Вопросы, рассмотренные в книге, лежат на стыке теории марковских процессов и классической теории потенциала. Изящные результаты, полученные автором, проливают новый свет на целый ряд теорем, доказанных различными математиками. Введённое в этой книге понятие эксцессивной функции оказалось чрезвычайно плодотворным и заняло одно из центральных мест в самых актуальных областях современной теории марковских процессов.

Книга представляет собой значительный интерес для студентов и специалистов по теории вероятностей и по уравнениям в частных производных.

В течение последнего десятилетия теория марковских процессов переживает период бурного подъёма и интенсивного развития. Были обнаружены новые важные связи между марковскими процессами и классическим анализом. При этом оказалось возможным не только использовать средства анализа для изучения вероятностных процессов, как это делалось в 30-х и 40-х годах, но и применить вероятностные методы для решения ряда задач теории дифференциальных уравнений, теории потенциала и т. д.

Среди исследований, выполненных за эти годы, выдающееся место занимает работа Дж. А. Ханта, русский перевод которой предлагается читателю. Одной из самых красивых глав классического анализа является теория суб- и супергармонических функций. Тесно связанная с ней теория потенциала имеет многочисленные важные приложения в математике и за её пределами. Хант обнаружил, что большая часть этих теорий может быть изложена в общих вероятностных терминах, что значительно увеличивает возможности применений. Говоря более точно, Хант показал, что при некоторых слабых ограничениях с каждым марковским процессом можно связать класс функций, аналогичных по своим свойствам классическим неотрицательным супергармоническим функциям. Отправляясь от этих функций, он построил содержательную теорию, которая переходит в классическую теорию ньютоновского потенциала в случае, когда исходный процесс является броуновским движением.

Работа Ханта оказала значительное влияние на последующее развитие как теории марковских процессов, так и общей теории потенциала. Её перевод явится ценным пособием для всех интересующихся современным состоянием этих теорий.

Работа была опубликована в трёх частях в 1957—1958 гг. в журнале Illinois Journal of Mathematics. Изложение можно было бы усовершенствовать и упростить, если опереться на выработанную за последние годы общую концепцию обрывающегося марковского процесса. Хант не владел этим общим понятием, и поэтому ему приходилось строить отдельно «абсолютную» и «относительную» теории, причём последняя строится более громоздко и при более частных предположениях, чем это необходимо. Хант рассматривает марковский процесс как семейство зависящих от начального распределения случайных функций, заданных на одном и том же вероятностном пространстве. Как показало дальнейшее развитие теории марковских процессов, удобнее рассматривать одну случайную функцию и считать, что различным начальным распределениям соответствуют различные вероятностные меры в пространстве элементарных событий. Эта точка зрения принята в большинстве работ, выполненных за последние годы.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Е. Б. Дынкин

Книги на ту же тему

1. Кибернетическое моделирование. Некоторые приложения, Кемени Д. Д., Снелл Д. Л., 1972
2. Конечные цепи Маркова, Кемени Д. Д., Снелл Д. Л., 1970
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. — 2-е изд., доп., Володин Б. Г., Ганин М. П., Динер И. Я., Комаров Л. Б., Свешников А. А., Старобин К. Б., 1970
4. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике, Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг-Крон Р., Линдстрём Т., 1990
5. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами, Флеминг У., Ришел Р., 1978
6. Надёжность аппаратно-программных комплексов. Учебное пособие, Черкесов Г. Н., 2005
7. Стохастическая теория переноса частиц высоких энергий, Учайкин В. В., Рыжов В. В., 1988
8. Моделирование на ЭВМ в геологии, Харбух Д., Бонэм-Картер Г., 1974