| Предисловие | 12 |
| |
 Часть I |
| Основы теории вейвлетов |
| |
Глава 1
Преобразование Фурье | 17 |
| |
| 1.1. Предварительные понятия | 18 |
| 1.2. Ряды Фурье | 19 |
| 1.3. Преобразование Фурье | 23 |
| 1.3.1. Преобразование Фурье в L1(R) | 24 |
| 1.3.2. Преобразование Фурье в L2(R) | 25 |
| 1.3.3. Свойства преобразования Фурье | 26 |
| 1.3.4. Примеры | 28 |
| 1.3.5. Теорема Пэли-Винера | 29 |
| 1.3.6. Преобразование Фурье экспоненциально убывающей функции | 30 |
| 1.3.7. Формула суммирования Пуассона | 30 |
| 1.3.8. Оконное преобразование Фурье | 31 |
| 1.3.9. Преобразование Фурье обобщённых функций | 32 |
| 1.3.10. Примеры | 35 |
| 1.4. Преобразование Фурье дискретных сигналов | 35 |
| 1.4.1. Дискретизация | 35 |
| 1.4.2. Дискретное преобразование Фурье длины N | 38 |
| 1.4.3. Преобразование Фурье числовой последовательности | 40 |
| 1.4.4. Z-преобразование | 42 |
| 1.4.5. Примеры | 43 |
| 1.5. Фильтры | 45 |
| 1.5.1. Фильтрация непрерывных сигналов | 46 |
| 1.5.2. Примеры фильтров | 48 |
| 1.5.3. Цифровые фильтры | 50 |
| 1.5.4. Примеры цифровых фильтров | 51 |
1.6. Разложение сигнала на низкочастотную и высокочастотную
составляющие | 54 |
| 1.6.1. Разложение идеальными фильтрами | 55 |
| 1.6.2. Восстановление идеальными фильтрами | 59 |
| 1.6.3. Общий случай | 60 |
| 1.6.4. Примеры | 64 |
| 1.6.5. Многоуровневый анализ сигналов | 68 |
| |
Глава 2
Основы теории вейвлетов | 71 |
| |
| 2.1. Вейвлеты Хаара | 72 |
| 2.1.1. Масштабирующая последовательность подпространств | 73 |
| 2.1.2. Пространства вейвлетов | 75 |
| 2.1.3. Операторы проектирования | 79 |
| 2.2. Масштабирующие функции | 82 |
| 2.2.1. Примеры и общие свойства масштабирующих функций | 82 |
| 2.2.2. Построение масштабирующей функции | 86 |
| 2.3. Ортогональный кратномасштабный анализ | 92 |
| 2.3.1. Ортогональное кратномасштабное разложение | 92 |
| 2.3.2. Вейвлеты | 96 |
| 2.3.3. О единственности порождающих функций | 101 |
| 2.3.4. Неортогональный случай | 102 |
| 2.4. Примеры кратномасштабного анализа и вейвлетов | 106 |
| 2.4.1. Вейвлеты Шеннона-Котельникова | 106 |
| 2.4.2. Вейвлеты Мейера | 109 |
| 2.5. Вейвлеты Батла-Лемарье. B-сплайны | 115 |
| 2.5.1. Вейвлеты на основе B-сплайна степени 1 | 115 |
| 2.5.2. B-сплайны | 119 |
| 2.5.3. Сплайновые вейвлеты | 122 |
| 2.6. Вейвлет-преобразование | 125 |
| 2.6.1. Вейвлет-разложение | 125 |
| 2.6.2. Быстрое вейвлет-преобразование | 128 |
| 2.6.3. Вопрос о начальных коэффициентах | 129 |
| 2.6.4. Восстановление | 130 |
| 2.6.5. Вейвлет-пакеты | 132 |
| 2.7. Регулярность и нулевые моменты | 136 |
| 2.8. Построение вейвлетов Добеши с компактным носителем | 142 |
| 2.8.1. Частотная функция | 143 |
| 2.8.2. Симлеты | 149 |
| 2.9. Койфлеты | 151 |
| 2.10. Биортогональные вейвлеты | 154 |
| 2.10.1. Мотивировка и определение | 154 |
| 2.10.2. Условия на функцию φ(x) | 156 |
| 2.10.3. Функция ψ(x) | 157 |
| 2.10.4. Построение функции ͠φ(x) | 158 |
| 2.10.5. Построение функций ψ(x) и ͠ψ(x) | 160 |
| 2.10.6. Условия на коэффициенты | 161 |
| 2.10.7. Симметричные биортогональные вейвлеты | 162 |
| 2.10.8. Сплайны | 163 |
| 2.11. Двумерные вейвлеты | 166 |
| 2.12. Непрерывное вейвлет-преобразование | 170 |
| 2.12.1. Непрерывное вейвлет-преобразование в одномерном случае | 170 |
| 2.12.2. Многомерные обобщения непрерывного вейвлет-преобразования | 173 |
| 2.12.3. Примеры двумерных вейвлетов | 180 |
| 2.12.4. Вейвлеты на многообразиях | 181 |
| 2.13. Вейвлеты с коэффициентом масштабирования N | 191 |
| 2.13.1 Масштабирующие функции | 192 |
| 2.13.2. N-кратномасштабное разложение | 194 |
| 2.13.3. Вейвлеты с коэффициентом масштабирования N | 195 |
| 2.13.4. Вейвлет-преобразование | 196 |
| 2.13.5. Разложение и восстановление в неортогональном случае | 198 |
| 2.14. Примеры N-масштабирующих функций и вейвлетов | 201 |
| 2.14.1. Вейвлеты Хаара с параметром сжатия N | 201 |
| 2.14.2. Вейвлеты Котельникова-Шеннона с параметром сжатия N | 205 |
| 2.14.3. Вырожденные масштабирующие функции и вейвлеты Кантора | 207 |
| 2.14.4. Сплайновые масштабирующие функции | 212 |
| 2.14.5. Вейвлеты на основе B-сплайнов | 215 |
| 2.14.6. Кратные коэффициенты масштабирования | 226 |
2.15. Построение ортогональных вейвлетов с компактным
носителем для N > 2 | 230 |
| 2.15.1. Общие конструкции | 231 |
| 2.14.2. Построение ортогональных вейвлетов с компактным |
| носителем для N=3 | 234 |
| 2.15.3. Примеры масштабирующих функций и вейвлетов для N=3 | 237 |
| |
| Часть II |
| Вейвлеты в MATLAB |
| |
Глава 3
Функции вейвлет-анализа в MATLAB | 245 |
| |
| 3.1. Вейвлеты в системе MATLAB | 246 |
| 3.2. Фильтры вейвлетов | 256 |
| 3.2.1. Масштабирующие фильтры | 257 |
| 3.2.2. Фильтры разложения и восстановления | 259 |
| 3.3. Одноуровневое дискретное одномерное вейвлет-преобразование | 261 |
| 3.4. Многоуровневый одномерный вейвлет-анализ | 265 |
| 3.5. Непрерывное вейвлет-преобразование cwt | 272 |
| 3.6. Вейвлет-пакеты | 276 |
| 3.7. Двумерное вейвлет-преобразование | 286 |
| 3.7.1. Изображения в MATLAB | 286 |
| 3.7.2. Вейвлет-преобразования двумерных сигналов | 288 |
| 3.7.3.Основные функции двумерного вейвлет-преобразования | 289 |
| 3.8. Удаление шума, компрессия | 295 |
| 3.8.1. Обработка вейвлет-коэффициентов для удаления шума | 295 |
| 3.8.2. Функции MATLAB для удаления шума | 296 |
| 3.9. Тестовые сигналы в MATLAB | 305 |
| 3.9.1. Одномерные тестовые сигналы | 305 |
| 3.9.2. Изображения | 306 |
| 3.9.3. Генерирование сигналов | 306 |
| 3.10. Новые возможности Wavelet Toolbox версии 4.0 | 309 |
| 3.10.1. Создание вейвлетов для непрерывного |
| вейвлет-преобразования на основе образца | 310 |
| 3.10.2. Слияние (наложение) изображений | 312 |
| 3.10.3. Дробное броуновское движение | 316 |
| 3.10.4. Методы лифтинга построения новых вейвлетов | 319 |
| 3.10.5. Анализ многомерных сигналов | 321 |
| 3.11. Вейвлет-анализ кардиосигнала | 331 |
| 3.11.1. Многоуровневый анализ кардиосигнала | 332 |
| 3.11.2. Непрерывный вейвлет-анализ кардиосигнала | 338 |
| 3.11.3. Удаление шума, компрессия и сглаживание кардиосигнала | 343 |
| 3.11.4. Использование пакетных разложений | 345 |
| 3.12. Многоканальный вейвлет-анализ экономических данных | 347 |
| 3.12.1. Многоуровневый анализ данных | 347 |
| 3.12.2. Программы вейвлет-разложения и восстановления | 365 |
| |
Глава 4
Главное меню пакета Wavelet Toolbox | 367 |
| |
| 4.1. Просмотр вейвлетов (Wavelet Display) | 369 |
| 4.2. Одномерный дискретный вейвлет-анализ (Wavelet 1-D) | 371 |
| 4.2.1. Вейвлет-разложение | 371 |
| 4.2.2. Выбор различных видов разложения (Display mode) | 372 |
| 4.2.3. Статистические характеристики коэффициентов разложения | 374 |
| 4.2.4. Гистограммы (Histogram) | 376 |
| 4.2.5. Сжатие сигнала | 377 |
| 4.2.6. Удаление шума | 378 |
| 4.3. Одномерный пакетный вейвлет-анализ | 380 |
| 4.3.1. Вейвлет-разложение | 381 |
| 4.3.2. Возможности раздела для обработки сигнала | 381 |
| 4.4. Одномерный непрерывный вейвлет-анализ (Continuous Wavelet 1-D) | 384 |
| 4.4.1. Начало работы | 384 |
| 4.4.2. Анализ результатов | 386 |
4.5. Комплексный одномерный непрерывный вейвлет-анализ (Complex
Continuous Wavelet 1-D) | 387 |
4.6. Удаление шума стационарного одномерного сигнала
(SWT De-noising 1-D) | 390 |
| 4.6.1. Основные понятия | 390 |
| 4.6.2. Работа с SWT De-noising 1-D | 392 |
| 4.7. Оценка плотности (Density Estimation 1-D) | 396 |
| 4.7.1. Идея алгоритма | 396 |
| 4.7.2. Работа с Density Estimation 1-D | 398 |
| 4.8. Оценка регрессии (Regression Estimation 1-D) | 400 |
| 4.8.1. Основные понятия | 400 |
| 4.8.2. Работа с Regression Estimation 1-D | 401 |
4.9. Выбор вейвлет-коэффициентов сигнала (Wavelet Coefficients
Selection 1 -D) | 402 |
| 4.10. Двумерный дискретный вейвлет-анализ (Wavelet 2-D) | 405 |
| 4.11. Двумерный пакетный вейвлет-анализ | 408 |
| 4.12. Удаление шума изображения (SWT De-noising 2-D) | 410 |
4.13. Выбор вейвлет-коэффициентов изображения (Wavelet Coefficients
Selection 2-D) | 411 |
4.14. Проектирование вейвлетов для непрерывного
вейвлет-преобразования (New Wavelet for CWT) | 413 |
4.15. Дробное броуновское движение (Fractional Brownian
Generation 1-D) | 415 |
| 4.16. Слияние двух изображений (Image Fusion) | 416 |
4.17. Одномерный вейвлет-анализ мультисигнала (Multisignal
Analysis 1-D) | 419 |
| 4.18. Многовариантное удаление шума (Multivariate Denoising) | 426 |
4.19. Многомасштабный анализ главных компонент (Multiscale Principal
Components Analysis) | 431 |
4.20. Способы продолжения сигналов и изображений (Signal extension,
Image extension) | 435 |
| |
Приложение
Список функций Wavelet Toolbox | 439 |
| |
| Предметный указатель | 443 |
| |
| Список литературы | 446 |
