Книга посвящена теории дифференциальных уравнений — той отрасли математики, которая находит чрезвычайно широкие и многообразные применения в физике и технике. Её автор, крупнейший итальянский математик Ф. Дж. Трикоми, хорошо известен советскому читателю по переводам трёх его монографий: «Уравнения смешанного типа», «Лекции по уравнениям в частных производных» и «Интегральные уравнения». Книга, предлагаемая вниманию читателя, написана со свойственными автору простотой, ясностью и изяществом. Тщательный отбор материала и продуманность изложения позволяют при сравнительно небольшом объёме осветить многие важные задачи, идеи, методы и результаты современной теории дифференциальных уравнений, которые обычно опускаются в общих курсах.

Книга написана весьма просто. Она может служить пособием для студентов и аспирантов математиков и физиков, а также для инженеров. Немало интересного найдут в ней и специалисты-математики.

Книга такого рода, как эта, может иметь две различные и почти несовместимые цели. Она может быть справочником, содержащим краткий обзор всех направлений в данной области и обширную библиографию. С другой стороны, она может быть учебником, который предназначен для того, чтобы дать студенту ясное представление об идеях и методах в теории дифференциальных уравнений, являющейся одной из важнейших ветвей анализа.

При написании данного курса имелась в виду вторая из этих целей, так как в хороших современных справочниках нет недостатка. Книга выросла из университетских курсов, прочитанных автором, и не претендует на полноту. В ней рассмотрены только те вопросы, которые можно было изложить со строгостью и одновременно с простотой; число таких вопросов ограничено также условием, чтобы они не требовали математических познаний, отсутствующих у студентов третьего — четвёртого курсов.

Недостаток места заставил меня ограничиться обыкновенными дифференциальными уравнениями (уравнения с частными производными не рассматриваются) и исключить так называемые элементарные методы интегрирования (разделение переменных, интегрирование линейных уравнений первого порядка, линейные уравнения с постоянными коэффициентами и т. п.). Содержание книги ясно из подробного оглавления. Глава I является вводной для последующих; главу II, главы III и IV вместе и главу V (единственную, в которой требуется некоторое знание теории функций комплексного переменного) можно читать независимо друг от друга.

Те читатели, которые знакомы с основными математическими интересами автора, могут быть удивлены тем, что в книге совсем не упоминаются операционные методы, в частности, интегрирование с помощью определённых интегралов. Однако это потребовало бы больше места, чем имеется в нашем распоряжении, тогда как сейчас имеются хорошо известные книги Дёча, Гиццетти и другие, посвящённые приложению символических методов (т. е. преобразованию Лапласа) и дифференциальным уравнениям применительно к теоретической электротехнике или другим специальным отраслям.

В процессе изложения я старался всё время подчёркивать, что в современной теории дифференциальных уравнений основной целью является вывод свойств решений непосредственно из уравнения, тогда как ранее целью было явное интегрирование уравнения. Трудные случаи всегда сложны, когда с ними имеют дело в их наиболее общей форме; но если ограничиться простейшими случаями, то можно ясно показать фундаментальные идеи, лежащие в основе применяемых методов.

Читатель, являющийся знатоком в данной области, оценить пользу и простоту замены переменных Прюфера при выводе теоремы существования для собственных значений (глава III), вывод асимптотического представления решений линейных уравнений второго порядка (глава IV), а также изучение характеристик для уравнений первого порядка (глава II) — при столь малых ограничениях, как здесь, этот последний вопрос впервые появляется в учебнике.

Я хотел бы указать, далее, что при «асимптотическом интегрировании» линейных уравнений по методу Пуанкаре (глава V) я смог устранить то ограничение, что независимая переменная должна стремиться к бесконечности, принимая вещественные значения; это позволило мне получить классические асимптотические ряды для функций Бесселя способом, который трудно улучшить.

Я надеюсь, что эта книга окажется полезной, в частности, студентам, для которых она предназначается.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИТАЛЬЯНСКОМУ ИЗДАНИЮ
Ф. Дж. Т.
Турин, осень 1946 г.

Книги на ту же тему

1. Качественная теория дифференциальных уравнений, Немыцкий В. В., Степанов В. В., 1947
2. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 4-е изд., испр., Камке Э., 1971
3. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
4. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 5-е изд., доп., Петровский И. Г., 1964
5. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Федорюк М. В., 1980
6. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие для вузов. — 6-е изд., стер., Филиппов А. Ф., 1985
7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
9. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, Холл Д., Уатт Д., ред., 1979
10. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
11. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
12. Асимптотические методы нелинейной механики, Моисеев Н. Н., 1969
13. Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
14. Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
15. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
16. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Варга Д., 1977