КнигоПровод.Ru22.11.2024

/Наука и Техника/Математика

Уравнения математической физики. — 7-е изд. — Тихонов А. Н., Самарский А. А.
 Уравнения математической физики. — 7-е изд.
Учебное издание
Тихонов А. Н., Самарский А. А.
год издания — 2004, кол-во страниц — 798, ISBN — 5-02-033599-1, 5-211-04843-1, тираж — 5000, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7БЦ матов., масса книги — 860 гр., издательство — Наука
серия — Классический университетский учебник
КНИГА СНЯТА С ПРОДАЖИ
Печатается по решению Учёного совета Московского университета

Формат 60x90 1/16. Бумага офс. №1. Печать офсетная
ключевые слова — лежандр, дирихл, пуассон, ханкел, гамма-функц, интегральн, бессел, асимптот, фурье-бессел, чебышёва-эрмит, чебышёва-лагерр

В книге (6-е изд. — 1999 г.) рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание уделяется математической постановке задач, строгому изложению решения простейших задач и физической интерпретации результатов. В каждой главе помещены задачи и примеры.

7-е издание печатается по тексту 6-го без изменений.

Для студентов физико-математических специальностей университетов.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие (В. А. Садовничий)3
Предисловие к седьмому изданию13
Из предисловия к первому изданию14
 
ГЛАВА I
КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
 
§1. Классификация уравнений с частными производными 2-го
порядка		15
1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными (15). 2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными (22). 3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (24).
Задачи к главе I26
 
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
 
§1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического
типа. Постановка краевых задач		27
1. Уравнение малых поперечных колебаний струны (27). 2. Уравнение продольных колебаний стержней и струн (31). 3. Энергия колебаний струны (32). 4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах (34). 5. Поперечные колебания мембраны (35). 6. Уравнения гидродинамики и акустики (38). 7. Граничные и начальные условия (43). 8. Редукция обшей задачи (48). 9. Постановка краевых задач для случая многих переменных (49). 10. Теорема единственности (50). Задачи (53).
§2. Метод распространяющихся волн54
1. Формула Даламбера (54). 2. Физическая интерпретация (57). 3. Примеры (59). 4. Неоднородное уравнение (62). 5. Устойчивость решений (64). 6. Полуограниченная прямая и метод продолжений (68}. 7. Задачи для ограниченного отрезка (74). 8. Дисперсия волн (78). 9. Интегральное уравнение колебаний (79). 10. Распространение разрывов вдоль характеристик (83). Задачи (85).
§3. Метод разделения переменных87
1. Уравнение свободных колебаний струны (87). 2. Интерпретация решения (93). 3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих волн (96). 4. Неоднородные уравнения (101). 5. Общая первая краевая задача (108). 6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями (109). 7. Задачи без начальных условий (111). 8. Сосредоточенная сила (116). 9. Общая схема метода разделения переменных (119). Задачи (126).
§4. Задача с данными на характеристиках128
1. Постановка задачи (128). 2. Метод последовательных приближений для задачи Гурса (129). Задачи (135).
§5. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа135
1. Сопряженные дифференциальные операторы (135). 2. Интегральная форма решения (136). 3. Физическая интерпретация функции Римана (139). 4. Уравнения с постоянными коэффициентами (143).
 
Задачи к главе II147
 
П р и л о ж е н и я   к   г л а в е   II148
I. О колебании струн музыкальных инструментов148
II. О колебании стержней151
III. Колебания нагруженной струны155
1. Постановка задачи (155). 2. Собственные колебания нагруженной струны (156). 3. Струна с грузом на конце (161). 4. Поправки для собственных значений (161).
IV. Уравнения газодинамики и теория ударных волн162
1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии (162). 2. Ударные волны. Условия динамической совместности (165). 3. Слабые разрывы (170).
V. Динамика сорбции газов174
1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа (174). 2. Асимптотическое решение (178).
VI. Физические аналогии185
 
ГЛАВА III
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
 
§1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического
типа. Постановка краевых задач		189
1. Линейная задача о распространении тепла (189). 2. Уравнение диффузии (193). 3. Распространение тепла в пространстве (194). 4. Постановка краевых задач (196). 5. Принцип максимального значения (202). 6. Теорема единственности (205). 7. Теорема единственности для бесконечной прямой (208).
§2. Метод разделения переменных209
1. Однородная краевая задача (209). 2. Функция источника (213). 3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями (215). 4. Неоднородное уравнение теплопроводности (222). 5. Общая первая краевая задача (225). Задачи (227).
§3. Задачи на бесконечной прямой228
1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для неограниченной области (228). 2. Краевые задачи для полуограниченной прямой (242).
§4. Задачи без начальных условий250
 
Задачи к главе III254
 
П р и л о ж е н и я   к   г л а в е   III256
I. Температурные волны256
II. Влияние радиоактивного распада на температуру земной коры259
III. Метод подобия в теории теплопроводности264
1. Функция источника для бесконечной прямой (264). 2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности (267). 3. Режимы с обострением. Эффект локализации тепла (274).
IV. Задача о фазовом переходе277
V. Уравнение Эйнштейна—Колмогорова282
VI. d-Функция286
1. Определение d-функции (286). 2. Разложение d-функции в ряд Фурье (289). 3. Применение d-функции к построению функции источника (291).
 
ГЛАВА IV
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
 
§1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа295
1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач (295). 2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля (296). 3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат (298). 4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа (301). 5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного (303). 6. Преобразование обратных радиусов-векторов (305).
§2. Общие свойства гармонических функций307
1. Формулы Грина. Интегральное представление решения (307). 2. Некоторые основные свойства гармонических функций (313). 3. Единственность и устойчивость решения первой внутренней краевой задачи (317). 4. Задачи с разрывными граничными условиями (318). 5. Изолированные особые точки (319). 6. Регулярность гармонической функции трёх переменных в бесконечности (321). 7. Внешние краевые задачи. Единственность решения двух- и трёхмерных задач (322). 8. Вторая краевая задача. Теорема единственности (325).
§3. Решение краевых задач для простейших областей методом
разделения переменных		328
1. Первая краевая задача для круга (328). 2. Интеграл Пуассона (333). 3. Случай разрывных граничных значений (336).
§4. Функция источника338
1. Функция источника для уравнения Du = 0 и её основные свойства (338). 2. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы (343). 3. Функция источника для круга (346). 4. Функция источника для полупространства (347).
§5. Теория потенциала348
1. Объёмный потенциал (348). 2. Плоская задача. Логарифмический потенциал (351). 3. Несобственные интегралы (353). 4. Первые производные объёмного потенциала (360). 5. Вторые производные объёмного потенциала (363). 6. Поверхностные потенциалы (367). 7. Поверхности и кривые Ляпунова (371). 8. Разрыв потенциала двойного слоя (374). 9. Свойства потенциала простого слоя (377). 10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач (380). 11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам (386).
 
Задачи к главе IV391
 
П р и л о ж е н и я   к   г л а в е   IV393
I. Асимптотическое выражение объёмного потенциала393
II. Задачи электростатики396
III. Основная задача электроразведки401
IV. Определение векторных полей408
V. Применение метода конформного преобразования в электростатике412
VI. Применение метода конформного преобразования в гидродинамике416
VII. Бигармоническое уравнение422
1. Единственность решения (423). 2. Представление бигармонических функций через гармонические функции (424). 3. Решение бигармонического уравнения для круга (425).
 
ГЛАВА V
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ
 
§1. Задача с начальными условиями427
1. Уравнение колебаний в пространстве (427). 2. Метод усреднения (429). 3. Формула Пуассона (430). 4. Метод спуска (433). 5. Физическая интерпретация (434). 6. Метод отражения (436).
§2. Интегральная формула437
1. Вывод интегральной формулы (437). 2. Следствия из интегральной формулы (441).
§3. Колебания ограниченных объёмов444
1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны (444). 2. Колебания прямоугольной мембраны (450). 3. Колебания круглой мембраны (454).
 
Задачи к главе V460
 
П р и л о ж е н и я   к   г л а в е   V461
I. Приведение уравнений теории упругости к уравнениям колебаний461
II. Уравнения электромагнитного поля464
1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия (464). 2. Потенциалы электромагнитного поля (468). 3. Электромагнитное поле осциллятора (470).
 
ГЛАВА VI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
 
§1. Распространение тепла в неограниченном пространстве477
1. Функция температурного влияния (477). 2. Распространение тепла в неограниченном пространстве (481).
§2. Распространение тепла в ограниченных телах486
1. Схема метода разделения переменных (486). 2. Остывание круглого цилиндра (489). 3. Определение критических размеров (491).
§3. Краевые задачи для областей с подвижными границами493
1. Формула Грина для уравнения теплопроводности и функция источника (493). 2. Решение краевой задачи (498). 3. Функция источника для отрезка (500).
§4. Тепловые потенциалы502
1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя (502). 2. Решение краевых задач (505). 3. Условия локализации граничных режимов с обострением (507).
 
Задачи к главе VI510
 
П р и л о ж е н и я   к   г л а в е   VI511
I. Диффузия облака511
II. О размагничивании цилиндра с обмоткой514
 
ГЛАВА VII
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
(продолжение)
 
§1. Основные задачи, приводящие к уравнению Du + cv = 0519
1. Установившиеся колебания (519). 2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях (520). 3. Диффузия в движущейся среде (520). 4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения Du + cv = 0 (521).
§2. Функции влияния точечных источников522
1. Функции влияния точечных источников (522). 2. Интегральное представление решения (525). 3. Потенциалы (528).
§3. Задачи для неограниченной области. Принцип излучения531
1. Уравнение Du + cv = -f в неограниченном пространстве (531). 2. Принцип предельного поглощения (532). 3. Принцип предельной амплитуды (534). 4. Условия излучения (535).
§4. Задачи математической теории дифракции541
1. Постановка задачи (541). 2. Единственность решения задачи дифракции (542). 3. Дифракция на сфере (545).
 
Задачи к главе VII552
 
П р и л о ж е н и я   к   г л а в е   VII554
I. Волны в цилиндрических трубах554
II. Электромагнитные колебания в полых резонаторах565
1. Собственные колебания цилиндрического эндовибратора (565). 2. Электромагнитная энергия собственных колебаний (569). 3. Возбуждение колебаний в эндовибраторе (572).
III. Скин-эффект574
IV. Распространение радиоволн над поверхностью земли579
 
ДОПОЛНЕНИЕ I
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
 
§I. Основные понятия585
1. Сетки и сеточные функции (586). 2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов (587). 3. Разностная задача (593). 4. Устойчивость (594).
§2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности597
1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами (597). 2. Погрешность аппроксимации (599). 3. Энергетическое тождество (601). 4. Устойчивость (605). 5. Сходимость и точность (608). 6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами (609). 7. Метод баланса. Консервативные схемы (610). 8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами (614). 9. Трёхслойные схемы (620). 10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки (622). 11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений (624).
§ 3. Метод конечных разностей для решения задачи Дирихле628
1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа (628). 2. Принцип максимума (632). 3. Оценка решения неоднородного уравнения (635). 4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле (636).
§4. Разностные методы решения задач с несколькими
пространственными переменными		638
1. Многомерные схемы (638). 2. Экономичные схемы (640).
§5. Итерационные методы решения сеточных уравнений649
1. Модельная задача (649). 2. Итерационные методы линейной алгебры (651). 3. Выбор итерационных параметров (652). 4. Итерационные методы вариационного типа (654). 5. Диагональный оператор B (656). 6. Попеременно-треугольный итерационный метод (657).
 
ДОПОЛНЕНИЕ II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
 
1. Введение (660). 2. Общее уравнение теории специальных функций (662). 3. Поведение решений в окрестности х = а, если к(а) = 0 (663). 4. Постановка краевых задач (665).
 
Часть I. Цилиндрические функции668
§1. Цилиндрические функции668
1. Степенные ряды (669). 2. Рекуррентные формулы (673). 3. Функции полуцелого порядка (674). 4. Асимптотический порядок цилиндрических функции (675).
§2. Краевые задачи для уравнения Бесселя678
§3. Различные типы цилиндрических функций682
1. Функции Ханкеля (682). 2. Функции Ханкеля и Неймана (684). 3. Функции мнимого аргумента (686). 4. Функция K0(x) (688).
§4. Представление цилиндрических функций в виде контурных
интегралов		693
1. Контурные интегралы (693). 2. Функции Ханкеля (695). 3. Некоторые свойства гамма-функции (696). 4. Интегральное представление функции Бесселя (698). 5. Интегральное представление Kn(x) (699). 6. Асимптотические формулы для цилиндрических функций (701).
§5. Интеграл Фурье-Бесселя и некоторые интегралы,
содержащие функции Бесселя		703
1. Интеграл Фурье-Бесселя (703). 2. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя (705).
 
Часть II. Сферические функции709
§1. Полиномы Лежандра709
1. Производящая функция и полиномы Лежандра (709). 2. Рекуррентные формулы (711). 3. Уравнение Лежандра (712). 4. Ортогональность полиномов Лежандра (713). 5. Норма полиномов Лежандра (714). 6. Нули полиномов Лежандра (715). 7. Ограниченность полиномов Лежандра (715).
§2. Присоединённые функции Лежандра716
1. Присоединённые функции (716). 2. Норма присоединённых функций (717). 3. Полнота системы присоединённых функций (718).
§3. Гармонические полиномы и сферические функции720
1. Гармонические полиномы (720). 2. Сферические функции (721). 3. Ортогональность системы сферических функций (724). 4. Замкнутость системы сферических функций (727). 5. Разложение по сферическим функциям (728).
§4. Некоторые примеры применения сферических функций732
1. Задача Дирихле для сферы (733). 2. Проводящая сфера в поле точечного заряда (733). 3. Поляризация шара в однородном иоле (734). 4. Собственные колебания сферы (737). 5. Внешняя краевая задача для сферы (740).
 
Часть III. Полиномы Чебышёва-Эрмита и Чебышёва-Лагерра742
§1. Полиномы Чебышёва-Эрмита742
1. Дифференциальная формула (742). 2. Рекуррентные формулы (743). 3. Уравнение Чебышёва-Эрмита (743). 4. Норма полиномов Нn(х) (744). 5. Функции Чебышёва-Эрмита (745).
§2. Полиномы Чебышёва-Лагерра745
1. Дифференциальная формула (745). 2. Рекуррентные формулы (746). 3. Уравнение Чебышёва-Лагерра (746). 4. Ортогональность и норма полиномов Чебышёва-Лагерра (747). 5. Обобщённые полиномы Чебышёва-Лагерра (747).
§3. Простейшие задачи для уравнения Щрёдингера749
1. Уравнение Шрёдингера (749). 2. Гармонический осциллятор (750). 3. Ротатор (752). 4. Движение электрона в кулоновом поле (753).
 
Часть IV. Формулы, таблицы и графики758
I. Основные свойства специальных функций758
II. Таблицы764
III. Графики специальных функций767
IV. Различные ортогональные системы координат769
 
ДОПОЛНЕНИЕ III
ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
 
§1. Некоторые понятия функционального анализа777
1. Вспомогательные сведения об интеграле Лебега, обобщённой частной производной и некоторых функциональных пространствах (777).
2. Функциональные пространства (781).
§2. Обобщённое решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона 782
1. Определение обобщённого решения задачи Дирихле (782). 2. Два основных неравенства (785). 3. Единстяенность и существование обобщённого решения задачи Дирихле (787).
 
Дополнительная литература791
Предметный указатель792

Книги на ту же тему

  1. Сборник задач по математике для втузов: Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. — 2-е изд., перераб., Вуколов Э. А., Ефимов А. В., Земсков В. Н., Каракулин А. Ф., Лесин В. В., Поспелов А. С., Терещенко А. М., 1990
  2. Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
  3. Уравнения математической физики, Бицадзе А. В., 1976
  4. Лекции об уравнениях с частными производными. — 3-е изд., доп., Петровский И. Г., 1961
  5. Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
  6. Обобщённые функции в математической физике, Владимиров В. С., 1976
  7. Курс математической физики, Михлин С. Г., 1968
  8. Уравнения математической физики, Годунов С. К., 1971
  9. Уравнения математической физики. — 4-е изд., испр., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1972
  10. Уравнения математической физики. — 5-е изд., стереотип., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1977
  11. Уравнения математической физики, Араманович И. Г., Левин В. И., 1964
  12. Сборник задач по уравнениям математической физики, Владимиров В. С., Михайлов В. П., Вашарин А. А., Каримова Х. Х., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И., 1974
  13. Курс уравнений математической физики с использованием пакета Mathematica. Теория и технология решения задач (без CD), Глушко В. П., Глушко А. В., 2010
  14. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов, Голоскоков Д. П., 2004
  15. Уравнения в частных производных математической физики. Учебное пособие для мех.-мат. факультетов университетов, Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., 1970
  16. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Ладыженская О. А., 1961
  17. Математическая теория распространения электромагнитных волн, Бейтмен Г., 1958
  18. Фундаментальные основы математического моделирования, Макаров И. М., ред., 1997
  19. Уравнения с частными производными, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., 1966
  20. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Смирнов М. М., 1964
  21. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций: Учебное пособие для вузов, Кудинов В. А., Карташов Э. М., Калашников В. В., 2005
  22. Задачи для ультрагиперболических уравнений в полупространстве, Костомаров Д. П., 2006
  23. Асимптотические методы нелинейной механики, Моисеев Н. Н., 1969
  24. Локальные свойства решений уравнения переноса, Гермогенова Т. А., 1986
  25. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
  26. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989
  27. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Нахушева В. А., 2006
  28. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
  29. Лекции по теории интегральных уравнений. — 3-е изд., исправл., Петровский И. Г., 1965
  30. Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
  31. Интегральные уравнения в теории упругости, Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., 1994
  32. Вариационное исчисление и интегральные уравнения: Справочное руководство. — 2-е изд., перераб., Цлаф Л. Я., 1970
  33. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — 2-е изд., доп., Диткин В. А., Прудников А. П., 1974
  34. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности, Галицын А. С., Жуковский А. Н., 1976
  35. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Нобл Б., 1962
  36. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах, Рвачев В. Л., Слесаренко А. П., 1976
  37. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
  38. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд., стереотип., Градштейн И. С., Рыжик И. М., 1971
  39. Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов, Головизин В. М., Зайцев М. А., Карабасов С. А., Короткин И. А., 2013
© 1913—2013 КнигоПровод.Ruhttp://knigoprovod.ru