В книге даётся изложение основ теории, базирующееся на общие курсы высшей математики и теоретической механики втузов. Основное внимание уделено наиболее эффективным методам исследования — прямому методу Ляпунова и исследованию устойчивости движения по уравнениям первого приближения. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости по структуре действующих сил, устойчивости неавтономных систем, в том числе систем с периодическими коэффициентами, и устойчивости систем регулирования.

Рис. 71, библ. ссылок 56.

Предлагаемая читателю книга входит в серию пособий, выходящих в издательстве «Наука» в качестве дополнения к курсу теоретической механики Н. В. Бутенина, Я. Л. Лунца и Д. Р. Меркина. Издание этих пособий связано с тем, что учащиеся некоторых втузов нуждаются в более подробном ознакомлении с рядом важнейших проблем, чем это удалось сделать в основном курсе. Книги, входящие в предлагаемую серию, посвящены именно таким проблемам: аналитической механике, теории устойчивости движения, теории механических колебаний, теории гироскопов; в будущем этот перечень предполагается продолжить.

В Советском Союзе издано много книг по устойчивости движения. Не говоря уже об основополагающей, выдержавшей несколько изданий докторской диссертации А. М. Ляпунова, мы имеем превосходные книги Н. Г. Четаева, И. Г. Малкина, Н. Н. Красовского, Е. А. Барбашина, Б. П. Демидовича, Г. Н. Дубошина, переведённые с английского языка книги Р. Беллмана, Ж. Ла-Салля и С. Лефшеца и др., в которых теория устойчивости движения излагается с различных точек зрения и с различной полнотой. Некоторые из этих книг являются не учебными пособиями, а научными монографиями. Книги же, построенные как учебные руководства, рассчитаны на студентов математико-механических факультетов университетов, имеющих специальную математическую подготовку. Для лиц, знающих математику в объёме высшего технического учебного заведения, эти книги мало доступны.

Настоящая книга рассчитана в основном на студентов втузов. В связи с этим в книге используется математический аппарат, не выходящий за рамки курса математики, читаемого почти во всех высших технических учебных заведениях. Небольшие дополнительные сведения из курса математики, необходимые при изложении теории устойчивости движения, приводятся в книге.

С целью упрощения изложения в начале рассматриваются автономные системы и только в седьмой, предпоследней главе изучается устойчивость движения неавтономных систем. С этой же целью доказательство некоторых теорем приведено в упрощающих предположениях. Во всех этих случаях оговаривается, в чём состоит упрощение и где можно найти доказательство, свободное от сделанных ограничений.

Основное внимание в книге уделено наиболее эффективным методам исследования устойчивости движения — прямому методу Ляпунова и исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости движения по структуре действующих сил, устойчивости движения неавтономных систем, в том числе систем, возмущённое движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. В последней, восьмой главе излагается применение прямого метода Ляпунова к исследованию устойчивости систем автоматического регулирования.

Учитывая, что лица, впервые изучающие теорию устойчивости движения, испытывают обычно затруднения в применении её к решению практических задач, в книге большое внимание уделено подбору и решению примеров, взятых из различных областей науки и техники.

Автор надеется, что книга будет полезна не только студентам втузов, но и аспирантам, инженерам и научным работникам, которым приходится использовать теорию устойчивости движения в своей работе…

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предисловие	7
Введение	9

Г л а в а I. Постановка задачи	13

§ 1.1. Основные определения	13
§ 1.2. Уравнения возмущённого движения	18
§ 1.3. Примеры на составление уравнений возмущённого движения	23
1. Дифференциальные уравнения возмущённого движения конического
маятника (23) 2. Дифференциальные уравнения возмущённого
движения центра масс искусственного спутника Земли (25).

Г л а в а II. Прямой метод Ляпунова (автономные системы)	29

§ 2.1. Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра	29
§ 2.2. Теорема Ляпунова об устойчивости движения	38
§ 2.3. Теоремы об асимптотической устойчивости	40
§ 2.4. Теоремы Четаева и Ляпунова о неустойчивости движения	45
§ 2.5. Построение функции Ляпунова с помощью связки интегралов	48
§ 2.6. Примеры на применение теоремы Ляпунова об устойчивости
движения	50
1. Устойчивость движения конического маятника (50).
2. Устойчивость стационарного движения центра масс
искусственного спутника Земли (53). 3. Достаточное условие
устойчивости волчка (условие устойчивости вращательного движения
снаряда) (56).
§ 2.7. Примеры на применение теорем об асимптотической устойчивости
и неустойчивости движения	61
1. Асимптотическая устойчивость вращательного движения твёрдого
тела, находящегося в сопротивляющейся среде (61). 2. Устойчивость
установившихся режимов вольтовой дуги в цепи с сопротивлением
и самоиндукцией (63). 3. Условие устойчивости лампового
генератора (67). 4. Устойчивость равновесия системы с одной
степенью свободы, находящейся под действием потенциальной
нелинейной силы и силы сопротивления, пропорциональной первой
степени скорости (71).

Г л а в а III. Устойчивость равновесия и стационарных движений
консервативных систем	75

§ 3.1. Теорема Лагранжа	75
§ 3.2. Обратимость теоремы Лагранжа	80
§ 3.3. Циклические координаты. Преобразование Рауса	81
§ 3.4. Стационарное движение и условия его устойчивости	85
§ 3.5. Примеры	88
1. Устойчивость стационарного движения конического маятника
(88). 2. Устойчивость стационарных движений искусственного
спутника Земли (90). 3. Устойчивость регулярной прецессии
тяжёлого гироскопа (92).

Г л а в а IV. Устойчивость по первому приближению	96

§ 4.1. Постановка задачи	96
§ 4.2. Предварительные замечания	97
§ 4.3. Основные теоремы об устойчивости по первому приближению	100
§ 4.4. Критерий Гурвица	106
§ 4.5. Примеры	110
1. Условия устойчивости установившихся режимов вольтовой дуги
в цепи с сопротивлением, самоиндукцией и зашунтированной
ёмкостью (110). 2. Условие устойчивости лампового генератора
(113). 3. Условие устойчивости установившегося режима двигателя
с центробежным регулятором (114). 4. Необходимое условие
устойчивости волчка (вращательного движения снаряда) (120).
§ 4.6. Метод D-разбиений	122
§ 4.7. Критерий Михайлова	128

Г л а в а V. Устойчивость линейных автономных систем	130

§ 5.1. Введение	130
§ 5.2. Матрицы и основные действия с ними	130
§ 5.3. Элементарные делители	140
§ 5.4. Устойчивость линейных автономных систем	150

Г л а в а VI. Влияние структуры сил на устойчивость движения	159

§ 6.1. Классификация сил по их математической структуре	159
§ 6.2. Коэффициенты устойчивости	165
§ 6.3. Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость
движения потенциальной системы	168
§ 6.4. Примеры на применение теорем Томсона и Тета	176
1. Устойчивость волчка (176). 2. Устойчивость системы
инерциальной навигации (177). 3. Гироскопический однорельсовый
вагон (182).
§ 6.5. Устойчивость движения под действием одних гироскопических
и диссипативных сил. Примеры	184
1. Исследование устойчивости движения электрона в постоянном
магнитном поле (190). 2. Устойчивость биологических популяций
(191).
§ 6.6. Влияние на устойчивость движения неконсервативных сил	195
§ 6.7. Примеры исследования устойчивости движения систем
с неконсервативными силами	209
1. Неустойчивость вращающегося вала, вызванная действием
внешнего трения (210). 2. Неустойчивость вращающегося вала,
вызванная действием внутреннего трения ( 215 ). 3. Гировертикаль
с радиальной коррекцией (217).

Г л а в а VII. Устойчивость неавтономных систем	220

§ 7.1. Функции Ляпунова для неавтономных систем. Обобщённый критерий
Сильвестра	220
§ 7.2. Основные теоремы прямого метода для неавтономных систем	225
§ 7.3. Примеры построения функции Ляпунова для неавтономных систем	229
1. Устойчивость движения гирогоризонткомпаса (229).
2. Математический пример ( 231).
§ 7.4. Достаточные условия асимптотической устойчивости системы,
жёсткость и демпфирование которой нелинейны и зависят явно
от времени	232
§ 7.5. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами	239
§ 7.6. Устойчивость решений уравнений Хилла и Матье	247
§ 7.7. Примеры исследования устойчивости систем с параметрическим
возбуждением	263
1. Влияние вибрации точки подвеса на устойчивость равновесия
маятника (263). 2. Потеря устойчивости вращающегося вала
с различными главными моментами инерции (266).

Г л а в а VIII. Применение прямого метода Ляпунова к исследованию
устойчивости систем автоматического регулирования	269

§ 8.1. Введение	269
§ 8.2. Дифференциальные уравнения возмущённого движения систем
автоматического регулирования	270
§ 8.3. Преобразование уравнений возмущённого движения системы
регулирования к канонической форме	275
§ 8.4. Построение функции Ляпунова	279
§ 8.5. Определение условий абсолютной устойчивости	287
§ 8.6. Примеры	291
1. Исследование устойчивости самолёта с курсовым автопилотом
(291). 2. Непрямое регулирование двигателя с жёсткой обратной
связью (298). 3. Математический пример (303).

Литература	307
Предметный указатель	310

Книги на ту же тему

Функции Ляпунова, Барбашин Е. А., 1970
Лекции по математической теории устойчивости, Демидович Б. П., 1967
Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
Введение в теорию устойчивости, Барбашин Е. А., 1967
Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — 2-е изд., перераб. и доп., Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э., 1968
Исследование устойчивости сложных механических систем, Ишлинский А. Ю., Стороженко В. А., Темченко М. Е., 2002
Введение в теорию нелинейных колебаний: Учебное пособие для втузов. — 2-е изд., испр., Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., 1987
Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем: Учебное пособие для втузов, Гуляев В. И., Баженов В. А., Попов С. Л., 1989
Теория гироскопов, Николаи Е. Л., 1948

elapsed time 0.020 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему