Излагаются основные сведения о геометрии евклидова пространства и пространства Минковского, включая их преобразования и теорию кривых и поверхностей, основы тензорного анализа и римановой геометрии, сведения из вариационного исчисления, пограничные с геометрией, элементы наглядной топологии многообразий. Изложение ведётся в свете современных представлений о геометрии реального мира.

Для студентов физико-математических специальностей университетов.

На протяжении ряда лет с начала 70-х годов авторы читали лекции по основам геометрии и топологии на механико-математическом факультете Московского государственного университета. Настоящий учебник является одним из итогов этой работы. Напомним, что в течение длительного периода элементы современной геометрии и топологии не входили в обязательное математическое образование студентов — математиков, механиков и физиков. Традиционные курсы классической дифференциальной геометрии постепенно устарели, единой точки зрения на то, какая часть геометрии является необходимой компонентой общематематического образования, длительное время не было. В связи с необходимостью использования большого количества геометрических понятий и методов, на отделении механики механико-математического факультета МГУ начиная с 1971 года впервые стал читаться обязательный геометрический курс нового типа. Этот курс включал, кроме традиционных глав о кривых и поверхностях, также основы тензорного анализа, римановой геометрии и топологии. В дальнейшем такой курс также стал читаться и на отделении математики. На базе этих первых курсов были подготовлены учебные пособия:

Новиков С. П. Дифференциальная геометрия, части I и II.— Ротапринт НИИ механики при МГУ, 1972 г.;
Новиков С. П., Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия, часть III. — Ротапринт НИИ механики при МГУ, 1974 г.

В результате обработки этих учебных пособий и возник данный учебник, рассчитанный на студентов второго и третьего курсов математиков, механиков, физиков.

Минимальная абстрактность языка и стиля изложения, их совместимость с языком механики и физики, включение в первую очередь материала, важного для естественных наук, — вот основные принципы, положенные нами в основу этого учебника.

В конце учебника помещены несколько приложений. С их помощью можно варьировать содержание курса. Так сведения об элементарных группах преобразований и геометрические элементы вариационного исчисления могут быть расширены за счёт этих приложений в курсах, предназначенных механикам и физикам. Напротив, сведения из геометрии Лобачевского и теории гомологии могут быть расширены в курсах, предназначенных математикам. Приложения 2 и 3, как нам представляется, очень полезны для ознакомления с элементарными геометрическими идеями, играющими фундаментальную роль в физике. Приложение 7 содержит избранные задачи и упражнения по этому курсу.

В конце книги приведён список литературы учебного характера на русском языке, которая представляется нам полезной для дополнительного изучения. Более подробным учебным пособием, по которому можно изучать геометрию и её приложения значительно глубже, является «Современная геометрия».

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы, Фоменко А. Т., 1983
2. Топологические вариационные задачи, Фоменко А. Т., 1984
3. Наглядная геометрия. — 3-е изд., Гильберт Д., Кон-Фоссен С., 1981
4. Общая топология, Келли Д. Л., 1968
5. Введение в теорию римановых поверхностей, Спрингер Д., 1960
6. Симметрические пространства, Лоос О., 1985
7. Гравитация и относительность, Цзю Х., Гоффман В., ред., 1965
8. Топологические методы в теории гамильтоновых систем (Сборник статей), Болсинов А. В., Фоменко А. Т., Шафаревич А. И., ред., 1998
9. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций, Кадич А., Эделен Д., 1987