КнигоПровод.Ru01.03.2024

/Наука и Техника/Математика

Элементы дифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов — Новиков С. П., Фоменко А. Т.
Элементы дифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов
Новиков С. П., Фоменко А. Т.
год издания — 1987, кол-во страниц — 432, тираж — 18000, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7Б, масса книги — 410 гр., издательство — Физматлит
цена: 499.00 рубПоложить эту книгу в корзину
Сохранность книги — очень хорошая

Р е ц е н з е н т ы:
каф-ра геометрии Харьковского государственного университета (зав. кафедрой — д-р ф.-м. наук проф. А. А. Борисенко)
академик А. В. Погорелов

Формат 84x108 1/32. Бумага типографская №2. Печать высокая
ключевые слова — геометр, евклид, эвклид, пространств, минковск, кривых, поверхност, тензор, риман, вариацион, исчислен, тополог, многообраз, мехмат, матмех, лобачевск, гомолог, метрик, кривизн, конформн, геодезическ, ковариантн, гомотоп, кристаллограф, групп

Излагаются основные сведения о геометрии евклидова пространства и пространства Минковского, включая их преобразования и теорию кривых и поверхностей, основы тензорного анализа и римановой геометрии, сведения из вариационного исчисления, пограничные с геометрией, элементы наглядной топологии многообразий. Изложение ведётся в свете современных представлений о геометрии реального мира.

Для студентов физико-математических специальностей университетов.


На протяжении ряда лет с начала 70-х годов авторы читали лекции по основам геометрии и топологии на механико-математическом факультете Московского государственного университета. Настоящий учебник является одним из итогов этой работы. Напомним, что в течение длительного периода элементы современной геометрии и топологии не входили в обязательное математическое образование студентов — математиков, механиков и физиков. Традиционные курсы классической дифференциальной геометрии постепенно устарели, единой точки зрения на то, какая часть геометрии является необходимой компонентой общематематического образования, длительное время не было. В связи с необходимостью использования большого количества геометрических понятий и методов, на отделении механики механико-математического факультета МГУ начиная с 1971 года впервые стал читаться обязательный геометрический курс нового типа. Этот курс включал, кроме традиционных глав о кривых и поверхностях, также основы тензорного анализа, римановой геометрии и топологии. В дальнейшем такой курс также стал читаться и на отделении математики. На базе этих первых курсов были подготовлены учебные пособия:

Новиков С. П. Дифференциальная геометрия, части I и II.— Ротапринт НИИ механики при МГУ, 1972 г.;
Новиков С. П., Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия, часть III. — Ротапринт НИИ механики при МГУ, 1974 г.

В результате обработки этих учебных пособий и возник данный учебник, рассчитанный на студентов второго и третьего курсов математиков, механиков, физиков.

Минимальная абстрактность языка и стиля изложения, их совместимость с языком механики и физики, включение в первую очередь материала, важного для естественных наук, — вот основные принципы, положенные нами в основу этого учебника.

В конце учебника помещены несколько приложений. С их помощью можно варьировать содержание курса. Так сведения об элементарных группах преобразований и геометрические элементы вариационного исчисления могут быть расширены за счёт этих приложений в курсах, предназначенных механикам и физикам. Напротив, сведения из геометрии Лобачевского и теории гомологии могут быть расширены в курсах, предназначенных математикам. Приложения 2 и 3, как нам представляется, очень полезны для ознакомления с элементарными геометрическими идеями, играющими фундаментальную роль в физике. Приложение 7 содержит избранные задачи и упражнения по этому курсу.

В конце книги приведён список литературы учебного характера на русском языке, которая представляется нам полезной для дополнительного изучения. Более подробным учебным пособием, по которому можно изучать геометрию и её приложения значительно глубже, является «Современная геометрия».

ПРЕДИСЛОВИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие5
 
Ч а с т ь   1.  Основные понятия дифференциальной геометрии7
 
§ 1. Общие понятия геометрии7
§ 2. Координаты в евклидовом пространстве20
§ 3. Риманова метрика в области евклидова пространства29
§ 4. Псевдоевклидово пространство и геометрия Лобачевского36
§ 5. Плоские кривые47
§ 6. Пространственные кривые54
§ 7. Теория поверхностей в трёхмерном пространстве.
Введение60
§ 8. Теория поверхностей. Риманова метрика и понятие
площади68
§ 9. Теория поверхностей. Площадь области на
поверхности74
§ 10. Теория поверхностей. Теория кривизны и вторая
квадратичная форма83
§ 11. Теория поверхностей. Гауссова кривизна87
§ 12. Теория поверхностей. Инварианты пары
квадратичных форм и теорема Эйлера95
§ 13. Комплексный язык в геометрии. Конформные
отображения. Изотермические координаты103
§ 14. Понятие многообразия и простейшие примеры113
§ 15. Геодезические линии135
 
Ч а с т ь   2.  Тензоры. Риманова геометрия143
 
§ 1. Тензоры первого и второго ранга143
§ 2. Тензоры общего вида. Примеры150
§ 3. Алгебраические операции над тензорами157
§ 4. Симметрические и кососимметрические тензоры161
§ 5. Дифференциальное исчисление кососимметрических
тензоров типа (0, k)166
§ 6. Ковариантное дифференцирование. Евклидовы и
общие связности175
§ 7. Основные свойства ковариантного
дифференцирования185
§ 8. Ковариантное дифференцирование и риманова метрика.
Параллельный перенос векторов вдоль кривых.
Геодезические194
§ 9. Тензор кривизны Римана Гауссова кривизна как
внутренний инвариант поверхности204
§ 10. Кососимметрические тензоры и теория
интегрирования214
§ 11. Общая формула Стокса и примеры234
 
Ч а с т ь   3.  Элементы топологии244
 
§ 1. Примеры дифференциальных форм244
§ 2. Степень отображения. Гомотопия250
§ 3. Некоторые применения степени отображения253
§ 4. Векторные поля263
§ 5. Функции на многообразиях и векторные поля279
§ 6. Особые точки векторных полей. Фундаментальная
группа288
§ 7. Фундаментальная группа и накрытия295
 
Приложения302
 
П р и л о ж е н и е  1.  Простейшие группы преобразований
евклидовых и неевклидовых пространств302
П р и л о ж е н и е  2. Некоторые элементы современных
представлений о геометрии реального мира314
П р и л о ж е н и е  3. Кристаллографические группы339
П р и л о ж е н и е  4. Группы гомологии а способы их
вычисления356
П р и л о ж е н и е  5. Теория геодезических, вторая
вариация и вариационное исчисление374
П р и л о ж е н и е  6. Элементарные геометрические
свойства плоскости Лобачевского394
П р и л о ж е н и е  7. Избранные задачи по материалу
курса405
 
Дополнения420
 
Список литературы430

Книги на ту же тему

  1. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы, Фоменко А. Т., 1983
  2. Топологические вариационные задачи, Фоменко А. Т., 1984
  3. Наглядная геометрия. — 3-е изд., Гильберт Д., Кон-Фоссен С., 1981
  4. Общая топология, Келли Д. Л., 1968
  5. Введение в теорию римановых поверхностей, Спрингер Д., 1960
  6. Симметрические пространства, Лоос О., 1985
  7. Гравитация и относительность, Цзю Х., Гоффман В., ред., 1965
  8. Топологические методы в теории гамильтоновых систем (Сборник статей), Болсинов А. В., Фоменко А. Т., Шафаревич А. И., ред., 1998
  9. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций, Кадич А., Эделен Д., 1987

© 1913—2013 КнигоПровод.Ruhttp://knigoprovod.ru