Настоящая книга содержит изложение с единых позиций основных фактов теории линейного и выпуклого программирования и ориентирована на использование её в качестве учебного пособия для студентов математических специальностей самого широкого профиля. В качестве исходной основы анализа задач линейного и выпуклого программирования выступает аппарат теории систем линейных неравенств. Книга может быть использована в качестве пособия по дисциплинам, связанным с теорией оптимизации. Каждая глава заканчивается упражнениями, пояснения к которым приведены в конце книги.

В основу настоящей книги положены лекции, читавшиеся в течение ряда лет студентам математико-механического факультета Уральского государственного университета им. А. М. Горького.

Широкий интерес к математическому программированию (в частности, к линейному и выпуклому) объясняется, в основном, его большими прикладными возможностями. Однако многие аспекты его теории (например, принцип двойственности) имеют общематематический интерес. Данная книга посвящена именно таким аспектам.

Линейное программирование тесно связано, в частности в методологическом плане, с теорией линейных неравенств. Так, например, один из основных инструментов линейного программирования, а именно, принцип двойственности, выливается в совокупность более или менее очевидных следствий теоремы о зависимых неравенствах. Подход же к двойственности в выпуклом программировании естественным образом реализуется на основе принципа линеаризации.

Методологической направленности изложения материала, ставящего во главу угла системы линейных неравенств, мы обязаны С. Н. Черникову [С. Н. Черников, Линейные неравенства, М., Наука, 1968]. У него же нами взяты схемы доказательств ряда теорем, относящихся к линейным неравенствам.

Уровень трудности чтения глав I, II (линейное программирование) и III—V (выпуклое программирование) различен. Материал первых двух глав может служить естественным продолжением университетского курса линейной алгебры. Что касается глав III—V, то они могли бы лечь в основу специального курса.

Все сведения по линейной алгебре, необходимые при чтении данной книги, можно найти в книге А. И. Мальцева [А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, М., Наука, 1970].

Большинство фактов книги рассмотрены для случая произвольного линейного вещественного пространства. Что касается первых двух глав, то это обстоятельство не является существенным в силу возможности любую из рассматриваемых там ситуаций свести тривиальным образом к случаю конечномерного пространства. В отношении содержания последующих глав этого уже сказать нельзя.

Авторы без оговорок используют теоретико-множественные приёмы (в частности, теорему Цермело о возможности полного упорядочения произвольного множества).

Краткий обзор методов решения задач линейного и выпуклого программирования содержится в послесловии, кроме того, в упражнениях, которыми снабжены все главы, имеются задачи процедурного характера. К задачам в конце книги даны либо указания к решениям, либо приведены (там, где это необходимо) полные решения. Это позволило авторам делать ссылки в основном тексте на те или иные факты из упражнений. Отметим, что информация, содержащаяся в упражнениях, является существенным дополнением к основному материалу книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Компьютер и задачи выбора, Журавлёв Ю. И., сост., 1989
2. Геометрическое программирование, Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К., 1972
3. Оптимальные решения, Ланге О., 1967
4. Оптимальные решения в экономике, Канторович Л. В., Горстко А. Б., 1972
5. Элементы линейной алгебры и линейного программирования, Карпелевич Ф. И., Садовский Л. Е., 1963
6. Методы оптимизации. Применение математических методов в экономике. Пособие для учителей, Монахов В. М., Беляева Э. С., Краснер Н. Я., 1978
7. Математическое программирование: Методы решения производственных и транспортных задач, Рейнфельд Н., Фогель У., 1960
8. Линейное программирование: Пособие для экономистов, Габр Я., 1960
9. Экономико-математические методы. Вып. III: Экономико-математические модели народного хозяйства, 1966
10. Алгоритмы решения экстремальных задач, Романовский И. В., 1977
11. Введение в минимакс, Демьянов В. Ф., Малозёмов В. Н., 1972
12. Математические методы исследования операций, Саати Т. Л., 1963
13. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие, Орлова И. В., Половников В. А., 2007