| Предисловие | 3 |
| |
| Г л а в а I. Прямоугольная система координат на плоскости |
 и её применение к простейшим задачам | 4 |
| |
| § 1. Прямоугольные координаты точки на плоскости | 4 |
| § 2. Преобразование прямоугольной системы координат | 6 |
| § 3. Расстояние между двумя точками на плоскости | 8 |
| § 4. Деление отрезка в данном отношении | 9 |
| § 5. Площадь треугольника | 11 |
| Упражнения | 13 |
| |
| Г л а в а II. Уравнение линии | 15 |
| |
| § 1. Множества | 15 |
| § 2. Метод координат на плоскости | 17 |
| § 3. Линия как множество точек | 17 |
| § 4. Уравнение линии на плоскости | 18 |
| § 5. Построение линии по её уравнению | 21 |
| § 6. Некоторые элементарные задачи | 22 |
| § 7. Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости | 24 |
| § 8. Алгебраические линии | 24 |
| Упражнения | 26 |
| |
| Г л а в а III. Прямая линия | 27 |
| |
| § 1. Уравнение прямой | 27 |
| § 2. Угол между двумя прямыми | 29 |
| § 3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном |
| направлении | 32 |
| § 4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки | 33 |
| § 5. Уравнение прямой в «отрезках» | 34 |
| § 6. Точка пересечения двух прямых | 35 |
| § 7. Расстояние от точки до прямой | 37 |
| Упражнения | 38 |
| |
| Г л а в а IV. Линии второго порядка | 41 |
| |
| § 1. Окружность | 41 |
| § 2. Центральные кривые второго порядка | 42 |
| § 3. Фокальные свойства центральных кривых второго порядка | 46 |
| § 4. Эллипс как равномерная деформация окружности | 48 |
| § 5. Асимптоты гиперболы | 49 |
| § 6. График обратной пропорциональности | 50 |
| § 7. Нецентральные кривые второго порядка | 51 |
| § 8. Фокальное свойство параболы | 52 |
| § 9. График квадратного трёхчлена | 53 |
| Упражнения | 55 |
| |
| Г л а в а V. Полярные координаты. Параметрические уравнения линии | 57 |
| |
| § 1. Полярные координаты | 57 |
| § 2. Связь между прямоугольными и полярными координатами | 58 |
| § 3. Параметрические уравнения линии | 59 |
| § 4. Параметрические уравнения циклоиды | 61 |
| Упражнения | 62 |
| |
| Г л а в а VI. Функция | 64 |
| |
| § 1. Величины постоянные и переменные | 64 |
| § 2. Понятие функции | 64 |
| § 3. Простейшие функциональные зависимости | 68 |
| § 4. Способы задания функции | 71 |
| § 5. Понятие функции от нескольких переменных | 74 |
| § 6. Понятие неявной функции | 75 |
| § 7. Понятие обратной функции | 76 |
| § 8. Классификация функций одного аргумента | 78 |
| § 9. Графики основных элементарных функций | 79 |
| § 10. Интерполирование функций | 88 |
| Упражнения | 93 |
| |
| Г л а в а VII. Теория пределов | 95 |
| |
| § 1. Действительные числа | 95 |
| § 2. Погрешности приближённых чисел | 98 |
| § 3. Предел функции | 103 |
| § 4. Односторонние пределы функции | 109 |
| § 5. Предел последовательности | 111 |
| § 6. Бесконечно малые | 112 |
| § 7. Бесконечно большие | 113 |
| § 8. Основные теоремы о бесконечно малых | 114 |
| § 9. Основные теоремы о пределах | 117 |
| § 10. Некоторые признаки существования предела функции | 121 |
| § 11. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге | 123 |
| § 12. Число е | 125 |
| § 13. Понятие о натуральных логарифмах | 129 |
| § 14. Понятие об асимптотических формулах | 130 |
| Упражнения | 132 |
| |
| Г л а в а VIII. Непрерывность функции | 133 |
| |
| § 1. Приращения аргумента и функции. Непрерывность функции | 133 |
| § 2. Другое определение непрерывности функции | 137 |
| § 3. Непрерывность основных элементарных функций | 138 |
| § 4. Основные теоремы о непрерывных функциях | 139 |
| § 5. Раскрытие неопределённостей | 141 |
| § 6. Классификация точек разрыва функции | 142 |
| Упражнения | 143 |
| |
| Г л а в а IX. Производная | 144 |
| |
| § 1. Задача о касательной | 144 |
| § 2. Задача о скорости движения точки | 146 |
| § 3. Общее определение производной | 148 |
| § 4. Другие применения производной | 151 |
| § 5. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции | 152 |
| § 6. Понятие о бесконечной производной | 154 |
| Упражнения | 154 |
| |
| Г л а в а X. Основные теоремы о производных | 155 |
| |
| § 1. Вводные замечания | 155 |
| § 2. Производные от некоторых простейших функций | 155 |
| § 3. Основные правила дифференцирования функций | 159 |
| § 4. Производная сложной функции | 165 |
| § 5. Производная обратной функции | 167 |
| § 6. Производная неявной функции | 168 |
| § 7. Производная логарифмической функции | 170 |
| § 8. Понятие о логарифмической производной | 172 |
| § 9. Производная показательной функции | 172 |
| § 10. Производная степенной функции | 174 |
| § 11. Производные обратных тригонометрических функций | 174 |
| § 12. Производная функции, заданной параметрически | 177 |
| § 13. Сводка формул дифференцирования | 178 |
| § 14. Понятие о производных высших порядков | 179 |
| § 15. Физическое значение производной второго порядка | 179 |
| Упражнения | 180 |
| |
| Г л а в а XI. Приложения производной | 182 |
| |
| § 1. Теорема о конечном приращении функции и её следствия | 182 |
| § 2. Возрастание и убывание функции одной переменной | 184 |
| § 3. Понятие о правиле Лопиталя | 187 |
| § 4. Формула Тейлора для многочлена | 191 |
| § 5. Бином Ньютона | 193 |
| § 6. Формула Тейлора для функции | 194 |
| § 7. Экстремум функции одной переменной | 195 |
| § 8. Вогнутость и выпуклость графика функции. Точки перегиба | 203 |
| § 9. Приближённое решение уравнений | 206 |
| § 10. Построение графиков функций | 209 |
| Упражнения | 212 |
| |
| Г л а в а XII. Дифференциал | 214 |
| |
| § 1. Понятие о дифференциале функции | 214 |
| § 2. Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал |
| независимой переменной | 216 |
| § 3. Геометрический смысл дифференциала | 218 |
| § 4. Физическое значение дифференциала | 219 |
| § 5. Приближённое вычисление малых приращений функции | 220 |
| § 6. Эквивалентность приращения функции и дифференциала функции | 221 |
| § 7. Свойства дифференциала | 223 |
| § 8. Дифференциалы высших порядков | 226 |
| Упражнения | 228 |
| |
| Г л а в а XIII. Неопределённый интеграл | 229 |
| |
| § 1. Первообразная функция. Неопределённый интеграл | 229 |
| § 2. Основные свойства неопределённого интеграла | 232 |
| § 3. Таблица простейших неопределённых интегралов | 234 |
| § 4. Независимость вида неопределённого интеграла от выбора аргумента | 236 |
| § 5. Понятие об основных методах интегрирования | 238 |
| § 6. Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем | 243 |
| § 7. Интегрирование простейших иррациональностей | 246 |
| § 8. Интегрирование тригонометрических функций | 248 |
| § 9. Интегрирование некоторых трансцендентных функций | 250 |
| § 10. Теорема Коши. Понятие о «неберущихся» интегралах | 250 |
| Упражнения | 251 |
| |
| Г л а в а XIV. Определённый интеграл | 253 |
| |
| § 1. Понятие об определённом интеграле | 253 |
| § 2. Определённый интеграл с переменным верхним пределом | 255 |
| § 3. Геометрический смысл определённого интеграла | 257 |
| § 4. Физический смысл определённого интеграла | 259 |
| § 5. Основные свойства определённого интеграла | 260 |
| § 6. Теорема о среднем | 264 |
| § 7. Интегрирование по частям в определённом интеграле | 266 |
| § 8. Замена переменной в определённом интеграле | 266 |
| § 9. Определённый интеграл как предел интегральной суммы | 268 |
| § 10. Понятие о приближённом вычислении определённых интегралов | 271 |
| § 11. Формула Симпсона | 273 |
| § 12. Несобственные интегралы | 275 |
| Упражнения | 277 |
| |
| Г л а в а XV. Приложения определённого интеграла | 278 |
| |
| § 1. Площадь в прямоугольных координатах | 278 |
| § 2. Площадь в полярных координатах | 281 |
| § 3. Длина дуги в прямоугольных координатах | 283 |
| § 4. Длина дуги в полярных координатах | 288 |
| § 5. Вычисление объёма тела по известным поперечным сечениям | 289 |
| § 6. Объём тела вращения | 291 |
| § 7. Работа переменной силы | 293 |
| § 8. Другие физические приложения определённого интеграла | 294 |
| Упражнения | 296 |
| |
| Г л а в а XVI. Комплексные числа | 299 |
| |
| § 1. Арифметические операции над комплексными числами | 299 |
| § 2. Комплексная плоскость | 300 |
| § 3. Теоремы о модуле и аргументе | 302 |
| § 4. Извлечение корня из комплексного числа | 303 |
| § 5. Понятие функции комплексной переменной | 305 |
| Упражнения | 306 |
| |
| Г л а в а XVII. Определители второго и третьего порядков | 307 |
| |
| § 1. Определители второго порядка | 307 |
| § 2. Система двух однородных уравнений с тремя неизвестными | 309 |
| § 3. Определители третьего порядка | 311 |
| § 4. Основные свойства определителей | 313 |
| § 5. Система трех линейных уравнений | 316 |
| § 6. Однородная система трех линейных уравнений | 318 |
| § 7. Система линейных уравнений с многими неизвестными. Метод Гаусса | 319 |
| Упражнения | 322 |
| |
| Г л а в а XVIII. Элементы векторной алгебры | 324 |
| |
| § 1. Скаляры и векторы | 324 |
| § 2. Сумма векторов | 325 |
| § 3. Разность векторов | 326 |
| § 4. Умножение вектора на скаляр | 326 |
| § 5. Коллинеарные векторы | 327 |
| § 6. Компланарные векторы | 328 |
| § 7. Проекция вектора на ось | 329 |
| § 8. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве | 331 |
| § 9. Длина и направление вектора | 333 |
| § 10. Расстояние между двумя точками пространства | 334 |
| § 11. Действия над векторами, заданными в координатной форме | 335 |
| § 12. Скалярное произведение векторов | 336 |
| § 13. Скалярное произведение векторов в координатной форме | 338 |
| § 14. Векторное произведение векторов | 339 |
| § 15. Векторное произведение в координатной форме | 341 |
| § 16. Смешанное произведение векторов | 342 |
| Упражнения | 344 |
| |
| Г л а в а XIX. Некоторые сведения из аналитической геометрии |
| в пространстве | 345 |
| |
| § 1. Уравнения поверхности и линии в пространстве | 345 |
| § 2. Общее уравнение плоскости | 350 |
| § 3. Угол между плоскостями | 353 |
| § 4. Уравнения прямой линии в пространстве | 353 |
| § 5. Понятие о производной вектор-функции | 357 |
| § 6. Уравнение сферы | 359 |
| § 7. Уравнение эллипсоида | 360 |
| § 8. Уравнение параболоида вращения | 361 |
| Упражнения | 362 |
| |
| Г л а в а XX. Функции нескольких переменных | 364 |
| |
| § 1. Понятие функции от нескольких переменных | 364 |
| § 2. Непрерывность | 367 |
| § 3. Частные производные первого порядка | 369 |
| § 4. Полный дифференциал функции | 371 |
| § 5. Применение дифференциала функции к приближённым вычислениям | 377 |
| § 6. Понятие о производной функции по данному направлению | 378 |
| § 7. Градиент | 380 |
| § 8. Частные производные высших порядков | 384 |
| § 9. Признак полного дифференциала | 385 |
| § 10. Максимум и минимум функции нескольких переменных | 387 |
| §11. Абсолютный экстремум функции | 389 |
| § 12. Построение эмпирических формул по способу наименьших квадратов | 391 |
| Упражнения | 394 |
| |
| Г л а в а XXI. Ряды | 397 |
| |
| § 1. Примеры бесконечных рядов | 397 |
| § 2. Сходимость ряда | 398 |
| § 3. Необходимый признак сходимости ряда | 402 |
| § 4. Признак сравнения рядов | 404 |
| § 5. Признак сходимости Даламбера | 407 |
| § 6. Абсолютная сходимость | 410 |
| § 7. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница | 412 |
| § 8. Степенные ряды | 414 |
| § 9. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов | 416 |
| § 10. Разложение данной функции в степенной ряд | 416 |
| § 11. Ряд Маклорена | 418 |
| § 12. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды |
| некоторых функций | 419 |
| § 13. Применение степенных рядов к приближённым вычислениям | 422 |
| § 14. Ряд Тейлора | 425 |
| § 15. Ряды в комплексной области | 427 |
| § 16. Формулы Эйлера | 428 |
| § 17. Тригонометрические ряды Фурье | 430 |
| § 18. Ряды Фурье чётных и нечётных функций | 438 |
| § 19. Понятие о рядах Фурье непериодических функций | 440 |
| Упражнения | 444 |
| |
| Г л а в а XXII. Дифференциальные уравнения | 446 |
| |
| § 1. Основные понятия | 446 |
| § 2. Дифференциальные уравнения первого порядка | 449 |
| § 3. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными | 450 |
| § 4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка | 456 |
| § 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка | 458 |
| § 6. Понятие о методе Эйлера | 463 |
| § 7. Дифференциальные уравнения второго порядка | 465 |
| § 8. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка | 467 |
| § 9. Случаи понижения порядка дифференциальных уравнений | 472 |
| § 10. Понятие об интегрировании дифференциальных уравнений |
| с помощью степенных рядов дифференциальных уравнений | 474 |
| §11. Общие свойства решений линейных однородных |
| дифференциальных уравнений второго порядка | 475 |
| § 12. Линейные однородные дифференциальные уравнения |
| второго порядка с постоянными коэффициентами | 478 |
| § 13. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения |
| второго порядка с постоянными коэффициентами | 482 |
| § 14. Понятие о дифференциальных уравнениях, содержащих частные |
| производные | 490 |
| § 15. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными | 494 |
| § 16. Вывод уравнения теплопроводности | 495 |
| § 17. Задача о распределении температуры в ограниченном стержне | 497 |
| Упражнения | 500 |
| |
| Г л а в а XXIII. Криволинейные интегралы | 502 |
| |
| § 1. Криволинейный интеграл первого рода | 502 |
| § 2. Криволинейный интеграл второго рода | 504 |
| § 3. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода | 508 |
| § 4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода |
| от вида пути интегрирования | 509 |
| § 5. Работа потенциальной силы | 511 |
| Упражнения | 513 |
| |
| Г л а в а XXIV. Двойные и тройные интегралы | 515 |
| |
| § 1. Понятие двойного интеграла | 515 |
| § 2. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах | 519 |
| § 3. Двойной интеграл в полярных координатах | 525 |
| § 4. Интеграл Эйлера-Пауссона | 528 |
| § 5. Теорема о среднем | 529 |
| § 6. Геометрические приложения двойного интеграла | 531 |
| § 7. Физические приложения двойного интеграла | 532 |
| § 8. Понятие о тройном интеграле | 536 |
| Упражнения | 540 |
| |
| Г л а в а XXV. Основы теории вероятностей | 543 |
| |
| A. Основные определения и теоремы | 543 |
| § 1. Случайные события | 543 |
| § 2. Алгебра событий | 545 |
| § 3. Классическое определение вероятности | 546 |
| § 4. Статистическое определение вероятности | 549 |
| § 5. Теорема сложения вероятностей | 550 |
| § 6. Полная группа событий | 552 |
| § 7. Теорема умножения вероятностей | 552 |
| § 8. Формула полной вероятности | 555 |
| § 9. Формула Бейеса | 556 |
| |
| Б. Повторные независимые испытания | 557 |
| § 10. Элементы комбинаторики | 557 |
| § 11. Биномиальный закон распределения вероятностей | 559 |
| § 12. Локальная теорема Лапласа | 561 |
| § 13. Интегральная теорема Лапласа | 562 |
| § 14. Теорема Пуассона | 566 |
| |
| B. Случайная величина и её численные характеристики | 567 |
| § 15. Случайная дискретная величина и её закон распределения | 567 |
| § 16. Математическое ожидание | 569 |
| § 17. Основные свойства математического ожидания | 570 |
| § 18. Дисперсия | 573 |
| § 19. Непрерывные случайные величины. Функция распределения | 578 |
| § 20. Числовые характеристики непрерывной случайной величины | 581 |
| § 21. Равномерное распределение | 583 |
| § 22. Нормальное распределение | 584 |
| |
| Упражнения | 588 |
| |
| Г л а в а XXVI. Понятие о линейном программировании | 590 |
| |
| § 1. Векторное пространство n измерений | 590 |
| § 2. Множество в n-мерном пространстве | 592 |
| § 3. Задача линейного программирования | 596 |
| |
| Приложения | 602 |
| Важнейшие постоянные | 602 |
| Сводка формул | 602 |
| |
| Ответы | 628 |
| Предметный указатель | 639 |
