Рассмотрено распространение волн различной природы (акустических, гравитационных, электромагнитных) в неоднородных средах (в том числе и статистически неоднородных). В основу изложения положен метод погружения, позволяющий свести исходные краевые волновые задачи к задачам с начальными данными. Это открывает широкие возможности для решения как детерминированных, так и статистических задач. Развитый метод отражает специфику постановки краевых задач распространений волн и применим как к стационарным (линейным и нелинейным), так и нестационарным волновым задачам. Изложение иллюстрируется большим числом примеров.

Для научных работников, специализирующихся в области акустики, радиофизики, теоретической и математической физики, прикладной математики, имеющих дело с теорией распространения волн, а также студентов старших курсов и аспирантов.

В настоящее время интенсивно изучается распространение волн различной природы в естественных средах (акустика океана, оптика атмосферы, физика ионосферы и плазмы и т.п.). Обычно параметры таких сред подвержены сильным пространственно-временным возмущениям. Математически подобные проблемы описываются краевой задачей для волнового уравнения с нестационарным во времени и неоднородным в пространстве показателем преломления. Существуют ряд методов решения краевой задачи для случая, когда вариации показателя преломления имеют детерминированный характер и уравнения линейны, при этом особенно сильные методы развиты для слоистых сред. Если же вариации параметров являются статистическими, краевой характер задачи вызывает принципиальные затруднения. Обычно решение таких статистических задач основано на одном из трёх приближённых методов.

1. Использование феноменологической линейной теории переноса излучения.
2. Пренебрежение эффектами обратного рассеяния и переход к малоугловому приближению (параболическое уравнение), для анализа которого затем используется диффузионное приближение.
3. Переформулировка задачи в терминах интегрального уравнения, при анализе статистических характеристик которого используется приближение Бурре для уравнения Дайсона и лестничное приближение для уравнения Бёте-Солпитера.

Эти приближённые методы можно строго обосновать только для задач определённого типа, обладающих свойством «динамической причинности», когда решение определяется лишь «предыдущими» (по времени или пространству) значениями параметров и не зависит от последующих. При их описании возникают либо дифференциальные уравнения с начальными условиями, либо интегральные уравнения специального вида. Краевые задачи не относятся к данному типу (например, для волн в случайно-неоднородной среде рассеянная назад волна зависит от тех неоднородностей, которые ещё не пройдены прямой волной). В таких случаях желательно перейти к задаче эволюционного типа с начальными условиями. Такой переход необходим для статистических задач и может оказаться полезным для численного решения детерминированной проблемы.

Использование метода погружения (точнее метода инвариантного погружения по терминологии, принятой в математической литературе) позволяет свести рассматриваемые краевые задачи к задачам эволюционного типа с начальными условиями, обладающими свойством «динамической причинности». Этот метод отражает основную специфику постановки краевых проблем распространения волн (переход к выделенному направлению распространения волны) и поэтому применим для широкого круга задач. Ниже мы рассмотрим некоторые (в том числе нелинейные и нестационарные) задачи, связанные с распространением волн различной природы (акустические, гравитационные и электромагнитные) в неоднородных средах.

Идея метода инвариантного погружения впервые была предложена в работах В. А. Амбарцумяна для решения уравнений линейной теории переноса излучения. В дальнейшем эта идея была взята «на вооружение» математиками для сведения краевых задач к задачам эволюционного типа с начальными данными, более удобным для численных расчётов. Сейчас этот метод развился настолько, что в настоящее время в США выходит математический журнал J. Appl. Math. and Communication, посвящённый этой тематике и издан ряд монографий, в которых рассматриваются физические аспекты метода и его вычислительные возможности. Идея метода инвариантного погружения для задач распространения волн в неоднородных средах описана в обзорных работах. Примечательно, что в волновых задачах параметром погружения для построения эволюционных уравнений является геометрически наглядная величина — координата границы раздела сред. По-видимому, метод инвариантного погружения является на данном этапе единственным методом, позволяющим поставить правильным образом статистические краевые задачи.

Любопытно отметить, что этот метод, развитый первоначально для решения некоторых простейших уравнений теории переноса излучения, в настоящее время представляется тем инструментом, который может дать обоснование линейной теории переноса излучения и указать, каким образом она должна быть видоизменена в случае её неприменимости…

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами, Кляцкин В. И., 1975
2. Взаимодействие волн в неоднородных средах, Заславский Г. М., Мейтлис В. П., Филоненко Н. Н., 1982
3. Распространение волн в среде со случайными неоднородностями, Чернов Л. А., 1958
4. Линейные и нелинейные волны, Уизем Д., 1977
5. Теория волн, Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П., 1979
6. Внутренние гравитационные волны в неоднородных средах, Булатов В. В., Владимиров Ю. В., 2005
7. Дальнее тропосферное распространение ультракоротких радиоволн, Введенский Б. А., Колосов М. А., Калинин А. И., Шифрин Я. С., ред., 1965