В предлагаемой книге излагаются элементы функционального анализа и некоторые его приложения к задачам, возникающим при управлении и оптимизации. В настоящее время в математике довольно отчётливо проявляется тенденция к проблемам, так или иначе связанным с приложениями; с другой стороны, значительно усложнились математические модели, описывающие процессы в экономике и естествознании. Эти тенденции, безусловно, связаны с развитием и расширением возможностей вычислительных машин. Настоящая книга отражает эти тенденции и носит вводный характер. Рассматриваемые здесь вопросы функционального анализа весьма существенны для подготовки высококвалифицированных специалистов как в области теории систем, так и в области математической экономики. В настоящее время имеется ряд превосходных курсов функционального анализа. Тем не менее, обширность предлагаемого материала порождает ряд трудностей для желающих ознакомится с предметом с точки зрения его приложений. Далее, применение ряда результатов функционального анализа к конкретным проблемам связано со значительными усилиями ввиду их высокого уровня общности. Эти обстоятельства побудили меня ограничиться рассмотрением лишь гильбертовых пространств и довольно детально рассмотреть такие специальные темы как вольтерровы операторы, операторы Гильберта-Шмидта, диссипативные компактные полугруппы и теоремы факторизации для положительно определённых линейных операторов. При этом с целью сохранения разумного объёма книги мы ограничились лишь теми разделами функционального анализа, которые имеют первостепенное значение для приложений.

Далее, следует иметь в виду, что абстрактная теория зачастую более проста, нежели её приложения к конкретным ситуациям. Это замечание касается теории полугрупп операторов, в которой, например, теоремы о порождении полугрупп довольно просты в их абстрактном варианте; однако доказать, что конкретное уравнение в частных производных порождает полугруппу операторов, далеко не просто. И действительно, начинающего читателя озадачат нескончаемые вариации при рассмотрении краевых задач и при определении граничного значения функций. Здесь я предпринял ряд попыток проиллюстрировать на конкретных примерах отношение абстрактной теории к задачам из области уравнений в частных производных; при этом полученные результаты ни в коей мере не претендуют на какую-либо завершённость.

Из шести глав книги только три имеют непосредственное отношение к приложениям — это глава 2, где рассмотрены выпуклые множества и выпуклое программирование в гильбертовых пространствах, глава 5, посвящённая детерминированным задачам управления, и глава 6, в которой рассматриваются проблемы стохастического управления. Глава 6 необычна тем, что в ней используется теория конечно-аддитивных мер на гильбертовых пространствах (вместо более привычной меры Винера на пространстве непрерывных функций). Эта глава содержит оригинальный материал. Остальные главы (примерно две трети книги) посвящены функциональному анализу и теории полугрупп операторов в рамках гильбертовых пространств. Основные свойства гильбертовых пространств и некоторые фундаментальные теоремы, играющие центральную роль в дальнейших рассмотрениях, приведены в главе 1. Приведённых в главе 1 сведений вполне достаточно, чтобы рассмотреть задачи выпуклого программирования (глава 2). От главы 1 можно сразу перейти к изучению главы 3, в которой изложена теория линейных операторов в гильбертовых пространствах. В этой же главе, рассматривая примеры неограниченных операторов, изучаются понятия L₂-производной в смысле распределений и пространства Соболева. Здесь же рассматриваются операторы над сепарабельными гильбертовыми пространствами и пространство квадратично-суммируемых функций со значениями в гильбертовом пространстве. Заключительный параграф главы 3 посвящён нелинейным операторам, точнее полиномиальным и аналитическим операторным функциям. В главе 4 изучаются полугруппы линейных операторов, причём особое внимание уделяется специальным классам полугрупп, таким как компактные полугруппы и полугруппы Гильберта-Шмидта. Теория полугрупп операторов доставляет пример разумного уровня общности, поскольку она позволяет рассмотреть довольно широкий класс проблем оптимизации, включающий в себя, в частности, и системы, описываемые уравнениями в частных производных, с учётом их специфики. Весьма важные в теории систем понятия управляемости и наблюдаемости рассматриваются с точки зрения полугрупп операторов. Общие положения теории иллюстрируются на примере неоднородной краевой задачи. В заключительном параграфе изучаются эволюционные уравнения специального вида — они получаются возмущением уравнения, определяющего полугруппу операторов.

Предлагаемая книга является переработанным и дополненным вариантом книги автора «Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве» (Изд-во «Мир», Москва, 1974, пер. с англ.) и основана на курсе лекций, прочитанных автором в отделениях математики и системных наук. Для понимания книги достаточно владения стандартным курсом анализа вещественной и комплексной переменных и иметь понятие о преобразовании Фурье. Весьма полезным также является знакомство с основными функциональными пространствами (обычно их рассмотрение включается в курсы современного анализа), поскольку знания только определений, которые приводятся в книге, явно недостаточно для глубокого понимания предмета. Точно так же весьма желательным является знакомство с основными задачами оптимального управления…

ПРЕДИСЛОВИЕ
А. Балакришнан

Книги на ту же тему

1. Элементы линейной алгебры и линейного программирования, Карпелевич Ф. И., Садовский Л. Е., 1963
2. Математическое программирование: Методы решения производственных и транспортных задач, Рейнфельд Н., Фогель У., 1960
3. Оптимальные решения в экономике, Канторович Л. В., Горстко А. Б., 1972
4. Линейное программирование: Пособие для экономистов, Габр Я., 1960
5. Экономико-математические методы. Вып. III: Экономико-математические модели народного хозяйства, 1966
6. Функциональный анализ, Рудин У., 1975
7. Функциональный анализ, Иосида К., 1967