В монографии рассмотрены приближённые методы решения нелинейных краевых задач с неизвестной (свободной) границей. Классическим примером задач этого типа является проблема Стефана в теории теплопроводности. Приведены примеры задач со свободной границей в теплофизике, гидродинамике, теории упругости, физике плазмы. Рассмотрены основные вычислительные методы решения стационарных задач для эллиптических уравнений второго и четвёртого порядка: методы последовательного уточнения неизвестной границы, преобразование областей, методы штрафа. Отдельно выделен класс обратных задач со свободной границей. Приведены примеры численного решения прикладных задач, иллюстрирующие возможности развиваемых методов.

Для специалистов по вычислительной математике и математическому моделированию, аспирантов и студентов старших курсов.

Библиогр. 255 назв. Ил. 44.

Современный уровень развития прикладной математики определяется исследованиями нелинейных задач для многомерных дифференциальных и интегральных уравнений. Новый практически важный класс нелинейных задач математической физики связан с так называемыми задачами со свободной границей. В этом случае граница области, в которой ищется решение (или её часть), неизвестна и определяется в процессе самого решения. Классическим примером задач такого типа является задача Стефана — задача с фазовыми переходами в теории теплопроводности, имеющая почти столетнюю историю. В этом случае граница раздела фаз твёрдое тело — жидкость определяется заданной температурой плавления. Заметим также, что задача Стефана характеризуется разрывом теплового потока на неизвестной границе (выделяется скрытая теплота плавления).

Другой широко известный пример задачи со свободной границей — течение жидкости в канале с неровным дном и неизвестной границей раздела жидкость — атмосфера. Подчеркнём следующее обстоятельство, присущее большинству задач со свободной границей: мы имеем дело с нелинейными задачами, так как неизвестная граница определяется по неизвестному же решению и, наоборот, решение ищется в неизвестной заранее области. В ряде случаев можно выделить и линейные задачи (гл. VI), но не они определяют существо задач со свободной границей.

Задачи со свободной границей привлекают в настоящее время всё большее внимание математиков — как специалистов по уравнениям с частными производными, так и специалистов по вычислительной математике. О возрастающем интересе к данной проблематике говорит и проведение ряда конференций, специально посвящённых задачам со свободными границами за рубежом и у нас в стране. На этих форумах большое внимание уделяется развитию вычислительных методов решения задач со свободной границей.

Значительный прогресс в изучении задач со свободными границами связан с развитием теории вариационных неравенств. Многие задачи со свободной границей для эллиптических и параболических уравнений удаётся сформулировать в виде вариационного неравенства, вариационной задачи с ограничениями. Это позволяет с общих позиций исследовать вопросы существования и единственности решений этих задач, а также строить эффективные вычислительные алгоритмы.

Многие задачи со свободной границей не допускают вариационной формулировки. В частности, задачу о движении идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью не удаётся сформулировать в виде вариационного неравенства. Для этих задач вопросы разрешимости чаще всего рассматриваются на основе методов теории функций комплексного переменного. Другой класс методов связан с применением классических методов возмущений, разложений по малым параметрам. Отдельно отметим класс методов с преобразованием исходной задачи, используя, например, новые переменные. Соответствующие ссылки на литературные источники приводятся по мере изложения основного материала.

Как и при решении других нелинейных задач, для приближённого решения задач со свободной границей применяются различные методы. Сюда относятся прежде всего конечно-разностные и вариационно-разностные методы. Метод граничных интегральных уравнений и его вычислительная реализация, известная под названием метода граничных элементов, в силу специфики задач со свободной границей применяется значительно реже.

Вариационные неравенства для эллиптических уравнений сводятся к минимизации того или иного функционала на множестве функций с ограничениями. Численные методы решения задач условной минимизации хорошо развиты, а их описание содержится во многих руководствах по математическому программированию и методам оптимизации.

Второй класс численных методов решения задач со свободной границей связан с преобразованием задачи. Вводятся новые переменные, с помощью которых неизвестная область отображается в известную. Классический пример такого преобразования — преобразование годографа в гидродинамике. В методах указанного класса основной упор делается на отыскании такой замены переменных и на численное решение полученной нелинейной задачи.

Данная работа посвящена описанию основных вычислительных методов при решении задач со свободной границей для эллиптических уравнений второго и четвёртого порядка. На их основе могут быть рассмотрены аналогичные задачи для параболических уравнений. Основное внимание уделяется двумерным задачам. Одномерные примеры используются для пояснения используемых подходов. Решение конкретных задач со свободной границей иллюстрирует возможности рассматриваемых вычислительных методов.

В работе последовательно применяются конечно-разностные методы на регулярных сетках. Использование нерегулярных сеток, а равно и метода конечных элементов в задачах с неизвестной границей наиболее эффективно при условии, что расчётная сетка или конечные элементы адаптируются (подстраиваются) под свободную границу. Такой класс численных методов в настоящее время плодотворно развивается, и, надо думать, возможности таких методов далеко не исчерпаны.

Коротко остановимся на содержании работы. В главе I, носящей обзорный характер, приведены постановки наиболее характерных задач со свободными границами, взятыми из различных областей физики: теплопередачи, гидродинамики, теории упругости, физики плазмы и др. Даётся условная классификация задач со свободными границами для эллиптических уравнений. Приведенная классификация задач никак не претендует на полноту, а лишь отражает особенности той или иной задачи со свободной границей.

Глава II посвящена описанию простейшего класса приближённых методов последовательного уточнения неизвестной границы для двухфазных задач. Такие методы достаточно «прозрачны» и легко реализуемы. Рассмотрены вопросы аппроксимации неоднородных условий сопряжений в двумерных задачах, описаны основные варианты методов сквозного счёта.

В главе III рассмотрено преобразование переменных в задачах со свободной границей. При изложении этих вопросов автор следовал работам по расчётам МГД-равновесия плазмы в тороидальных системах, выполненных совместно с сотрудниками ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР.

В главе IV рассматривается применение методов штрафа для численного решения задач со свободной границей. Вычислительный алгоритм строится на основе решения соответствующего нелинейного уравнения Эйлера. Приведены основные модификации итерационных методов, используемых при таком подходе.

В главе V рассматривается простейшая задача с ограничениями для эллиптического уравнения четвёртого порядка. Вычислительный алгоритм снова строится на основе метода штрафа. При решении задач в нерегулярных областях применяется метод фиктивных областей.

В главу VI выделен класс некорректных задач со свободной границей. Они сводятся к решению задачи Коши для эллиптического уравнения, задачи продолжения решений эллиптических краевых задач. Рассмотренные вычислительные методы построены на основе обращения переменных, использования нового варианта метода квазиобращения с применением разностных методов.

ВВЕДЕНИЕ

Книги на ту же тему

1. Вычислительные методы в математической физике, Самарский А. А., ред., 1986
2. Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
3. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах, Рвачев В. Л., Слесаренко А. П., 1976
4. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики: Учебное пособие, Дмитриев В. И., Захаров Е. В., 1987
5. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
6. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989