В монографии с современной точки зрения рассматриваются задачи, связанные с получением точной оценки погрешности наилучшего приближения на классах функций и с оптимальным выбором аппроксимирующего аппарата. Подробно изложены разработанные в последние годы новые методы, позволившие получить окончательные результаты в ряде экстремальных задач теории аппроксимации.

Книга предназначена для студентов и аспирантов математических специальностей, она будет полезна научным работникам в области теоретической и прикладной математики.

Илл. 21

Теория приближения — одна из наиболее интенсивно развивающихся областей математики.

В последние десятилетия наблюдается проникновение идей и методов теории аппроксимации в самые различные разделы математической науки, особенно прикладных направлений. Одновременно с этим перестраивается и ставится на более широкую и прочную основу фундамент теории приближения, заложенный классическими работами Чебышева и Вейерштрасса, Джексона и Бернштейна о приближении многочленами индивидуальных функций и целых их классов.

Задачи аппроксимационного содержания, задаваемые на классах функций (или, более общо, на множествах произвольного банахова пространства), во многих случаях являются задачами на экстремум: требуется найти точную верхнюю грань погрешности приближения заданным методом на фиксированном классе функций или указать для этого класса наилучший аппарат приближения.

Такого рода задачи и рассматриваются в этой книге. Однако выбор материала определялся не только экстремальным характером задач. В основу книги положены исследования по экстремальным задачам теории наилучшего приближения функций действительного переменного, в которых получены окончательные результаты, т. е. решение доведено до точных констант, и где ни убавить, ни прибавить уже, в сущности, ничего нельзя.

Следует сказать, что наиболее существенные результаты окончательного характера получены на классах периодических функций, что, впрочем, нетрудно объяснить: классы периодических функций обладают определённой симметрией экстремальных свойств, в то время как на экстремальных свойствах функций, заданных на конечном отрезке, существенно сказывается возмущающее действие концов промежутка. Рассматривая экстремальные задачи на конкретных классах функций, мы в этой книге ограничиваемся периодическим случаем.

Подчеркнём, что основное содержание книги связано с задачами наилучшего приближения. Хотя мы и затрагиваем вопрос о наилучших линейных методах аппроксимации, широкий круг фактов и результатов, связанных с экстремальными задачами для линейных методов, остался вне рамок книги.

Мы предполагаем знакомство читателя с основными фактами теории функций действительного переменного (в частности, с основами теории меры и интеграла Лебега), а также с элементами функционального анализа, самыми общими понятиями которого мы оперируем на протяжении всей книги.

Конечно, при рассмотрении конкретных задач можно было бы обойтись без таких терминов, как линейное нормированное пространство, норма, компактность, оператор и т. д., но изложение от этого не стало бы проще и понятнее, не говоря уже о том, что оно, конечно, не стало бы короче.

Но дело не только в языке. Идеи и методы функционального анализа позволили вскрыть глубокие связи между различными по постановке задачами, получить утверждения глобального характера, объясняющие с единой точки зрения целую совокупность частных фактов. Пример тому — фундаментальные теоремы о двойственности экстремальных задач в линейных нормированных пространствах, которые служат в этой книге отправным пунктом при рассмотрении конкретцых случаев.

Автор, впрочем, далёк от мысли переоценивать роль методов функционального анализа при решении задач, поставленных в конкретных пространствах. Знание глубоких фактов функционального анализа позволяет взглянуть на проблему с самой общей точки зрения, значительно расширить круг возможных подходов к её решению, а иногда — сразу указать общую схему, в которую она укладывается. Однако там, где нужно получить точную количественную оценку экстремальных свойстр функций конкретного класса, свойств, лежащих, так сказать, на грани допустимого, там общие методы, именно в силу своей общности, обычно оказываются бессильными.

Попытки найти точный результат в той или иной конкретной экстремальной задаче, как правило, где-то в глубине упираются в некоторую совсем элементарно формулируемую задачу, связанную с получением простого на вид и интуитивно легко воспринимаемого, но далеко не просто доказываемого неравенства. И тут требуется тонкий анализ, умение найти новый, нестандартный подход к исследованию глубоко лежащих свойств функций рассматриваемого класса. Мы стараемся акцентировать внимание читателя на этих узловых моментах, приводя подробные доказательства связанных с ними результатов. Во многих из этих доказательств важную роль играют геометрические соображения (особенно в главах 5, 6, 7, 10) и суть дела становится прозрачной, если сделать соответствующий чертёж.

Вопрос о том, какие вспомогательные факты доказывать, а где можно ограничиться ссылкой, автор пытается решить, приняв следующий принцип: ссылки делать только на то, что исчерпывающе доказано в университетских учебниках по теории функций и функциональному анализу. Правда, в одном месте мы вынуждены отступить от этого, на наш взгляд, разумного правила; в последней главе некоторые результаты по оценке поперечников базируются на глубокой (хотя интуитивно и легко воспринимаемой) теореме Борсука, строгое доказательство которой можно найти лишь в специальной литературе.

Вспомогательный материал по теории функций и функциональному анализу, который в нужном нам объёме не содержится в учебниках, включён в виде отдельных параграфов в те главы, где он нужен. Некоторые факты общего характера вынесены в дополнение.

Основной материал прочитан автором в виде спецкурсов в Днепропетровском государственном университете…

ПРЕДИСЛОВИЕ
Н. Корнейчук

Книги на ту же тему

1. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, Варга Р., 1974
2. Некоторые вопросы теории приближений, Тихомиров В. М., 1976
3. Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
4. Функциональный анализ. — 2-е изд., перераб. и доп., Крейн С. Г., ред., 1972
5. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963