| Предисловие редактора перевода | 12 |
| Из предисловия автора | 14 |
| |
| Ч А С Т Ь 1 |
| ДИСКРЕТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ |
| |
| Г л а в а 1. Исчисление разностей | 17 |
 §1.1. Введение и система обозначений | 17 |
| §1.2. Разностный оператор | 19 |
| §1.3. Повторные разности | 21 |
| §1.4. Таблицы разностей | 23 |
| §1.5. Факториалы | 27 |
| §1.6. Деление многочленов | 29 |
| §1.7. Числа Стирлинга первого рода | 32 |
| §1.8. Числа Стирлинга второго рода | 34 |
| §1.9. Пример | 35 |
| §1.10. Альтернативные замечания | 36 |
| §1.11. Общие замечания и справки | 37 |
| Г л а в а 2. Погрешности округления | 37 |
| §2.1. Введение | 37 |
| §2.2. Область ответа | 38 |
| §2.3. Двойная точность | 39 |
| §2.4. Счёт со значащими разрядами | 39 |
| §2.5. Статистический подход | 40 |
| §2.6. Случайное округление | 41 |
| §2.7. Переменная точность | 41 |
| §2.8. Оценка шума в таблице | 41 |
| §2.9. Теория «младшего значащего разряда» | 47 |
| §2.10. Теория «старшего значащего разряда» | 49 |
| §2.11. Анализ распространения ошибки при небольшом вычислении | 52 |
| §2.12. Общие замечания и библиография | 53 |
| Г л а в а 3. Исчисление сумм | 53 |
| §3.1. Введение и система обозначений | 53 |
| §3.2. Формулы суммирования | 56 |
| §3.3. Суммирование по частям | о8 |
| §3.4. Общие замечания | 59 |
| Г л а в а 4. Вычисление бесконечных рядов | 59 |
| §4.1. Введение | 59 |
| §4.2. Метод Куммера | 61 |
| §4.3. Некоторые специальные суммы | 62 |
| §4.4. Метод Эйлера | 62 |
| §4.5. Нелинейное преобразование | 66 |
| §4.6. Степенные ряды | 67 |
| §4.7. Разложение по специальным функциям | 68 |
| §4.8. Интегралы как приближения сумм | 68 |
| §4.9. Дигамма-функция | 69 |
| Г л а в а 5. Уравнения в конечных разностях | 71 |
| §5.1. Система обозначений | 71 |
| §5.2. Пример разностного уравнения первого порядка | 72 |
| §5.3. Пример уравнения второго порядка | 74 |
| §5.4. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами | 75 |
| §5.5. Пример | 76 |
| Г л а в а 6. Конечные ряды Фурье | 78 |
| §6.1. Введение | 78 |
| §6.2. Ортогональность на дискретном множестве точек | 79 |
| §6.3. Точность разложения | 81 |
| §6.4. Вычисление коэффициентов | 83 |
| §6.5. Метод двенадцати ординат | 85 |
| §6.6. Методы с минимумом умножений | 87 |
| §6.7. Разложение по косинусам | 87 |
| §6.8. Локальные ряды Фурье | 88 |
| |
| Ч А С Т Ь II |
| ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ — КЛАССИЧЕСКИЙ |
| ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ |
| |
| Г л а в а 7. Введение в многочленные приближения | 90 |
| §7.1. Ориентация | 90 |
| §7,2. Альтернативные формулировки | 92 |
| §7.3. Узловые точки, информация | 95 |
| §7.4. Класс функций | 96 |
| §7.5. Согласие | 97 |
| §7.6. Точность | 98 |
Г л а в а 8. Интерполяция многочленами. Данные с произвольными
промежутками | 99 |
| §8.1. Философия | 99 |
| §8.2. Интерполяционные многочлены | 99 |
| §8.3. Метод интерполяции Лагранжа | 103 |
| §8.4. Интерполяционная формула Ньютона | 106 |
| §8.5. Другая форма для таблицы разделённых разностей | !09 |
| §8.6. Погрешность многочленной аппроксимации | 110 |
| §8.7. Трудности приближения многочленом | 113 |
| §8.8. О выборе узловых точек | 116 |
| Г л а в а 9. Интерполяция многочленами. Равноотстоящие узлы | 117 |
| §9.1. Формула Ньютона для интерполирования | 117 |
| §9.2. Интерполирование в таблицах | 118 |
| §9.3. Ромбовидная диаграмма | 119 |
| §9.4. Замечания к выведенным формулам | 123 |
| §9.5. Смешанные интерполяционные формулы | 124 |
| Г л а в а 10. Единый метод нахождения интерполяционных формул | 125 |
| §10.1. Введение | 125 |
| §10.2. Несколько типичных формул интегрирования | 127 |
| §10.3. Фиксированные узлы | 132 |
| §10.4. Некоторые примеры формул | 135 |
| §10.5. Значения функции и производной в фиксированных точках | 137 |
| §10.6. Свободные узлы; квадратура Гаусса | 139 |
| §10.7. Смешанный случай | 141 |
| §10.8. Замечания | 142 |
| §10.9. Линейные ограничения на веса | 144 |
| §10.10. Формула Грегори | 147 |
| §10.11. Выводы | 150 |
| Г л а в а 11. О нахождении остаточного члена формулы | 152 |
| §11.1. Потребность в остаточном члене | 152 |
| §11.2. Порядок остаточного члена | 152 |
| §11.3. Функция влияния | 153 |
| §11.4. Случай, когда G(s) имеет постоянный знак | 156 |
| §11.5. Случай, когда функция влияния меняет знак | 158 |
| §11.6. Слабое место в методе рядов Тейлора | 160 |
| Г л а в а 12. Формулы для определённых интегралов | 161 |
| §12.1. Введение | 161 |
| §12.2. Формулы Ньютона-Котеса | 164 |
| §12.3. Использование формулы Грегори | 166 |
| §12.4. Открытые формулы | 168 |
| §12.5. Квадратура Гаусса | 169 |
| §12.6. Формулы интегрирования смешанного гауссового типа | 170 |
| §12.7. Суммирование рядов | 171 |
| §12.8. Эффекты замены переменной | 172 |
| §12.9. Интегралы с параметром | 173 |
| Г л а в а 13. Неопределённые интегралы | 173 |
| §13.1. Описание содержания главы и система обозначений | 173 |
| §13.2. Несколько простых формул для неопределённых интегралов | 175 |
| §13.3. Общий метод | 177 |
| §13.4, Ошибка вследствие отбрасывания членов | 178 |
| §13.5. Устойчивость | 181 |
| §13.6. Шум округления | 184 |
| §13.7. Итоги | 186 |
| §13.8. Некоторые общие замечания | 187 |
| §13.9. Экспериментальная проверка устойчивости | 189 |
| §13.10. Пример интеграла свёртки, иллюстрирующий идею устойчивости | 189 |
| Г л а в а 14. Введение в дифференциальные уравнения | 191 |
| §14.1. Природа и смысл дифференциальных уравнений | 191 |
| §14.2. Поле направлений | 192 |
| §14.3. Численное решение | 193 |
| §14.4. Пример | 195 |
| §14.5. Устойчивость метода простого прогноза | 197 |
| §14.6. Устойчивость коррекции | 198 |
| §14.7. Несколько общих замечаний | 200 |
| §14.8. Системы уравнений | 201 |
| Г л а в а 15. Общая теория методов прогноза и коррекции | 202 |
| §15.1. Введение | 202 |
| §15.2. Ошибка от отбрасывания членов | 204 |
| §15.3. Устойчивость | 205 |
| §15.4. Помехи округления | 209 |
| §15.5. Прогноз по трем точкам | 209 |
| §15.6. Прогнозы типа Милна | 210 |
| §15.7. Прогнозы типа Адамса-Башфорта | 212 |
| §15.8. Общие замечания о выборе метода | 213 |
| §15.9. Выбор прогноза | 214 |
| §15.10. Некоторые формулы | 215 |
| §15.11. Выбор шага и оценка точности | 216 |
| §15.12. Экспериментальная проверка | 219 |
Г л а в а 16. Специальные методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений | 220 |
| §16.1. Введение и общее описание | 220 |
| §16.2. Методы Рунге-Кутта | 221 |
| §16.3. Методы для уравнения второго порядка, когда отсутствует у' | 222 |
| §16.4. Линейные уравнения | 224 |
| §16.5. Метод, который использует значения у, у' и у'' | 225 |
| §16.6. Случай, когда решение трудно аппроксимировать многочленом | 226 |
| §16.7. Краевые задачи | 229 |
| Г л а в а 17, Метод наименьших квадратов. Теория | 232 |
| §17.1. Введение | 232 |
| §17.2. Метод наименьших квадратов | 232 |
| §17.3. Другие критерии | 234 |
| §17.4. Ошибки с нормальным распределением | 234 |
| §17.5. Проведение подходящего многочлена | 237 |
| §17.6. Ортогональные функции | 240 |
| §17.7. Общие свойства ортогональных функций | 242 |
| §17.8. Неравенство Бесселя и полнота | 244 |
| §17.9. Метод наименьших квадратов и коэффициенты Фурье | 245 |
| §17.10. Ортогональные многочлены | 247 |
| §17.11. Классические ортогональные многочлены | 249 |
§17.12. Сравнение метода наименьших квадратов и разложения в
степенные ряды | 250 |
§17.13. Метод наименьших квадратов с ограничениями
продолжение примера из §1.9 | 251 |
| §17.14. Последние замечания о методе наименьших квадратов | 252 |
| Г л а в а 18. Метод наименьших квадратов. Практика | 252 |
| §18.1. Общие замечания о многочленном случае | 252 |
| §18.2. Трёхчленное рекуррентное соотношение | 253 |
| §18.3. Построение квазиортогональных многочленов | 255 |
| §18.4. НемногочленныЙ случай | 255 |
| §18.5. Нелинейные параметры | 256 |
| Г л а в а 19. Многочлены Чебышева | 257 |
| §19.1. Введение | 257 |
| §19.2. Некоторые тождества | 259 |
| §19.3. Критерий Чебышева | 260 |
| §19.4. Экономизация | 262 |
| §19.5. Механизация процесса экономизации | 263 |
| §19.6. Смещенные многочлены Чебышева | 265 |
| §19.7. τ-процесс Ланцоша | 266 |
| §19.8. Видоизменение τ-метода | 268 |
| §19.9. Несколько замечаний о чебышевском приближении | 270 |
| §19.10. Критерий совпадения моментов | 270 |
| Г л а в а 20. Рациональные функции | 272 |
| §20.1. Введение | 272 |
| §20.2. Непосредственный подход | 273 |
| §20.3. Чебышевское приближение рациональными функциями | 274 |
| §20.4. Обратные разности (симметричные) | 275 |
| §20.5. Пример | 278 |
| |
| Ч А С Т Ь III |
| НЕМНОГОЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ |
| |
| Г л а в а 21. Периодические функции. Аппроксимация Фурье | 280 |
| §21.1. Цель этой теории | 280 |
| §21.2. Замена переменных и выбор узлов | 281 |
| §21.3. Ряды Фурье; периодические явления | 282 |
| §21.4. Интерполяция периодических функций | 285 |
| §21.5. Интегрирование | 288 |
| §21.6. Метод общего оператора | 290 |
| §21.7. Несколько замечаний относительно общего метода | 293 |
| Г л а в а 22. Сходимость рядов Фурье | 294 |
| §22.1. Сходимость степенных рядов и рядов Фурье | 294 |
| §22.2. Функции с простым разрывом | 295 |
| §22.3. Функция, имеющая непрерывные производные более высокого порядка | 297 |
| §22.4. Улучшение сходимости ряда Фурье | 298 |
| §22.5. Спектр мощности | 299 |
| §22.6. Явление Гиббса | 300 |
| §22.7. Сигма-множители Ланцоша | 301 |
| §22.8. Сравнение методов сходимости | 303 |
| §22.9. Техника дифференцирования по Ланцошу | 304 |
| Г л а в а 23. Непериодические функции. Интеграл Фурье | 305 |
| §23.1. Цель главы | 305 |
| §23.2. Обозначения и краткое изложение результатов | 306 |
| §23.3. Интеграл Фурье | 310 |
| §23.4. Преобразование Фурье некоторых функций | 311 |
| §23.5. функции с ограниченным спектром и теорема выборки | 313 |
| §23.6. Теорема свёртки | 315 |
| §23.7. Эффект конечного суммирования | 316 |
| Г л а в а 24. Линейные фильтры. Сглаживание и дифференцирование | 317 |
| §24.1. Введение | 317 |
| §24.2. Пример простого сглаживающего фильтра | 318 |
| §24.3. Пример построения фильтра | 319 |
| §24.4. Фильтры вообще | 320 |
| §24.5. Анализ простых формул для дифференцирования | 321 |
| §24.6. Как избежать вычисления производных? | 322 |
| §24.7. Метод Филона | 323 |
| §24.8. Заключительные замечания | 325 |
| Г л а в а 25. Интегралы и дифференциальные уравнения | 326 |
| §25.1. Содержание главы | 326 |
| §25.2. Метол передаточной функции для интегрирования | 327 |
| §25.3. Общие формулы интегрирования | 331 |
| §25.4. Дифференциальные уравнения | 332 |
| §25.5. Построение фильтров по методу Чебышева | 334 |
| §25.6. Некоторые детали метода Чебышева | 336 |
| Г л а в а 26. Экспоненциальная аппроксимация | 340 |
| §26.1. Введение | 340 |
§26.2. О нахождении формул, использующих экспоненты, когда
показатели экспонент известны | 340 |
| §26.3. Неизвестные показатели | 342 |
| §26.4. Предупреждения | 343 |
| §26.5. Экспоненты и многочлены | 344 |
| §26.6. Остаточные члены | 344 |
| Г л а в а 27. Особенности | 344 |
| §27.1. Введение | 344 |
| §27.2. Пример интеграла с особенностью в бесконечности | 345 |
| §27,3. Особенность в линейном дифференциальном уравнении | 346 |
| §27.4. Общие замечания | 349 |
| |
| Ч А С Т Ь IV |
| АЛГОРИТМЫ И ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ |
| |
| Г л а в а 28. Нахождение нулей | 350 |
| §28.1. Алгоритмы и эвристические методы | 350 |
| §28.2. Метод деления пополам для нахождения корня функции | 351 |
| §28.3. Линейная интерполяция | 352 |
| §28.4. Параболическая интерполяция | 352 |
| §28.5. Некоторые общие замечания | 353 |
| §28.6. Метод Берстоу для нахождения комплексных корней многочлена | 355 |
| Г л а в а 29. Системы линейных алгебраических уравнений | 359 |
| §29.1. Введение | 359 |
| §29.2. Метод исключения Гаусса | 360 |
| §29.3. Варианты метода Гаусса | 362 |
| §29.4. Метод Гаусса-Зайделя | 363 |
| §29.5. Повышенная точность | 364 |
| §29.6. Общие замечания | 364 |
| Г л а в а 30. Обращение матриц и собственные значения | 365 |
| §З0.1. Введение | 365 |
| §30.2. Обращение матрицы методом исключения по Гауссу | 365 |
| §30.3. Задача нахождения собственных значений | 366 |
| §30.4. Наименьшие собственные значения | 368 |
| §30.5. Несколько замечаний | 368 |
| Г л а в а 31. Некоторые примеры моделирования | 369 |
| §31.1. Введение | 369 |
| §31.2. Простой пример дискретного моделирования | 370 |
| §31.3. Пример моделирования складских операций | 374 |
| §31.4. Трёхмерные крестики-нолики | 375 |
| §31.5. Общие замечания о дискретном моделировании | 379 |
| §31.6. Непрерывное моделирование | 380 |
| Г л а в а 32. Случайные числа и методы Монте-Карло | 381 |
| §32.1. Понятие случайного числа | 381 |
§32.2. Генерирование случайных чисел в машине, работающей в
двоичной системе | 382 |
| §32.3. Генерирование случайных чисел на десятичной машине | 386 |
| §32.4. Другие распределения | 386 |
| §32.5. Метод Монте-Карло | 388 |
| §32.6. Еще одна иллюстрация метода Монте-Карло | 3S9 |
| §32.7. Метод жулика | 390 |
| Г л а в а N+1. Искусство вычислять для инженеров и учёных | 391 |
| § N+1.1. Важность вопроса | 391 |
| § N+1.2. Что мы собираемся делать с ответом? | 392 |
| § N+1.3. Что мы знаем? | 393 |
| § N+1.4. Обдумывание вычислений | 394 |
| § N+1.5. Повторение предыдущих шагов | 395 |
| § N+1.6. Оценка усилий, необходимых для решения задачи | 395 |
| § N+1.7. Изменения первоначального плана | 396 |
| § N+1.8. Философия | 397 |
| § N+1.9. Заключительные замечания | 398 |
| |
| Литература | 399 |
