Изложен курс лекций по методу функций Ляпунова, прочитанный в Белорусском ордена Трудового Красного Знамени университете им. В. И. Ленина. Основное внимание уделено методам построения функций Ляпунова для нелинейных систем. Приводятся методы оценки области притяжения, оценки решений, времени регулирования, интегральных критериев качества регулирования. Излагаются достаточные критерии асимптотической устойчивости в целом, критерии абсолютной устойчивости. Приведено большое количество функций Ляпунова для нелинейных систем второго и третьего порядков. Рассмотрен случай, когда нелинейности зависят от двух координат точек фазового пространства. Исследуется также проблема построения векторных функций Ляпунова для сложных систем.

Для понимания материала необходимо знать курс математики в объёме втузовской программы.

Книга может быть рекомендована всем интересующимся конкретными приложениями теории устойчивости.

Библ. назв. 190

Метод функций Ляпунова является одним из наиболее эффективных методов исследования систем автоматического управления.

Значение этого метода далеко не исчерпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова для конкретной нелинейной системы автоматического управления позволяет решить целый комплекс задач, имеющих важное прикладное значение. К таким задачам относятся: оценки изменения регулируемой величины, оценка времени протекания переходного процесса (времени регулирования), оценка интегральных критериев качества регулирования и т. д.

С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т. е. многообразие всех начальных возмущений, исчезающих во времени, получить оценку влияния постоянно действующих возмущений. Знание функции Ляпунова позволяет решать задачи устойчивости в «большом», т. е. оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной заранее области. С помощью функций Ляпунова можно решать также проблему существования или отсутствия периодических решений. Функции Ляпунова широко используются и в теории оптимального управления.

Проблема обращения теорем об устойчивости А. М. Ляпунова была одной из самых трудных и интересных проблем рассматриваемой теории. Однако методы построения функций Ляпунова, разработанные для получения необходимых условий устойчивости и неустойчивости, хотя и позволили установить факт существования таких функций, но не были настолько эффективными, чтобы ими можно было воспользоваться при исследовании конкретных систем.

Следует заметить, что способ построения функций Ляпунова для линейных автономных систем был указан ещё самим А. М. Ляпуновым. При наличии свойства асимптотической устойчивости у системы линейного приближения легко строится функция Ляпунова в достаточно малой окрестности положения равновесия соответствующей нелинейной системы.

Проблему построения функций Ляпунова в заданной области фазового пространства нелинейной системы нельзя считать в настоящее время полностью решённой. Имеется лишь некоторый набор приёмов, дающих в ряде случаев положительный результат. Описанию этих приёмов и посвящена предлагаемая вниманию читателя книга.

В самом начале работы над книгой автор предполагал создать справочник, в котором были бы перечислены все наиболее интересные функции Ляпунова. В процессе работы пришлось отказаться от этого замысла, так как обилие примеров грозило затопить ведущие идеи описываемых методов.

Почти все приводимые в книге функции Ляпунова привлекаются для формулировки достаточных условий асимптотической устойчивости при любых начальных возмущениях (устойчивости в целом). Однако главная цель монографии состоит не в формулировке таких условий, а в том, чтобы продемонстрировать на конкретных примерах существующие в настоящее время приёмы построения функций Ляпунова…

ПРЕДИСЛОВИЕ

П р е д и с л о в и е	6

Г л а в а I. Введение	9

§ 1. Определение устойчивости. Вывод уравнений возмущённого движения	9
§ 2. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости	12
§ 3. Теоремы об асимптотической устойчивости в целом	18
§ 4. Теоремы о неустойчивости	23
§ 5. Неавтономные системы	25

Г л а в а II. Линейные системы	27

§ 1. Существование функций Ляпунова в виде квадратичных форм для
линейных систем	27
§ 2. Оценки решений линейных систем. Вычисление интегральных
критериев качества регулирования	34
§ 3. Построение функций Ляпунова для линейных систем	37
§ 4. Функции Ляпунова для линейных итерацонных систем	42
§ 5. Функционалы Ляпунова для интегро-дифференциальных уравнений	44

Г л а в а III. Нелинейные системы	48

§ 1. Теоремы об устойчивости по первому приближению. Оценка области
притяжения	48
§ 2. Оценка решений нелинейных систем с помощью функций Ляпунова.
Оценки интегральных критериев качества регулирования	55
§ 3. О некоторых свойствах функций Ляпунова	56
§ 4. Общий обзор методов построения функций Ляпунова для нелинейных
систем	64
§ 5. Векторные функции Ляпунова. Устойчивость сложных систем	84
§ 6. Устойчивость сложных систем в случае, когда подсистемы связаны
нелинейно	89

Г л а в а IV. Абсолютная устойчивость	93

§ 1. Постановка задачи	93
§ 2. Система непрямого управления	95
§ 3. Исследование системы прямого управления. Основной случай	99
§ 4. Системы прямого управления. Критические случаи	105
§ 5. Случай многих исполнительных органов	109
§ 6. Пример применения к задаче абсолютной устойчивости векторной
функции Ляпунова	111

Г л а в а V. Построение функций Ляпунова для некоторых
нелинейных уравнений	113

§ 1. Теоремы об устойчивости в целом нулевого решения одного
нелинейного уравнения третьего порядка	11З
§ 2. Примеры построения функций Ляпунова для некоторых нелинейных
уравнений третьего порядка	127
§ 3. Функции Ляпунова для нелинейных уравнений четвёртого порядка	132

Г л а в а VI. Функции Ляпунова для нелинейных систем
третьего порядка	138

§ 1. Одна общая теорема	138
§ 2. Система со «своей» нелинейностью	141
§ 3. Исследование системы с тремя нелинейностями	143
§ 4. Некоторые преобразования и классификация обобщённых условий
Рауза-Гурвица во втором случае	148
§ 5. Исследование случаев 4, 5 и 7	152
§ 6. Исследование случаев 2, 3 и 6	160
§ 7. Некоторые достаточные условия устойчивости в целом	162
§ 8. Устойчивость в целом в случаях 9, 10 и 20	164
§ 9. Исследование случаев 8, 11—14, 16, 18, 21 и 22	170
§ 10. Устойчивость при более сильных ограничениях на нелинейность	179
§ 11. Необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости	182
§ 12. Устойчивость в целом системы с «чужой» нелинейностью	183
§ 13. Устойчивость в целом одной системы с двумя нелинейностями	204

Г л а в а VII. Устойчивость нулевого решения систем третьего порядка с
нелинейностью, зависящей от двух переменных	209

§ 1. Предварительные преобразования изучаемой системы	209
§ 2. Устойчивость в одном частном случае	213
§ 3. Устойчивость в целом при отрицательных значениях параметров
a и b	215
§ 4. Случай, когда параметры a и b имеют разные знаки	221

Л и т е р а т у р а	231

Книги на ту же тему

Введение в теорию устойчивости движения, Меркин Д. Р., 1971
Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
Теория колебаний, Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., 1981
Введение в теорию нелинейных колебаний: Учебное пособие для втузов. — 2-е изд., испр., Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., 1987
Качественная теория дифференциальных уравнений, Немыцкий В. В., Степанов В. В., 1947
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
Асимптотические методы нелинейной механики, Моисеев Н. Н., 1969
Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
Методы анализа нелинейных математических моделей, Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М., 1991
Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
Обратные задачи динамики, Галиуллин А. С., 1981
Нелинейная динамика поверхностных вод суши, Найденов В. И., 2004
Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории, Занг В.-Б., 1999
Робастная устойчивость и управление, Поляк Б.Т., Щербаков П. С., 2002
Основы теории автоматического регулирования и автоматические регуляторы технологических процессов, Ордынцев В. М., Шендлер Ю. И., 1960
Системы автоматического управления двигателями летательных аппаратов, Боднер В. А., Рязанов Ю. А., Шаймарданов Ф. А., 1973

elapsed time 0.021 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему