Среди крупных достижений современной математики, получивших наибольшую популярность и одобрение в инженерных кругах, особое место занимает математическая теория оптимального управления, созданная коллективом советских учёных во главе с академиком Л. С. Понтрягиным. Основы этой теории были изложены в изданной в 1961 году монографии Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко «Математическая теория оптимальных процессов», удостоенной Ленинской премии за 1962 год.

В настоящей книге математическая теория оптимального управления излагается в форме, доступной инженеру, имеющему математическую подготовку в объёме технического вуза. Особое внимание автор уделяет вычислительным методам, а также тем задачам, которые к моменту написания книги удалось решить полностью. Стремясь к максимальной простоте изложения, автор нигде не жертвовал строгостью. Тем самым, нужная инженеру, эта книга будет интересна и математику.

Во втором издании книга существенно переработана автором: изменена планировка книги, по-новому изложены доказательства ряда теорем, добавлен новый материал. Таким образом, по существу, вниманию читателя предлагается новая книга.

Математическая теория оптимального управления возникла недавно. Центральным её стержнем служит принцип максимума и связанный с ним круг исследований, которые проведены коллективом математиков, возглавляемым академиком Львом Семёновичем Понтрягиным. Принцип максимума был высказан в качестве гипотезы Л. С. Понтрягиным. Это явилось основным стимулом и исходным пунктом возникновения теории оптимальных процессов. Поэтому указанная теорема и близкие к ней пользуются во всём мире заслуженной известностью под названием принципа максимума Понтрягина. Для линейных систем принцип максимума был доказан Р. В. Гамкрелидзе. Кроме того, ему принадлежат теорема о конечности числа переключений, а также теоремы существования и единственности. Доказательство принципа максимума для нелинейных систем, как и ряд дальнейших результатов об оптимальных процессах в общем нелинейном случае (главы III — IV), принадлежат автору. Важные результаты были получены в Америке Л. Нейштадтом, Ж. Ла-Саллем и группой математиков, возглавляемой Р. Беллманом. Следует также отметить интересные работы академика Н. Н. Красовского, чехословацкого математика Я. Курцвейля и др. Наконец, нужно вспомнить об исследованиях А. А. Фельдбаума, одного из пионеров и энтузиастов этой новой области.

В 1961 году вышла монография, содержащая изложение основных результатов теории оптимального управления [Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, 1961]. Она приобрела известную популярность среди не только математиков, но и инженерных работников. Основные результаты были сформулированы в монографии сравнительно просто и доступно, но понимание доказательств требовало немалой математической культуры. Достаточно сказать, что в них использовались понятие интеграла Лебега, дифференциальные уравнения с измеримыми правыми частями, теорема о слабой компактности сферы в пространстве линейных функционалов и т. п. В связи с этим у автора этих строк давно возник замысел написать более простую книгу по тем же вопросам. Замысел этот становился всё яснее, так как не раз приходилось читать лекции по теории оптимальных управлений. Наконец мне удалось найти доказательство теоремы существования оптимальных управлений, не использующее слабой компактности сферы. Это позволило отказаться от использования измеримых функций и интеграла Лебега и вернуться к первоначальному доказательству принципа максимума, использующему лишь кусочно-непрерывные функции. Изложение сразу стало заметно более простым.

Благодаря произведённым упрощениям книга доступна, например, студенту, овладевшему курсом математики втуза. Книга отличается от упоминавшейся выше монографии и по содержанию. Я не включил задачу о преследовании стохастически движущегося объекта, решённую Л. С. Понтрягиным и Е. Ф. Мищенко, поскольку она сложна (по характеру получаемого результата) и имеет скорее теоретическую ценность, чем практическую направленность. Однако в книгу включены некоторые новые результаты, из которых в первую очередь следует упомянуть очень интересные и изящные результаты Нейштадта (и дополняющие их результаты Итона) о приближённом вычислении линейных оптимальных быстродействий, полученные автором достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования, ряд новых примеров и результатов и т. д. О целесообразности такого отбора материала предоставляется судить читателю.

Второе издание книги существенно отличается от предыдущего. Теория линейных оптимальных быстродействий излагается до общей теории и независимо от неё. В связи с этим добавлено простое доказательство принципа максимума для линейного случая. Таким образом,, первые две главы представляют собой теперь законченное целое, которое можно рекомендовать для первого знакомства с предметом.

Третья глава, посвящённая нелинейным оптимальным быстродействиям, также подверглась переработке: по-новому изложено доказательство основной леммы, и, кроме того, существенно расширены результаты автора, относящиеся к нелинейному синтезу. В частности, добавлено исследование оптимальных процессов в нелинейных осциллирующих объектах второго порядка (§ 12).

В конце книги добавлены только что полученные автором результаты об оптимальном управлении объектами, обладающими локальными сечениями (§ 16). Это позволило весьма просто получить теорему Р. В. Гамкрелидзе об оптимальных управлениях при наличии ограничений на фазовые координаты, и даже несколько более общие результаты.

В заключение мне хотелось бы выразить искреннюю благодарность всем тем, кто своим вниманием помог появлению этой книги, прежде всего моему учителю Льву Семёновичу Понтрягину, а также моему коллеге и другу Евгению Фроловичу Мищенко. По его инициативе наш коллектив начал заниматься прикладными вопросами, что и привело к созданию теории оптимального управления. Большую помощь и поддержку оказали мне Н. X. Розов и А. 3. Рывкин. Всем им автор искренне признателен.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В. Болтянский
25 февраля 1968 г.

Книги на ту же тему

1. Элементы теории оптимальных систем, Моисеев Н. Н., 1975
2. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами, Флеминг У., Ришел Р., 1978
3. Компьютер и задачи выбора, Журавлёв Ю. И., сост., 1989
4. Курс теории автоматического управления, Паллю де Ла Барьер Р., 1973
5. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Варга Д., 1977
6. Элементы динамического программирования, Вентцель Е. С., 1964
7. Стохастическое оптимальное управление: случай дискретного времени, Бертсекас Д., Шрив С., 1985
8. Динамические задачи дискретной оптимизации, Рихтер К., 1985
9. Введение в стохастическую теорию управления, Острем К., 1973
10. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Янг Л., 1974
11. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления, Раскин Л. Г., 1976
12. Синтез оптимального управления колебательными системами, Божко А. Е., 1990
13. Элементы теории управляющих машин (Метод полиномиальных уравнений в задачах синтеза систем автоматического управления с цифровыми вычислительными машинами), Волгин Л. Н., 1962
14. Практикум по теории автоматического управления химико-технологическими процессами. Аналоговые системы. — 2-е изд., перераб. и доп., Борисов В. В., Плютто В. П., 1987
15. Избранные труды по теории управления, Емельянов С. В., 2006
16. Контроль динамических систем. — 2-е изд., перераб. и доп., Евланов Л. Г., 1979
17. Избранные труды: Теоретическая и прикладная теория управления. Последние проекты и открытия, Красовский А. А., 2001
18. Математическая и прикладная теория: Избранные труды, Красовский А. А., 2002
19. Избранные труды: Самые ранние - самые новые, Красовский А. А., 2003
20. Нелинейные системы автоматического регулирования (расчёт и проектирование), Хлыпало Е. И., 1967
21. Синтез и применение дискретных систем управления с идентификатором, Бунич А. Л., Бахтадзе Н. Н., 2003
22. Основы теории автоматического регулирования и автоматические регуляторы технологических процессов, Ордынцев В. М., Шендлер Ю. И., 1960
23. Расчёт параметров промышленных систем регулирования. Справочное пособие, Широкий Д. К., Куриленко О. Д., 1972
24. Системы автоматического управления двигателями летательных аппаратов, Боднер В. А., Рязанов Ю. А., Шаймарданов Ф. А., 1973
25. Введение в теорию автоматического регулирования, Лернер А. Я., 1958
26. Отображение процессов управления в пространствах состояний, Шаталов А. С., 1986
27. Математические модели и методы оптимального проектирования СВЧ приборов, Кураев А. А., Байбурин В. Б., Ильин Е. М., 1990
28. Математические модели и оптимальные процессы в макросистемах, Цирлин А. М., 2006