| Предисловие автора к первому изданию | 7 |
| Предисловие редактора ко второму изданию | 10 |
| |
 Ч А С Т Ь I |
| ОСНОВЫ ТЕОРИИ |
| |
| Г л а в а I. Матрицы и действия над ними | 13 |
| |
| § 1. Матрицы. Основные обозначения | 13 |
| § 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц | 15 |
| § 3. Квадратные матрицы | 24 |
| § 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы | 30 |
| § 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица | 32 |
| |
| Г л а в а II. Алгоритм Гаусса и некоторые его применения | 41 |
| |
| § 1. Метод исключения Гаусса | 41 |
| § 2. Механическая интерпретация алгоритма Гаусса | 45 |
| § 3. Детерминантное тождество Сильвестра | 47 |
| § 4. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители | 49 |
| § 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными |
| матрицами. Обобщенный алгоритм Гаусса | 55 |
| |
| Г л а в а III. Линейные операторы в n-мерном векторном пространстве | 65 |
| |
| § 1. Векторное пространство | 65 |
| § 2. Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в m-мерное | 70 |
| § 3. Сложение и умножение линейных операторов | 71 |
| § 4. Преобразование координат | 73 |
| § 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра | 74 |
| § 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само |
| в себя | 79 |
| § 7. Характеристические числа и собственные векторы линейного |
| оператора | 82 |
| § 8. Линейные операторы простой структуры | 84 |
| |
| Г л а в а IV. Характеристический и минимальный многочлены матрицы | 87 |
| |
| § 1. Сложение и умножение матричных многочленов | 87 |
| § 2. Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщённая |
| теорема Безу | 89 |
| § 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединённая матрица | 92 |
| § 4. Метод Д. К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов |
| характеристического многочлена и присоединённой матрицы | 96 |
| § 5. Минимальный многочлен матрицы | 98 |
| |
| Г л а в а V. Функции от матрицы | 103 |
| |
| § 1. Определение функции от матрицы | 103 |
| § 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра | 108 |
| § 3. Другие формы определения f(A). Компоненты матрицы A | 111 |
| § 4. Представление функций от матриц рядами | 115 |
| § 5. Некоторые свойства функций от матриц | 119 |
| § 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы линейных |
| дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами | 124 |
| § 7. Устойчивость движения в случае линейной системы | 130 |
| |
| Г л а в а VI. Эквивалентные преобразования многочленных матриц. |
| Аналитическая теория элементарных делителей | 135 |
| |
| § 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы | 135 |
| § 2. Канонический вид λ-матрицы | 139 |
| § 3. Инвариантные многочлены и элементарные делители многочленной |
| матрицы | 143 |
| § 4. Эквивалентность линейных двучленов | 148 |
| § 5. Критерий подобия матриц | 149 |
| § 6. Нормальные формы матрицы | 151 |
| § 7. Элементарные делители матрицы f(A) | 155 |
| § 8. Общий метод построения преобразующей матрицы | 159 |
| § 9. Второй метод построения преобразующей матрицы | 162 |
| |
| Г л а в а VII. Структура линейного оператора в n-мерном пространстве |
| (геометрическая теория элементарных делителей) | 171 |
| |
| § 1. Минимальный многочлен вектора пространства (относительно |
| заданного линейного оператора) | 171 |
| § 2. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми |
| минимальными многочленами | 173 |
| § 3. Сравнение. Надпространство | 175 |
| § 4. Расщепление пространства на циклические инвариантные |
| подпространства | 177 |
| § 5. Нормальная форма матрицы | 182 |
| § 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители | 184 |
| § 7. Нормальная жорданова форма матрицы | 188 |
| § 8. Метод акад. А. Н. Крылова преобразования векового уравнения | 190 |
| |
| Г л а в а VIII. Матричные уравнения | 199 |
| |
| § 1. Уравнение АХ = ХВ | 199 |
| § 2. Частный случай: А = В. Перестановочные матрицы | 203 |
| § 3. Уравнение АХ — ХВ = С | 207 |
| § 4. Скалярное уравнение f(X) = 0 | 207 |
| § 5. Матричное многочленное уравнение | 209 |
| § 6. Извлечение корня m-й степени из неособенной матрицы | 212 |
| § 7. Извлечение корня m-й степени из особенной матрицы | 215 |
| § 8. Логарифм матрицы | 219 |
| |
| Г л а в а IX. Линейные операторы в унитарном просгранстве | 222 |
| |
| § 1. Общие соображения | 222 |
| § 2. Метризация пространства | 222 |
| § 3. Критерий Грама линейной зависимости векторов | 225 |
| § 4. Ортогональное проектирование | 227 |
| § 5. Геометрический смысл определителя Грама и некоторые неравенства | 229 |
| § 6. Ортогонализация ряда векторов | 233 |
| § 7. Ортонормированный базис | 237 |
| § 8. Сопряжённый оператор | 239 |
| § 9. Нормальные операторы в унитарном пространстве | 243 |
| § 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов | 245 |
| § 11. Неотрицательные и положительно определённые эрмитовы операторы | 248 |
| § 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном |
| пространстве. Формулы Кэли | 249 |
| § 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве | 254 |
| § 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом |
| пространстве | 260 |
| § 15. Коммутирующие нормальные операторы | 263 |
| § 16. Псевдообратный оператор | 265 |
| |
| Г л а в а X. Квадратичные и эрмитовы формы | 267 |
| |
| § 1. Преобразование переменных в квадратичной форме | 267 |
| § 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции | 269 |
| § 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов. |
| Формула Якоби | 271 |
| § 4. Положительные квадратичные формы | 276 |
| § 5. Приведение квадратичной формы к главным осям | 279 |
| § 6. Пучок квадратичных форм | 281 |
| § 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного |
| пучка форм | 286 |
| § 8. Малые колебания системы с n степенями свободы | 293 |
| § 9. Эрмитовы формы | 297 |
| § 10. Ганкелевы формы | 301 |
| |
| Ч А С Т Ь II |
| СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ |
| |
| Г л а в а XI. Комплексные симметрические, кососимметрические и |
| ортогональные матрицы | 313 |
| |
| § 1. Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных |
| матриц | 313 |
| § 2. Полярное разложение комплексной матрицы | 317 |
| § 3. Нормальная форма комплексной симметрической матрицы | 319 |
| § 4. Нормальная форма комплексной кососимметрической матрицы | 322 |
| § 5. Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы | 327 |
| |
| Г л а в а XII. Сингулярные пучки матриц | 331 |
| |
| § 1. Введение | 331 |
| § 2. Регулярный пучок матриц | 332 |
| § 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении | 335 |
| § 4. Каноническая форма сингулярного пучка матриц | 340 |
| § 5. Минимальные индексы пучка. Критерий строгой эквивалентности |
| пучков | 342 |
| § 6. Сингулярные пучки квадратичных форм | 345 |
| § 7. Приложения к дифференциальным уравнениям | 348 |
| |
| Г л а в а XIII. Матрицы с неотрицательными элементами | 352 |
| |
| § 1. Общие свойства | 352 |
| § 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц | 354 |
| § 3. Разложимые матрицы | 365 |
| § 4. Нормальная форма разложимой матрицы | 372 |
| § 5. Примитивные и импримитивные матрицы | 377 |
| § 6. Стохастические матрицы | 381 |
| § 7. Предельные вероятности для однородной цепи Маркова с конечным |
| числом состояний | 385 |
| § 8. Вполне неотрицательные матрицы | 394 |
| § 9. Осцилляционные матрицы | 398 |
| |
| Г л а в а XIV. Различные критерии регулярности и локализации |
| собственных значений | 406 |
| |
| § 1. Критерий регулярности Адамара и его обобщения | 406 |
| § 2. Норма матрицы | 409 |
| § 3. Распространение критерия Адамара на блочные матрицы | 412 |
| § 4. Критерий регулярности Филлера | 414 |
| § 5. Круги Гершгорина и другие области локализации | 415 |
| |
| Г л а в а XV. Приложения теории матриц к исследованию систем |
| линейных дифференциальных уравнений | 419 |
| |
| § 1. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными |
| коэффициентами. Общие понятия | 419 |
| § 2. Преобразование Ляпунова | 422 |
| § 3. Приводимые системы | 423 |
| § 4. Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина | 426 |
| § 5. Матрицант | 429 |
| § 6. Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление |
| Вольтерра | 433 |
| § 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства | 437 |
| § 8. Мультипликативный интеграл в комплексной области | 439 |
| § 9. Изолированная особая точка | 443 |
| § 10. Регулярная особая точка | 448 |
| § 11. Приводимые аналитические системы | 461 |
| § 12. Аналитические функции от многих матриц и их применение к |
| исследованию дифференциальных систем. Работы |
| И. А. Лаппо-Данилевского | 465 |
| |
| Г л а в а XVI. Проблема Рауса-Гурвица и смежные вопросы | 468 |
| |
| § 1. Введение | 468 |
| § 2. Индексы Коши | 469 |
| § 3. Алгоритмы Рауса | 472 |
| § 4. Особые случаи. Примеры | 476 |
| § 5. Теорема Ляпунова | 479 |
| § 6. Теорема Рауса-Гурвица | 483 |
| § 7. Формула Орландо | 488 |
| § 8. Особые случаи в теореме Рауса-Гурвица | 490 |
| § 9. Метод квадратичных форм. Определение числа различных |
| вещественных корней многочлена | 493 |
| § 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного ранга | 495 |
| § 11. Определение индекса произвольной рациональной дроби через |
| коэффициенты числителя и знаменателя | 498 |
| § 12. Второе доказательство теоремы Рауса-Гурвица | 504 |
| § 13. Некоторые дополнения к теореме Рауса-Гурвица. Критерий |
| устойчивости Льенара и Шипара | 508 |
| § 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стильтьеса. |
| Представление многочленов Гурвица при помощи непрерывных дробей | 512 |
| § 15. Область устойчивости. Параметры Маркова | 518 |
| § 16. Связь с проблемой моментов | 521 |
| § 17. Связь между определителями Гурвица и определителями Маркова | 525 |
| § 18. Теоремы Маркова и Чебышёва | 526 |
| § 19. Обобщённая задача Рауса-Гурвица | 533 |
| |
| Д о б а в л е н и е. Неравенства для собственных и сингулярных |
| чисел (В. Б. Лидский) | 535 |
| |
| Литература | 560 |
| Предметный указатель | 572 |
