Монография посвящена широкому кругу актуальных задач анализа нелинейных систем уравнений. Развит модифицированный метод исключения неизвестных из системы нелинейных алгебраических уравнений, возникший на основе теории многомерных вычетов. Приведён алгоритм построения результанта системы уравнений и осуществлена его компьютерная реализация с использованием средств аналитических преобразований на ЭВМ. Рассмотрены важные вопросы компьютерной алгебры многочленов, связанные с методом исключения (многомерные рекуррентные формулы Ньютона, формула преобразования локального вычета, логарифмическая производная результанта и т. д.). Разработанные алгоритмы и программы используются для поиска всех стационарных решений уравнений химической кинетики и построения кинетического полинома.

Издание предназначено для специалистов в области нелинейного анализа, прикладной математики и математического моделирования, в том числе в химии, а также для преподавателей, аспирантов и студентов соответствующих специальностей.

Табл. 1. Ил. 1. Библиогр.: 171 назв.

Тематика предлагаемой книги связана с активно развивающимся в последнее время новым направлением в математике — компьютерной алгеброй многочленов, лежащей на стыке алгебры, математического анализа и программирования.

Стимулов к её написанию было несколько. Прежде всего это значительный интерес в приложениях к нелинейным задачам, характеризующимся множественностью стационарных состояний. Запросы практики инициировали в свою очередь появление новых теоретических результатов в области анализа систем нелинейных алгебраических уравнений. Наконец, внедрение в практику научных исследований различных систем аналитических преобразований на ЭВМ сделало работоспособными достаточно сложные алгоритмы теории исключения. В структуре книги также три части: математические результаты, доведённые до конструктивных алгоритмов, их компьютерная реализация в рамках одной из систем машинной аналитики и приложения.

Нелинейные системы алгебраических уравнений возникают в различных областях знания. В частности, в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в множествах определённого вида (и их локализации). Эта проблема приводит к задачам компьютерной алгебры многочленов: построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных множествах, определения самих корней, исключения части неизвестных из системы, построения систем «треугольного» вида (базиса Гребнера), эквивалентных данной системе. Такие вопросы, естественно, требуют развития методов работы с аналитическими выражениями на ЭВМ.

Первая глава данной монографии является вводной, в ней приведены в основном известные результаты.

Основные оригинальные математические результаты сосредоточены во второй главе. Здесь описан модифицированный метод исключения неизвестных, предложенный Л. А. Айзенбергом. Он заключается в том, что с помощью формулы многомерного вычета можно вычислить сумму значений любого многочлена в корнях заданной системы нелинейных алгебраических уравнений (не находя самих корней). Приведены формулы для нахождения таких сумм для различных систем уравнений. Показано, как находить промежуточные многочлены (аналоги результантов) для этого метода. Все эти методы и формулы легко алгоритмизируются. В частности, для систем трёх уравнений вычисления проведены до конца. Получена формула для нахождения логарифмической производной результанта системы алгебраических уравнений. Она позволяет находить сам результант через сумму локальных вычетов (и тем самым вычислить его в конечном виде). Как следствие выписана формула, выражающая логарифмическую производную результанта через сумму логарифмических производных подсистем данной системы. Эти формулы позволяют выписывать коэффициенты результанта в конечном виде. Даны многомерные аналоги рекуррентных формул Ньютона. Оказалось, что таких формул много, они связаны с различными типами систем уравнений. Более того, некоторые коэффициенты системы не определяются степенными суммами корней, поэтому необходимо рассматривать и «псевдостепенные» суммы. Рассмотрены различные задачи, связанные с модифицированными методами исключения: нахождение результантов по разным переменным, нахождение числа вещественных корней в областях с вещественно аналитической границей.

Компьютерная реализация предложенных методов представлена в четвёртой главе. В качестве основной системы аналитических преобразований на ЭВМ выбрана система REDUCE. Выделены две важные задачи компьютерной алгебры многочленов: построение результантов и реализация на ЭВМ методов исключения. В достаточно объёмном приложении приведены тексты разработанных оригинальных программ и примеры результатов их работы.

Приложения (третья глава и многочисленные примеры) относятся к математической кинетике, которая оперирует, как правило, с системами нелинейных алебраических уравнений. Эти системы дают достаточно широкий и практически интересный класс примеров. И надо сказать, что совместная работа авторов началась именно с этих конкретных задач. Новые теоретические результаты, а затем их компьютерная реализация явились в значительной мере ответами на вопросы, которые возникали при анализе уравнений химической кинетики. Дальнейшее развитие событий привело к появлению алгоритмов и программ, ориентированных уже на системы с буквенными коэффициентами самого общего вида. Опыт эксплуатации разработанного математического и программного обеспечения позволяет надеяться, что методы компьютерной алгебры многочленов получат дальнейшее развитие и более широкое практическое использование в различных областях науки и техники.

Методы компьютерной алгебры в настоящее время бурно развиваются, поэтому вряд ли можно дать законченное изложение предмета, даже в отношении систем алгебраических уравнений…

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Методы теории функций комплексного переменного. — 5-е изд., испр., Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., 1987
2. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е изд., стереотип., Привалов И. И., 1977
3. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. — 3-е изд., стереотип., Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г., 1975
4. Основы теории аналитических функций комплексного переменного, Бицадзе А. В., 1969
5. Введение в комплексный анализ, Шабат Б. В., 1969
6. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 11-е изд., Привалов И. И., 1967
7. Теория функций комплексного переменного (комплект из 2 книг), Стоилов С., 1962