При составлении настоящего пособия автор стремился, во-первых, дать достаточное число упражнений для выработки навыков решения типовых задач (например, вычисление определителей с числовыми элементами, решение систем линейных уравнений с числовыми коэффициентами и т. п.), во-вторых, дать задачи, способствующие уяснению основных понятий и их взаимной связи (например» связь свойств матриц со свойствами квадратичных форм, с одной стороны, и линейных преобразований — с другой), в-третьих, дать задачи, дополняющие лекционные курсы и содействующие расширению математического кругозора (например, свойства пфаффова агрегата кососимметрического определителя, свойства ассоциированных матриц и т. п.).

В ряде задач предлагается доказать теоремы, которые можно найти в учебниках. Помещая такие задачи, автор исходил из того, что лектор при недостатке времени даёт изучить часть материала по книге самим учащимся и это можно делать по задачнику, где даны указания, помогающие самостоятельно провести доказательство, что способствует развитию начальных навыков научного исследования.

Новыми по сравнению с существующими пособиями являются (если не говорить о деталях) задачи на полиномиальные матрицы (§ 13), на линейные преобразования аффинных и метрических пространств (§§ 18, 19) и стоящее особняком дополнение, посвящённое группам, кольцам и полям. В этом отделе даны задачи на самые начальные разделы теории. Тем не менее нам кажется, что его можно использовать в работе учебных просеминаров на младших курсах.

Содержание и порядок изложения материала на лекциях во многом зависят от лектора. Автор старался дать задачи, учитывающие это разнообразие изложения. Отсюда некоторый параллелизм и повторяемость материала. Так, одни и те же факты даны сначала в разделе квадратичных форм, а затем в разделе линейных преобразований, некоторые задачи формулированы так, что их можно решать как в случае вещественного евклидова, так и в случае комплексного унитарного пространства. Нам кажется, что для задачника это желательно, так как даёт большую гибкость при его использовании.

В начале некоторых параграфов помещены введения. Они содержат лишь краткие указания терминологии и обозначений в тех случаях, когда в учебниках нет полного единства в указанном отношении. Исключением является введение к § 5, где даны основные методы вычисления определителей любого порядка и приведены примеры на каждый метод. Автор считал это полезным ввиду того,что в учебниках эти указания отсутствуют, а учащиеся встречают здесь значительные трудности.

Номера задач, в ответах на которые имеются решения или указания, снабжены звёздочкой. Решения даны для небольшого числа задач. Это или задачи, содержащие общий метод, применяемый затем к ряду других задач (например, задача 1151, дающая метод вычисления функции от матрицы, и задача 1529, содержащая построение базиса, в котором матрица линейного преобразования имеег жорданову форму), или задачи повышенной трудности (например, задачи 1433, 1614, 1617). Указания содержат, как правило, лишь идею или метод решения и оставляют учащимся проведение самога решения. Лишь для более трудных задач они содержат краткий план решения (например, в задачах 546, 1492, 1632).

При составлении задачника автор использовал следующие источники:

1. В.  Ф.  К а г а н,  Основания теории определителей, Одесса, 1922.
2. А.  М.  Ж у р а в с к и й,  Сборник задач по высшей алгебре, ГТТИ, 1933.
3. Д.  К.  Ф а д д е е в  и  И.  С.  С о м и н с к и й,  Сборник задач по высшей алгебре, изд. 1-е — 5-е, Гостехиздат, 1945—1954.
4. А.  И.  М а л ь ц е в,  Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1948.
5. И.  М.  Г е л ь ф а н д,  Лекции по линейной алгебре, изд. 1-е и 2-е, Гостехиздат, 1948—1951.
6. Ф.  Р.  Г а н т м а х е р,  Теория матриц, Гостехиздат, 1953.

Ряд задач заимствован (с согласия их авторов) из числа упражнений, дававшихся на лекциях по высшей алгебре в Московском университете, или указан автору следующими лицами: И. М. Гельфандом, А. И. Узковым, Л. Я. Окуневым, А. П. Мишиной, И. Р. Шафаревичем, Е. Б. Дынкиным. Всем им автор приносит сердечнук> благодарность.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
И. Проскуряков
Москва, 20 октября 1955 г.

Книги на ту же тему

1. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа. — 2-е изд., испр. и доп., Болгов В. А., Демидович Б. П., Ефимов А. В., Каракулин А. Ф., Коган С. М., Поршнева Е. Ф., Поспелов А. С., Шостак Р. Я., 1986
2. Основы линейной алгебры и некоторые её приложения. Учебное пособие, Блох Э. Л., Лошинский Л. И., Турин В. Я., 1971
3. Сборник задач по высшей алгебре. — 7-е изд., испр., Фаддеев Д. К., Соминский И. С., 1961
4. Элементы линейной алгебры и линейного программирования, Карпелевич Ф. И., Садовский Л. Е., 1963
5. Основы линейной алгебры. — 3-е изд., перераб., Мальцев А. И., 1970
6. Определители и матрицы. — 2-е изд., Боревич З. И., 1970
7. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 3-е изд., Кострикин А. И., 2004
8. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие, Орлова И. В., Половников В. А., 2007
9. Матрицы и вычисления, Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А., 1984
10. Квадратичные формы и матрицы, Ефимов Н. В., 1963
11. Курс высшей алгебры. — 8-е изд., Курош А. Г., 1965
12. Прямые методы для разреженных матриц, Эстербю О., Златев З., 1987
13. Разреженные матрицы, Тьюарсон Р., 1977
14. Теория матриц. — 3-е изд., Гантмахер Ф. Р., 1967
15. Матричный анализ, Хорн Р., Джонсон Ч., 1989
16. Численные методы для симметричных линейных систем: Прямые методы, Икрамов Х. Д., 1988
17. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений, Форсайт Д., Моулер К., 1969
18. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Деммель Д., 2001
19. Элементарное введение в абстрактную алгебру, Фрид Э., 1979
20. Введение в прикладную комбинаторику, Кофман А., 1975
21. Комбинаторные задачи и (0, 1)-матрицы, Тараканов В. Е., 1985
22. Тензорное исчисление, Акивис М. А., Гольдберг В. В., 1969
23. Группы и их графы, Гроссман И., Магнус В., 1971
24. Топологические векторные пространства, Шефер X., 1971