год издания — 2001, кол-во страниц — 320, ISBN — 5-02-006505-6, тираж — 330, язык — русский, тип обложки — твёрд. 7БЦ, масса книги — 430 гр., издательство — Наука

цена: 500.00 руб

Рецензенты:
член-корр. РАН Ю. П. Попов
д. ф.-м. н. А. В. Гулин
Утверждено к печати Учёным советом Института математического моделирования РАН
Формат 60x90 1/16. Печать офсетная

В монографии рассмотрены аддитивные разностные схемы приближенного решения многомерных нестационарных задач для уравнений с частными производными. Выделены классы схем с расщеплением по пространственным переменным (схемы переменных направлений), схемы расщепления по физическим процессам. При использовании компьютеров параллельной архитектуры строятся схемы декомпозиции области - регионально-аддитивные схемы. Рассмотрены безусловно устойчивые аддитивные схемы многокомпонентного расщепления для эволюционных уравнений первого и второго порядков. Материал книги базируется на общей теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем.

Опираясь на общие результаты теории устойчивости операторно-разностных схем, проведено обсуждение известных и новых классов аддитивных разностных схем —схем расщепления. Используется минимальный математический аппарат, связанный с базовыми свойствами операторов в конечномерных пространствах. Приведены содержательные примеры построения аддитивных разностных схем при решении типовых задач для уравнений с частными производными.

Для специалистов по вычислительной математике, прикладному математическому моделированию, студентов старших курсов.

Предисловие	3

Основные обозначения	5

Введение	7
Теория разностных схем	7
Аддитивные разностные схемы	9
Основные результаты теории аддитивных разностных схем	13
О содержании книги	17

Глава 1. Устойчивость операторно-разностных схем	21
1.1. Задача Коши для дифференциально-операторного уравнения	21
1.1.1. Гильбертовы пространства	21
1.1.2. Линейные операторы в конечномерном линейном пространстве	24
1.1.3. Операторы в конечномерном гильбертовом пространстве	25
1.1.4. Задача Коши для эволюционного уравнения первого порядка	27
1.1.5. Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений	29
1.1.6. Краевая задача для одномерного параболического уравнения	29
1.1.7. Уравнения второго порядка	32
1.2. Двухслойные операторно-разностные схемы	33
1.2.1. Основные понятия	33
1.2.2. Устойчивость по начальным данным	36
1.2.3. Устойчивость по правой части	39
1.2.4. Схемы с весами	42
1.3. Трёхслойные операторно-разностные схемы	43
1.3.1. Устойчивость по начальным данным	43
1.3.2. Переход к двухслойной схеме	45
1.3.3. р-устойчивость трёхслойных схем	48
1.3.4. Оценки в более простых нормах	50
1.3.5. Устойчивость по правой части	52
1.3.6. Схемы с весами для уравнений первого порядка	53
1.3.7. Схемы с весами для уравнений второго порядка	54
1.4. Устойчивость в конечномерных банаховых пространствах	56
1.4.1. Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений	56
1.4.2. Схема с весами	58
1.4.3. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения	60

Глава 2. Аддитивные схемы двухкомпонентного расщепления	62
2.1. Схемы переменных направлений	62
2.1.1. Постановка задачи	62
2.1.2. Схема Писмена-Рекфорда	63
2.1.3. Устойчивость схемы переменных направлений	64
2.1.4. Точность схемы переменных направлений	66
2.1.5. Другие схемы переменных направлений	67
2.2. Факторизованные схемы	68
2.2.1. Общее рассмотрение	68
2.2.2. Схемы переменных направлений как факторизованные схемы	69
2.2.3. Устойчивость и точность факторизованных схем	70
2.2.4. Принцип регуляризации для построения факторизованных схем	72
2.2.5. Факторизованные схемы многокомпонентного расщепления	75
2.3. Попеременно-треугольный метод	78
2.3.1. Общее описание попеременно-треугольного метода	78
2.3.2. Исследование устойчивости и сходимости	80
2.3.3. Трёхслойные аддитивные схемы	81
2.3.4. Задачи с несамосопряженными операторами	83
2.4. Уравнения второго порядка	85
2.4.1. Модельная задача	85
2.4.2. Факторизованные схемы	87
2.4.3. Схемы попеременно-треугольного метода	88

Глава 3. Схемы суммарной аппроксимации	90
3.1. Аддитивные формулировки для дифференциальной задачи	90
3.1.1. Модельная задача	90
3.1.2. Промежуточные задачи	91
3.1.3. Понятие суммарной аппроксимации	93
3.1.4. Схемы суммарной аппроксимации второго порядка	95
3.2. Схемы суммарной аппроксимации	97
3.2.1. Схемы покомпонентного расщепления	97
3.2.2. Оценки решений промежуточных задач	99
3.2.3. Устойчивость схем покомпонентного расщепления	100
3.2.4. Сходимость схем покомпонентного расщепления	102
3.2.5. Сходимость аддитивных схем в банаховых пространствах	103
3.3. Аддитивно-усреднённые схемы	105
3.3.1. Дифференциальная задача	105
3.3.2. Аддитивные разностные схемы	106
3.3.3. Устойчивость аддитивно-усреднённых схем	107
3.4. Другие варианты схем покомпонентного расщепления	109
3.4.1. Чисто неявные аддитивные схемы	109
3.4.2. Схемы переменных направлений как аддитивные схемы	110
3.4.3. Аддитивные схемы второго порядка точности	112
3.4.4. Сходимость схем повышенной точности	113

Глава 4. Векторные аддитивные схемы	117
4.1. Векторные схемы для уравнений первого порядка	117
4.1.1. Векторная дифференциальная задача	117
4.1.2. Устойчивость векторных аддитивных схем	120
4.1.3. Устойчивость по правой части	123
4.2. Устойчивость схем в банаховых пространствах	125
4.2.1. Постановка задачи	125
4.2.2. Векторная аддитивная схема	127
4.2.3. Исследование устойчивости	127
4.3. Схемы второго порядка точности	130
4.3.1. Постановка задачи	130
4.3.2. Трёхслойные векторные схемы	131
4.3.3. Схемы попеременно-треугольного метода	133
4.4. Векторные схемы для уравнений второго порядка	135
4.4.1. Задача Коши для уравнения второго порядка	135
4.4.2. Векторная задача	136
4.4.3. Разностная схема с весами	138
4.4.4. Аддитивные схемы	139
4.4.5. Устойчивость аддитивных схем	142

Глава 5. Регуляризованные аддитивные схемы	144
5.1. Мультипликативная регуляризация разностных схем	144
5.1.1. Принцип регуляризации разностных схем	144
5.1.2. Аддитивная регуляризация	146
5.1.3. Мультипликативная регуляризация	148
5.2. Мультипликативная регуляризация аддитивных схем	148
5.2.1. Задача Коши для уравнения первого порядка	149
5.2.2. Регуляризация аддитивных схем	150
5.2.3. Устойчивость и сходимость	152
5.2.4. Регуляризованные и аддитивно-усреднённые схемы	154
5.3. Схемы повышенного порядка точности	155
5.3.1. Постановка задачи	155
5.3.2. Явная трёхслойная схема	156
5.3.3. Регуляризованные схемы	157
5.3.4. Аддитивно-усреднённая схема	159
5.4. Регуляризованные схемы для уравнений второго порядка	160
5.4.1. Модельная задача	160
5.4.2. Регуляризованная схема	161
5.4.3. Аддитивно-усреднённые схемы для уравнений второго порядка	162

Глава 6. Итерационные методы	164
6.1. Элементы теории итерационных методов	164
6.1.1. Постановка задачи	164
6.1.2. Метод простой итерации	166
6.1.3. Чебышевский набор итерационных параметров	167
6.1.4. Двухслойные методы вариационного типа	168
6.1.5. Метод сопряжённых градиентов	170
6.2. Итерационный метод переменных направлений	]71
6.2.1. Итерационный метод при двухкомпонентном расщеплении	171
6.2.2. Исследование сходимости	172
6.2.3. Модифицированный метод переменных направлений	175
6.2.4. Многокомпонентное расщепление	176
6.3. Попеременно-треугольный итерационный метод	179
6.3.1. Итерационный метод	179
6.3.2. Скорость сходимости	180
6.3.3. Модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод	182
6.4. Итерационные методы кластерного агрегирования	182
6.4.1. Переход к системе уравнений	183
6.4.2. Итерационный метод	184
6.4.3. Параллельный вариант	186
6.4.4. Агрегация неизвестных	188

Глава 7. Расщепление по пространственным переменным	191
7.1. Краевая задача для параболического уравнения	191
7.1.1. Дифференциальная задача	191
7.1.2. Дифференциально-разностная задача	194
7.1.3. Локально-одномерная схема	196
7.1.4. Сходимость схем в банаховых пространствах	197
7.2. Аддитивные схемы для уравнения переноса	198
7.2.1. Уравнение переноса	198
7.2.2. Свойства решений дифференциальной задачи	201
7.2.3. Разностные операторы конвективного переноса	205
7.2.4. Двухслойные разностные схемы	212
7.2.5. Аддитивные схемы	215
7.2.6. Схемы с направленными разностями для уравнений переноса	217
7.3. Гиперболическое уравнение второго порядка	220
7.3.1. Постановка задачи	220
7.3.2. Аппроксимация по пространству	222
7.3.3. Разностные схемы с весами	223
7.3.4. Аддитивная разностная схема	224
7.4. Обратные эволюционные задачи	225
7.4.1. Задача с обратным временем для параболического уравнения	226
7.4.2. Условная корректность	227
7.4.3. Приближённое решение некорректных задач	228
7.4.4. Регуляризованные разностные схемы	230
7.4.5. Аддитивные разностные схемы	232

Глава 8. Расщепление по физическим процессам	235
8.1. Нестационарные задачи конвекции-диффузии	235
8.1.1. Модельные задачи	236
8.1.2. Оценки устойчивости решения дифференциальной задачи	239
8.1.3. Дифференциально-разностная задача	241
8.1.4. Разностные схемы для задач конвекции-диффузии	244
8.1.5. Схемы расщепления	247
8.2. Моделирование фильтрации в многопластовых системах	249
8.2.1. Постановка задачи	249
8.2.2. Дифференциально-разностная задача	252
8.2.3. Разностные схемы	254
8.3. Разностные схемы для задач гидродинамики в переменных «функция тока, вихрь скорости»	257
8.3.1. Дифференциальная задача	257
8.3.2. Дискретизация по пространству	260
8.3.3. Разностные схемы расщепления	262
8.4. Задачи гидродинамики в естественных переменных	264
8.4.1. Особенности задач гидродинамики	264
8.4.2. Априорная оценка для дифференциальной задачи	266
8.4.3. Аппроксимация по пространству	268
8.4.4. Аддитивные разностные схемы	270

Глава 9. Схемы декомпозиции области	272
9.1. Методы декомпозиции области	272
9.1.1. Общее описание	272
9.1.2. Модельная параболическая задача	274
9.1.3. Декомпозиция области	275
9.2. Схемы двухкомпонентного расщепления	277
9.2.1. Операторы декомпозиции области	277
9.2.2. Регионально-аддитивные схемы	279
9.2.3. Точность разностного решения	282
9.3. Схемы многокомпонентного расщепления	284
9.3.1. Модельная задача	284
9.3.2. Регионально-аддитивные схемы	285
9.3.3. Сходимость схем декомпозиции	288
9.4. Схемы декомпозиции области для уравнений второго порядка	292
9.4.1. Уравнение колебаний	292
9.4.2. Векторные схемы декомпозиции области	293
9.4.3. Сходимость векторных регионально-аддитивных схем	296

Литература	298

Предметный указатель	306

Книги на ту же тему

Вычислительные методы в математической физике, Самарский А. А., ред., 1986
Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах, Самарский А. А., Курдюмов С. П., Галактионов В. А., ред., 1986
Фундаментальные основы математического моделирования, Макаров И. М., ред., 1997
Уравнения математической физики, Годунов С. К., 1971
Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Смирнов М. М., 1964
Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций: Учебное пособие для вузов, Кудинов В. А., Карташов Э. М., Калашников В. В., 2005
Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
Математическая теория распространения электромагнитных волн, Бейтмен Г., 1958

elapsed time 0.024 sec

/Наука и Техника

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему