениях, Архангельский А. В., Пономарев В. И., 1974
12. Введение в теорию римановых поверхностей, Спрингер Д., 1960
13. Геометрическая теория инвариантов, Дьёдонне Ж., Керрол Д., Мамфорд Д., 1974
14. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В. В., 1995
15. Математические методы классической механики, Арнольд В. И., 1974
16. Основы гамильтоновой механики, тер Хаар Д., 1974
17. Квантовая теория поля и топология, Шварц А. С., 1989
18. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989