В монографии на основе единого подхода рассматривается вопрос о статистическом поведении нелинейных динамических систем, описываемых как системами обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнениями в частных производных со случайными параметрами. Рассмотренные вопросы не ограничиваются каким-либо конкретным статистическим характером флуктуаций. Метод, применяемый для решения этих задач, заключается в построении уравнений для плотности вероятностей решения системы или для его статистических моментов с использованием малого параметра — отношения характерного времени случайных воздействий к постоянной времени системы (в ряде задач роль времени играет одна из пространственных координат). Одним из преимуществ рассматриваемого подхода является возможность исследовать одновременно и его границы применимости, а в ряде случаев и возможность построения более точных решений.

Две главы монографии посвящены общей теории, а в остальных главах книги рассматривается применение общих методов к конкретным актуальным задачам статистической радиофизики и статистической гидродинамики (аналогичные задачи возникают и в физике плазмы, физике твёрдого тела, магнитной гидродинамике и т. д.).

Рис. 16, библ. 152 назв.

Статистические задачи в настоящее время занимают значительное место в различных областях физики. Если даже не говорить о задачах, традиционно относящихся к статистической физике, то имеется множество вопросов, в которых мы сталкиваемся с необходимостью учёта флуктуационных эффектов. Хотя причины, вызывающие флуктуации, совершенно различные в различных задачах (это могут быть тепловые шумы, неустойчивости, турбулентность и т. д.), методы их теоретического рассмотрения часто очень схожи. При этом в ряде случаев статистическую природу самих флуктуации можно считать известной (либо из физических соображений, либо в модельной постановке задачи).

В настоящее «время весьма мощным аппаратом, позволяющим решать довольно сложные статистические задачи, является возникшая на основе теории броуновского движения теория марковских случайных процессов и процессов диффузионного типа. Чисто математическим аспектам этой теории посвящена большая литература, и в настоящей книге эти вопросы обсуждаться не будут.

Мы будем рассматривать статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами, описываемых как системами обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнениями в частных производных. Основная задача заключается в получении замкнутых уравнений для статистических характеристик решений таких систем.

Наиболее подробно мы будем рассматривать случай, когда флуктуирующие параметры являются гауссовскими случайными процессами, и более кратко рассмотрим обобщения на случай произвольных случайных процессов.

Цель настоящей книги — показать, как различные физические задачи могут быть решены на основе общего подхода, по своей сути являющегося обобщением теории броуновского движения. При этом выясняются интересные аналогии между весьма различными физическими задачами. Примеры, рассмотренные ниже, в основном заимствованы из статистической гидродинамики и статистической радиофизики, что связано с направлением работ автора. Однако аналогичные задачи и методы их решения возникают и в физике плазмы, физике твёрдого тела, магнитной гидродинамике и т. д.

Метод, которым мы будем ниже пользоваться, представляет собой теорию, основанную на разложении решений по малому параметру, по существу являющемуся отношением времени корреляции случайного воздействия ко времени наблюдения или другим характерным временным масштабам задачи (в ряде случаев это будут не временные, а пространственные масштабы). В теории броуновского движения этому приближению соответствует пренебрежение временем между случайными соударениями по сравнению со всеми другими временными масштабами.

Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовскими флуктуациями параметров, используемый метод приводит к приближению марковского случайного процесса, и соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Эйнштейна-Фоккера. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, этот метод приводит к обобщённому уравнению типа Эйнштейна-Фоккера, в связи с чем он может быть назван приближением диффузионного случайного процесса. Для динамических систем с негауссовскими флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к приближению марковского случайного процесса. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению. Так, для случая систем с флуктуациями параметров, имеющих пуассоновский характер, этот метод приводит к интегро-дифференциальным уравнениям типа уравнения Колмогорова-Феллера…

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Метод погружения в теории распространения волн, Кляцкин В. И., 1986
2. Синтез и применение дискретных систем управления с идентификатором, Бунич А. Л., Бахтадзе Н. Н., 2003
3. Многоцелевой статистический анализ случайных сигналов, Домарацкий А. Н., Иванов Л. Н., Юрлов Ю. И., 1975
4. Основы прикладной статистики, Мелник М., 1983
5. Контроль динамических систем. — 2-е изд., перераб. и доп., Евланов Л. Г., 1979