| Предисловие ко второму изданию | 6 |
| |
| Г л а в а I. Общие теоремы об эллиптических функциях | 7 |
| |
| 1. О периодах однозначных аналитических функций | 7 |
| 2. Доказательство теоремы Якоби | 9 |
| 3. Тэта-функции | 11 |
| 4. Теоремы Лиувилля | 14 |
| 5. Функция Вейерштрасса ℑ(u) | 18 |
| 6. Дифференциальное уравнение функции ℑ(u) | 22 |
| |
| Г л а в а II. Модулярная функция | 26 |
| |
| 7. Инварианты | 26 |
| 8. Модулярные формы | 31 |
| 9. Фундаментальная область группы Σ | 36 |
| 10. Модулярная функция J(τ) | 42 |
| 11. Обращение эллиптических интегралов первого рода | 49 |
| |
| Г л а в а III. Функции Вейерштрасса | 52 |
| |
| 12. Функция Вейерштрасса ς(u) | 52 |
| 13. Функция Вейерштрасса σ(u) | 54 |
| 14. Выражение произвольной эллиптической функции посредством функции |
 σ(u) и посредством функции ς(u) | 56 |
| 15. Теоремы сложения функций Вейерштрасса | 59 |
| 16. Представление всякой эллиптической функции через функции |
| ℑ(u) и ℑ'(u) | 62 |
| 17. Эллиптические интегралы | 65 |
| |
| Г л а в а IV. Тэта-функции | 71 |
| |
| 18. Представление тэта-функций бесконечными произведениями | 71 |
| 19. Связь между сигма-функциями и тэта-функциями | 75 |
| 20. Разложение функций ς(u) и ℑ(u) в простые ряды | 77 |
| 21. Выражение величин e1, e2, e3 через нулевые значения |
| тэта-функций | 79 |
| 22. Преобразование тэта-функций | 81 |
| 23. Модулярная функция λ(τ) | 83 |
| |
| Г л а в а V. Функции Якоби | 91 |
| |
| 24. Эллиптический интеграл первого рода в форме Якоби и Римана | 91 |
| 25. Функции Якоби | 94 |
| 26. Дифференцирование функций Якоби | 98 |
| 27. Якобиева функция Z(w) | 100 |
| 28. Теорема Эйлера | 102 |
| 29. Нормальные эллиптические интегралы второго и третьего рода в |
| форме Якоби | 105 |
| 30. Полные эллиптические интегралы первого рода | 108 |
| 31. Полные эллиптические интегралы второго рода | 112 |
| 32. Вырождение эллиптических функций | 114 |
| 33. Простой маятник | 117 |
| |
| Г л а в а VI. Преобразование эллиптических функций | 122 |
| |
| 34. Проблема преобразования эллиптических функций | 122 |
| 35. Редукция общей проблемы | 125 |
| 36. Первое главное преобразование первой степени | 129 |
| 37. Второе главное преобразование первой степени | 132 |
| 38. Преобразование Ландена | 133 |
| 39. Преобразование Гаусса | 134 |
| 40. Главные преобразования n-й степени | 136 |
| |
| Г л а в а VII. Дополнительные сведения об эллиптических интегралах | 140 |
| |
| 41. Эллиптические кривые общего вида | 140 |
| 42. Функция ℑ(u) с вещественными инвариантами | 144 |
| 43. Приведение эллиптических интегралов к нормальному виду Якоби в |
| вещественном случае | 147 |
| 44. Полные эллиптические интегралы как гипергеометрические функции | 151 |
| 45. Вычисление h по заданному модулю k | 158 |
| 46. Арифметико-геометрическое среднее | 160 |
| |
| Г л а в а VIII. Некоторые конформные отображения | 163 |
| |
| 47. Конформное отображение прямоугольника на полуплоскость | 163 |
| 48. Конформное отображение на круговое кольцо двусвязной |
| многоугольной области | 173 |
| 49. Примеры конформных отображений | 181 |
| |
| Г л а в а IX. Экстремальные свойства дробей, к которым приводит |
| преобразование эллиптических функций | 193 |
| |
| 50. Постановка задач | 193 |
| 51. Решение задачи C | 202 |
| |
| Г л а в а X. Обобщение чебышевских полиномов | 208 |
| |
| 52. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля | 208 |
| 53. Ортогональные многочлены на двух интервалах | 215 |
| |
| Г л а в а XI. Различные дополнения и приложения | 223 |
| |
| 54. Теорема Абеля | 223 |
| 55. Функция Грина для кругового кольца | 232 |
| 56. Проблема Дирихле для кругового кольца | 235 |
| 57. Эллиптические координаты | 241 |
| 58. Уравнение Лапласа в эллиптических координатах | 248 |
| 59. Уравнение Лямэ | 250 |
| 60. Теоремы Пикара о мероморфных функциях | 255 |
| 61. Теорема Ландау | 257 |
| 62. О мероморфных функциях, обладающих алгебраической теоремой |
| сложения | 260 |
| 63. О рядах Фурье аналитических функций | 262 |
| |
| Таблицы важнейших формул | 268 |
| Таблицы значений эллиптических интегралов | 288 |
| Литература | 304 |
