год издания — 1990, кол-во страниц — 512, ISBN — 5-03-001179-X, 3-540-17145-2, тираж — 14000, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б, масса книги — 580 гр., издательство — Мир

цена: 1000.00 руб

Сохранность книги — хорошая

E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Wanner

SOLVING ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS I
Nonstiff Problems

Springer-Verlag 1987

Пер. с англ. И. А. Кульчицкой и С. С. Филиппова

Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная №2. Печать офсетная

Книга известных математиков (Швейцария, Норвегия), дающая картину современного состояния теории и практики численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложены основные теоретические результаты, приведены наиболее употребительные численные методы, дано большое число примеров практических применений в физике и прикладных науках. Представлены тексты программ на Фортране.

Для математиков-прикладников и всех, кто в своей работе встречается с решением дифференциальных уравнений, для аспирантов и студентов вузов.

Первые численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений изобрели ещё Ньютон и Эйлер. К началу XX века были уже известны ставшие теперь классическими методы Адамса и Рунге-Кутты. Текущий период характерен бурным развитием вычислительной техники и усиленным применением ЭВМ и численных методов для решения резко расширяющегося круга задач. Изменение требований породило новую волну конструирования и исследования численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, не ослабевшую и сегодня. Ранее известные методы были детально изучены и обобщены, построены новые классы методов, созданы методы, ориентированные на решение задач со специальными свойствами, например, так называемых жёстких систем. Большой прогресс достигнут и в разработке удобных для пользователей, эффективных и надёжных программ.

За последние 20—25 лет этим вопросам посвящено огромное число журнальных публикаций, множество монографий, как узкоспециальных, так и общего характера, а также учебных пособий (некоторые из них включены авторами в список литературы в конце книги). Однако почти все они изданы за рубежом. На русский язык были переведены лишь рассчитанная на математиков-профессионалов монография Штеттера (1973) и сборник обзорных лекций, прочитанных на летней школе в Англии (редакторы Холл и Уатт (1976)), да ещё две-три книги по весьма частным вопросам. Важнейшие сведения о численных методах решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений можно, конечно, найти в любом учебном пособии по численным методам. Но систематического и доступного широкому кругу читателей изложения названных выше вопросов на русском языке до сих пор не было.

Предлагаемая вниманию читателей книга призвана восполнить этот пробел. Написана она специалистами, которые внесли значительный вклад в развитие излагаемых в книге вопросов и имеют большой педагогический опыт. Книга доступна студентам университетов и других вузов, специализирующимся в области прикладной математики, и она, несомненно, будет полезна широкому кругу специалистов, работающих в области численных методов, а также всем лицам, занимающимся приложением этих методов.

Предисловие к русскому изданию
Н. С. Бахвалов

Предисловие и русскому изданию	5
Предисловие	6

Глава I. Классическая математическая теория	8

I.1. Терминология	9
I.2. Наиболее ранние дифференциальные уравнения	11
Ньютон	11
Лейбниц	12
Вариационное исчисление	13
Клеро	15
I.3. Уравнения, разрешимые в квадратурах и элементарных
функциях	16
Уравнение с разделяющимися переменными	16
Неоднородное линейное уравнение	16
Уравнения в полных дифференциалах	16
Уравнения второго порядка	17
Упражнения	18
I.4. Линейные дифференциальные уравнения	21
Уравнения с постоянными коэффициентами	21
Вариация постоянных	23
Упражнения	24
I.6. Уравнения со слабыми особенностями	25
Линейные уравнения	26
Нелинейные уравнения	28
Упражнения	29
I.6. Системы уравнений	31
Лагранж	31
Фурье	34
Упражнения	35
I.7. Общая теорема существования	37
Сходимость метода Эйлера	38
Теорема существования Пеано	43
Упражнения	46
I.8. Теория существования решения, основанная на итерационных
методах и рядах Тейлора	47
Метод последовательных приближений Пикара	48
Метод рядов Тейлора	49
Доказательство сходимости	50
Рекурсивное вычисление коэффициентов ряда Тейлора	51
Упражнения	53
I.9. Теория существования решения для систем уравнений	55
Векторные обозначения	56
Подчинённые матричные нормы	58
Последовательные приближения Пикара для систем	58
Упражнения	59
I.10. Дифференциальные неравенства	60
Введение	60
Фундаментальные теоремы	61
Оценки с использованием односторонних условий Липшица	64
Упражнения	67
I.11. Системы линейных дифференциальных уравнений	69
Матрица Вронского (вронскиан)	70
Тождество Абеля-Лиувилля-Якоби-Остроградского	71
Неоднородные линейные уравнения	72
Упражнения	72
I.12. Системы с постоянными коэффициентами	75
Линеаризация	75
Приведение к диагональному виду	76
Разложение Шура	76
Численные расчёты	78
Каноническая форма Жордана	80
Геометрическое представление	83
Упражнения	85
I.13. Устойчивость	88
Введение	88
Критерий Рауса-Гурвица	89
Вопросы численной реализации	93
Функции Ляпунова	94
Устойчивость нелинейных систем	96
Устойчивость неавтономных систем	97
Упражнения	98
I.14. Производные по параметрам и начальным значениям	102
Производная по параметру	10З
Производные по начальным значениям	105
Нелинейная формула вариации постоянных	106
Упражнения	108
I.15. Краевые задачи и задачи на собственные значения	109
Краевые задачи	109
Задачи Штурма-Лиувилля на собственные значения	111
Упражнения	114
I.16. Периодические решения, предельные циклы, странные
аттракторы	115
Доказательство существования	116
Стационарные приближения при ε	117
Асимптотические решения при малых ε	118
Химические реакции	120
Предельные циклы в системах больших размерностей,
бифуркация Хопфа	121
Странные аттракторы	125
Каскады Фейгенбаума	129
Упражнения	131

Глава II. Методы Рунге-Кутты и экстраполяционные методы	134

II.1. Первые методы Рунге-Кутты	137
Метод Эйлера для решения начальной задачи	137
Общая формулировка методов Рунге-Кутты	139
Обсуждение методов порядка 4	140
«Оптимальные» формулы	144
Численный пример	145
Упражнения	147
II.2. Условия порядка для методов Рунге-Кутты	150
Производные точного решения	152
Условия для порядка 3	152
Деревья и элементарные дифференциалы	153
Разложение Тейлора для точного решения	157
Формула Фаа ди Бруно	158
Производные численного решения	159
Условия порядка	162
Упражнения	163
II.З. Оценка погрешности и сходимость методов Рунге-Кутты	166
Строгие оценки погрешности	166
Главный член погрешности	168
Оценка глобальной погрешности	169
Упражнения	173
II.4. Практическая оценка погрешности и выбор длины шага	175
Экстраполяция по Ричардсону	175
Автоматическое управление длиной шага	177
Вложение формулы Рунге-Кутты	178
Формула Дормана и Принса	182
Численное исследование механизма управления длиной
шага	183
Численное сравнение методов 4-го порядка	185
Упражнения	187
II.5. Дальнейшие вопросы практических вычислений	188
Плотная выдача	188
Непрерывные вложенные формулы	191
«Неявная» выдача	192
Уравнения с разрывными производными	192
Длина начального шага	194
Численное определение производных по начальным условиям
и параметрам	195
Упражнения	196
II.6. Явные методы Рунге-Кутты высших порядков	198
Барьеры Бутчера	198
Шестистадийные процессы пятого порядка	200
Семистадийные процессы шестого порядка	202
Дальнейшие барьеры Бутчера	202
Формула десятого порядка	203
Вложенные формулы высоких порядков	206
Численный пример	209
Упражнения	211
II.7. Неявные методы Рунге-Кутты	212
Введение	212
Существование численного решения	214
Методы Кунцмана и Бутчера порядка 2s	217
НРК-методы, основанные на квадратурной формуле Лобатто	219
НРК как коллокационные методы	220
Упражнения	224
II.8. Асимптотическое разложение глобальной погрешности	226
Локальная погрешность	226
Глобальная погрешность	226
Примеры	228
Переменная длина шага	229
Отрицательные значения h	229
Свойства присоединённого метода	230
Симметричные методы	232
Упражнения	232
II.9. Экстраполяционные методы	234
Определение методы	234
Алгоритм Эйткена-Невилла	237
Рациональная экстраполяция	237
Вычислительный пример	237
Экстраполяция с помощью симметричных методов	238
Метод Грэгга, или ГБШ	239
Сглаживающий шаг	241
Вычислительный алгоритм и пример	242
Асимптотическое разложение для нечётных индексов	243
Существование явных методов Рунге-Кутты произвольного
порядка	243
Управление порядком и длиной шага	244
Численное исследование комбинированного управления
длиной шага и порядком	247
Упражнения	248
II.10. Сравнение вычислительных качеств	252
Результаты расчётов	255
Пример с негладким решением	256
Заключение	257
II.11. Композиция B-рядов	258
Композиция методов Рунге-Кутты	258
B-ряды	259
Условия порядка для методов Рунге-Кутты	263
«Эффектный порядок» Бутчера	264
Упражнения	265
II.12. Методы, использующие старшие произврдные	266
Коллокационные методы	267
Методы Фельберга	270
Общая теория условий порядка	272
Упражнения	274
II.13. Численные методы для дифференциальных уравнений второго
порядка	276
Методы Нюстрема	277
Производные точного решения	279
Производные численного решения	282
Условия порядка	284
О конструировании методов Нюстрема	285
Глобальная сходимость	287
Программная реализация методов Нюстрема	288
Численные эксперименты	290
Система высших порядков	292
Упражнения	292
II.14. P-ряды для разделяющихся обыкновенных дифференциальных
уравнений	294
Производные точного решения; P-деревья	295
P-ряды	299
Методы Рунге-Кутты с нарушением условия (1.9)	300
Методы Фельберна	301
Методы Нюстрема	302
Упражнения	303
II.15. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом	304
Существование	304
Методы с постоянной длиной шага для постоянного запаздывания	306
Методы с переменной длиной шага	308
Характеристические значения экспоненциальных решений	309
Устойчивость	31С
Пример из динамики популяций	311
Моделирование эпидемии	313
Пример из кинетики ферментативных реакций	315
Одна математическая модель в иммунологии	317
Интегро-дифференциальные уравнения	318
Упражнения	319

Глава III. Многошаговые методы и общие линейные методы	322

III.1. Классические линейные многошаговые формулы	323
Явные методы Адамса	324
Неявные методы Адамса	325
Рекуррентные соотношения для γ_i	327
Явные методы Нютрема	328
Методы Милна-Симпсона	329
Методы, основанные на дифференцировании	330
Упражнения	332
III.2. Локальная погрешность и условия порядка	334
Локальная погрешность многошагового метода	334
Порядок многошагового метода	336
Константа погрешности многошаговых методов	338
Неприводимые методы	340
Ядро Пеано многошаговых методов	341
Упражнения	343
III.З. Устойчивость и первый барьер Далквиста	345
Устойчивость формул дифференцирования назад	347
Наивысший достижимый порядок устойчивых многошаговых
методов	351
Упражнения	355
III.4. Сходимость многошаговых методов	359
Представление в виде одношагового метода	361
Доказательство сходимости	363
Упражнения	365
III.5. Многошаговые методы с переменным шагом	366
Методы Адамса с переменным шагом	366
Рекуррентные соотношения для g_i(n), Ф_j(n) и Ф*_j(n)	368
Формулы дифференцирования назад с переменным шагом	369
Многошаговые методы общего вида с переменным шагом и их
порядок согласованности	370
Устойчивость	371
Сходимость	376
Упражнения	378
III.6. Методы Нордсика	379
Эквивалентность многошаговым методом	382
Неявные методы Адамса	387
ФДН-методы	388
Упражнения	389
III.7. Реализация и численное сравнение	390
Выбор шага и порядка	390
Некоторые распространённые программы	392
Сравнение численных результатов	396
Уравнения в частных производных	399
III.8. Общие линейные методы	403
Общая процедура интегрирования	404
Примеры метода (8.4)	404
Устойчивость и порядок	409
Сходимость	412
Условия порядка для общих линейных методов	415
Построение общих линейных методов	417
Упражнения	419
III.9. Асимптотическое разложение глобальной погрешности	421
Поучительный пример	421
Асимптотическое разложение для сильно устойчивых
методов (8.4)	423
Слабо устойчивые методы	428
Сопряжённый метод	431
Симметричные методы	434
Упражнения	435
III.10. Многошаговые методы для дифференциальных уравнений
второго порядка	437
Первые методы	438
Задача Штермера	439
Методы более высокого порядка	441
Общая формулировка	443
Условия устойчивости	444
Одношаговое представление метода (10.19)	444
Согласованность и сходимость	446
Асимптотическая формула для глобальной погрешности	447
Порядковый барьер для устойчивых методов (10.19)	449
Погрешности округления	449
Упражнения	450

Приложение. Программы на Фортране	452

Литература	473
Дополнительная литература	492
Указатель обозначений	493
Предметный указатель	495

Книги на ту же тему

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, Холл Д., Уатт Д., ред., 1979
Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982
Фундаментальные основы математического моделирования, Макаров И. М., ред., 1997
Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 4-е изд., испр., Камке Э., 1971
Обыкновенные дифференциальные уравнения, Федорюк М. В., 1980
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 5-е изд., доп., Петровский И. Г., 1964
Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
Качественная теория дифференциальных уравнений, Немыцкий В. В., Степанов В. В., 1947
Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
Обратные задачи динамики, Галиуллин А. С., 1981

elapsed time 0.020 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему