| От редактора | 9 |
| Из предисловия автора | 13 |
| Советы и указания | 19 |
| Советы учителям и учителям учителей | 20 |
| |
| Ч А С Т Ь П Е Р В А Я |
| ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ |
| |
| Г л а в а 1. Метод двух геометрических мест | 25 |
| |
| § 1. Геометрические построения | 25 |
| § 2. От примера к методу | 26 |
| § 3. Примеры | 27 |
| § 4. Предположим, что задача решена | 29 |
| § 5. Метод подобия | 32 |
| § 6. Примеры | 33 |
| § 7. Метод вспомогательных фигур | 37 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 1 (1—54) | 38 |
[7. Обозначения. 15. Три маяка. 45. Изъян. 47. Взгляд назад. 48. Три наблюдательных пункта. 49. Замечания по поводу метода двух геометрических мест. 50. Метод трёх геометрических мест. 52. О геометрических построениях. 53. Дополнительные задачи. 54. Множества.] |
| |
| Г л а в а 2. Метод Декарта | 45 |
| |
| § 1. Декарт и его идея об универсальном методе | 45 |
| § 2. Задачка | 46 |
| § 3. Составление уравнений | 50 |
| § 4. Школьные задачи | 52 |
| § 5. Геометрические примеры | 56 |
| § 6. Пример из физики | 61 |
| § 7. Пример из области головоломок | 64 |
| § 8. Озадачивающие примеры | 65 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 2 (1—87: Раздел 1, 1—16; Раздел 2, 17—87) | 69 |
[10. Аналог формулы Герона. 11. Другой аналог теоремы Пифагора. 12. Ещё один аналог теоремы Пифагора. 13. Другой аналог формулы Герона. 17. Разное. 28. Как долог был век Диофанта? 29. Египетская задача. 33. Планиметрия. 34. Ньютон о составлении уравнений при решении геометрических задач. 50. Стереометрия. 60. Неравенство. 61. Сферометр. 63. Атом углерода. 64. Фотометр. 65. График движения. 73. Число уравнений равно числу неизвестных. 74. Число уравнений больше числа неизвестных. 76. Число уравнений меньше числа неизвестных. 7 7. Диофантовы уравнения. 81. Правила Декарта. 82. Обнажите задачу и расчлените её. 83. Дополнительные сведения, необходимые для решения задачи. Мобилизация и организация. 84. Независимость и совместность. 85. Единственность решения. Взгляд вперёд. 86. Зачем нужны словесные задачи? 87. Дополнительные задачи.] |
| |
| Г л а в а 3. Рекурсия | 85 |
| |
| § 1. История одного маленького открытия | 85 |
| § 2. Дар небес | 88 |
| § 3. И всё же оно заслуживает внимания | 90 |
| § 4. Рекурсия | 92 |
| § 5. Абракадабра | 94 |
| § 6. Треугольник Паскаля | 97 |
| § 7. Математическая индукция | 100 |
| § 8. В поисках новых подходов | 102 |
| § 9. Наблюдайте, обобщайте, доказывайте и передоказывайте по-новому 103 Упражнения и дополнительные замечания к главе 3 (1—100: Раздел 1, 1—22; Раздел 2, 23—31; Раздел 3, 32—59; Раздел 4, 60—100) | 106 |
[2. Частный случай эквивалентен общему случаю. 11. Спасение затонувшего судна. 22. Два вида математической индукции. 24. Сочетания. 39. Треугольные числа. 40. Пирамидальные числа. 43. Числа Фибоначчи. 48. Триномиальные коэффициенты. 55. Гармонический треугольник Лейбница. 56 Паскаль и Лейбниц. 60. Степенные ряды. 66. Биномиальная формула для дробных и отрицательных показателей. 70. Расширение области определения символа Crn. 76. Метод неопределённых коэффициентов. 81. Обращение степенного ряда. 87. Дифференциальные уравнения. 99. О числе π. 100. Другие задачи.] |
| |
| Г л а в а 4. Суперпозиция | 127 |
| |
| § 1. Интерполяция | 127 |
| § 2. Частный случай | 130 |
| § 3. Решение общей задачи комбинированием частных решений | 131 |
| § 4. Метод суперпозиции | 132 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 4 (1—37: Раздел 1, 1—17; Раздел 2, 18—37) | 134 |
[11. Линейная комбинация или суперпозиция. 12. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 14. Однородные линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. 15. Числа Фибоначчи. 17. Суперпозиция движений. 18. Разнообразие подходов при решении одной задачи. 19. Что представляет собой неизвестное? 21. Вот уже решённая задача, родственная вашей. 23. Дополнительные сведения. 25. Формула объёма призматоида. 31. Никакая цепь не прочнее своего слабейшего звена. 33. Формула Симпсона. 37. Расширение области исследования.] |
| |
| Ч А С Т Ь В Т О Р А Я |
| НА ПУТИ К ОБЩЕМУ МЕТОДУ |
| |
| Г л а в а 5. О задачах | 143 |
| |
| § 1. Что такое задача? | 143 |
| § 2. Классификация задач | 144 |
| § 3. Задачи на нахождение | 145 |
| § 4. Задачи на доказательство | 147 |
| § 5. Компоненты неизвестного, пункты условия | 149 |
| § 6. Ищем соответствующую процедуру | 150 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 5 (1—20) | 151 |
[8. Задача на нахождение или задача на доказательство? 9. Другие задачи. 10. Процедура решения задачи может состоять из неограниченной последовательности операций. 11. Квадратура круга. 12. Следование и следствие. 13. Неудачная терминология, двусмысленность. 14. Данные и неизвестное, условие (предпосылка) и заключение. 15. Число необходимых данных. 20. Изучая решение.] |
| |
| Г л а в а 6. Расширение области применения метода | 156 |
| |
| § 1. Расширение области применения метода Декарта | 156 |
| § 2. Расширение области применения метода двух геометрических мест | 160 |
| § 3. С какого пункта условия следует начинать | 167 |
| § 4. Расширение области применения рекурсии | 171 |
| § 5. Последовательный охват неизвестных | 175 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 6 (1—27) | 176 |
[1. Условие, состоящее из многих пунктов. 9. Сохраните только часть условия. 10. Нить Ариадны. 20. Другие задачи. 21. Промежуточная цель. 22. Графическое представление. 23. Некоторые типы задач нематематического характера. 27. Более тонкая классификация.] |
| |
| Г л а в а 7. Геометрическое представление процесса решения | 184 |
| |
| § 1. Метафоры | 184 |
| § 2. Что такое задача? | 185 |
| § 3. Есть идея! | 186 |
| § 4. Развитие идеи | 188 |
| § 5. Оформление решения | 190 |
| § 6. Замедленные кинокадры | 191 |
| § 7. Коротко о дальнейшем | 193 |
| § 8. План и программа | 194 |
| § 9. Задачи внутри задач | 194 |
| § 10. Зарождение идеи | 195 |
| § 11. Умственная работа | 195 |
| § 12. Дисциплина ума | 196 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 7 (1—6) | 196 |
[1. Другой подход. 4. Поиски доказательства. 5. Простейшие диаграммы. 6. Другие задачи.] |
| |
| Г л а в а 8. План и программа | 205 |
| |
| § 1. Составление плана как метод решения задачи | 205 |
| § 2. Более общий метод | 207 |
| § 3. Программа | 208 |
| § 4. Выбор между несколькими планами | 209 |
| § 5. План и программа | 211 |
| § 6. Метод и план | 212 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 8 (1—8) | 213 |
[1. От конца к началу или от начала к концу? В обратном направлении или в прямом направлении? Анализ или синтез? 2. Умный начинает с конца. 4. Выбор между тремя планами. 5. Выбор между двумя планами. 6. Реальный план. 8. Не связывайте себя.] |
| |
| Г л а в а 9. Задачи внутри задач | 219 |
| |
| § 1. Вспомогательные задачи | 219 |
| § 2. Эквивалентные задачи: двусторонняя редукция | 220 |
| § 3. Цепочки эквивалентных задач | 222 |
| § 4. Более результативные или менее результативные вспомогательные задачи; односторонняя редукция | 222 |
| § 5. Косвенные вспомогательные задачи | 224 |
| § 6. Частичная помощь, методологическая помощь, стимулирование, руководство, практика | 225 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 9 (1—16) | 227 |
[1. Надёжные источники вспомогательных задач? 2. Respice finem. 3. Отбрасывание или добавление пункта в условии. 4. Расширение или сужение условия. 5. Изучение более сильной или более слабой теоремы. 11. Поиски противоречащего примера. 12. Годится любое найденное решение. 13. Специализация и обобщение. 14. Аналогия. 15. А что если неудача? 16. Другие задачи.] |
| |
| Г л а в а 10. Зарождение идеи | 237 |
| |
| § 1. Проблеск света | 237 |
| § 2. Пример | 237 |
| § 3. Характерные черты полезной идеи | 241 |
| § 4. Зависимость идеи от случая | 243 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 10 (1—2) | 244 |
[1. Внезапность появления идеи. Одна цитата и комментарий к ней. 2. Два эксперимента.] |
| |
| Г л а в а 11. Умственная работа | 245 |
| |
| § 1. Как мы думаем | 245 |
| § 2. Стремление решить задачу | 245 |
| § 3. Направленность мышления | 246 |
| § 4. Близость решения | 246 |
| § 5. Предвидение | 247 |
| § 6. Область поисков | 248 |
| § 7. Промежуточные решения | 249 |
| § 8. Мобилизация и организация | 249 |
| § 9. Распознавание и вспоминание | 251 |
| § 10. Пополнение и перегруппировка | 251 |
| § 11. Изоляция и комбинация | 252 |
| § 12. Диаграмма | 253 |
| § 13. Часть подсказывает целое | 256 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 11 (1—11) | 257 |
[1. Ваш опыт, ваше суждение. 2. Мобилизация. 3. Прозрение. 4. Часть подсказывает целое. 5. Распознавание. 6. Перегруппировка. 7. Работа изнутри и работа извне. 8. Эвристический лабиринт. 9. Продвижение вперёд. 10. Вы такой же, как я. 11. Мыши и люди.] |
| |
| Г л а в а 12. Дисциплина ума | 261 |
| |
| § 1. Как надо думать | 261 |
| § 2. Концентрация внимания на цели | 261 |
| § 3. Оценка перспектив | 263 |
| § 4. Блуждания: поиски подхода | 264 |
| § 5. Блуждания: может быть, есть более обнадёживающий аспект задачи? | 265 |
| § 6. Блуждания: поиски полезных сведений | 266 |
| § 7. Блуждания: может быть, ситуацию следует переоценить? | 267 |
| § 8. Искусство ставить вопросы | 268 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 12 (1—16) | 269 |
[1. Измените формулировку задачи. 2. Выразите задачу на языке математики. 4. Хорошо составленный и хорошо упорядоченный запас знаний. 5. При помощи каких данных можно определить подобное неизвестное? 6. Из какого условия (предпосылки) можно вывести такое заключение? 7. Сведения, относящиеся к рассматриваемому вопросу. 8. Аналогия между треугольником и тетраэдром. 12. Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? 13. Вернитесь к определениям. 14. Исследование ближайшей окрестности. 15. Внимание и действие. 16. Продуктивное мышление, творческое мышление.] |
| |
| Г л а в а 13. Законы открытия? | 275 |
| |
| § 1. Правила бывают разными | 275 |
| § 2. Рациональность | 276 |
| § 3. Экономия, но без предвзятости | 277 |
| § 4. Настойчивость, но и гибкость | 278 |
| § 5. Правила предпочтения | 279 |
| § 6. Части задачи | 280 |
| § 7. Полезные сведения | 281 |
| § 8. Вспомогательные задачи | 283 |
| § 9. Резюме | 283 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 13 (1—3) | 284 |
[1. Одарённый человек, специалист и начинающий. 2. О плодах и планах. 3. Стиль работы.] |
| |
| Г л а в а 14. Об учении, преподавании и обучении преподаванию | 286 |
| |
| § 1. Преподавание — не наука | 286 |
| § 2. Цель обучения | 287 |
| § 3. Преподавание — это искусство | 288 |
| § 4. Три принципа изучения | 290 |
| § 5. Три принципа обучения | 292 |
| § 6. Примеры | 295 |
| § 7. Как учить преподаванию | 301 |
| § 8. Позиция учителя | 305 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 14 (1—29: Раздел 1 1—5; Раздел 2, 6—29) | 311 |
[2. Високосные годы. 6. Почему именно решение задач? 7. Решение задач и построение теории. 8. Решение задач и общая культура. 9. Язык фигур. 10. Рациональные и иррациональные числа. 11. Строгость рассуждений. 12. Может ли географическая карта быть совершенной? 13. Чему мы должны учить? 14. Генетический принцип. 15. Бесплодные словоизлияния. 16. Путаница в уровнях. 17. Айседора Дункан. 18. Уровни знания. 19. Повторение и контраст. 20. Изнутри и извне. 22. Насколько это трудно? 23. Трудность задачи и её образовательная ценность. 24. Несколько типов задач. 27. Семестровая работа. 28. О выступлениях на математических конференциях: правила Цермело. 29. Эпилог.] |
| |
| Г л а в а 15. Догадка и научный метод | 336 |
| |
| § 1. Научно-исследовательская работа на уровне средней школы | 336 |
| § 2. Пример | 336 |
| § 3. Обсуждение | 338 |
| § 4. Ещё один пример | 339 |
| § 5. Графическое представление индуктивного рассуждения | 340 |
| § 6. Один пример из истории | |
| § 7. Научный метод: догадывайтесь и испытывайте | 350 |
| § 8. О некоторых чертах задач «научно-исследовательского характера» | 351 |
| § 9. Выводы | 352 |
| Упражнения и дополнительные замечания к главе 15 (1—58: Раздел 1, 1—21; Раздел 2, 22—41; Раздел 3, 42—58) | 352 |
[24. Принцип Отсутствия Достаточных Основании. 25. Буриданов осёл. 40. Принцип Отсутствия Достаточных Основании в физике, или «Природа не смеет быть непредсказуемой». 41. n точек сферы. 42. Другие задачи. 45. Периодические дроби. 49. Трапецеидальные числа. 54. Ещё одно задание исследовательского характера. 58. Предлоложение и факт.] |
| |
| Решения упражнений | 364 |
| |
| Приложение: Из предисловия к книге Г. Полиа и Г. Сегё «Задачи и теоремы из анализа» | 441 |
| |
| Библиография | 445 |
| |
| Указатель | 448 |
