Книга представляет систематическое изложение теории эллиптических функций и некоторых её приложений. Основное содержание предназначено для инженеров, которым приходится применять эллиптические функции. Чтение книги не должно вызывать затруднений у лиц, знающих элементы математического анализа и теории функций в объёме первых пяти семестров физико-математических факультетов университетов и высших технических учебных заведений с повышенной программой по математике.

Рисунков 24, таблиц 27, библиографических ссылок 17

Основное содержание этой книги, как и её первого издания, вышедшего в 1948 году, предназначено для инженеров, которым приходится применять эллиптические функции.

При подготовке второго издания я в ряде мест улучшил первоначальный текст.

Добавлены числовые таблицы [заимствованные из польского перевода книги Oberhettinger — Magnus «Anwendung der elliptischen Funktionen in Physik und Technik» (Warszawa, 1963)]. Кроме того, добавлена небольшая глава (десятая), посвящённая обобщениям чебышевских полиномов. В ней эллиптические функции применяются к решению некоторых задач конструктивной теории функций, и, следовательно, эта глава является продолжением главы девятой, в которой изложены известные исследования П. Л. Чебышева и Е. И. Золотарева.

Хочу здесь с благодарностью вспомнить моего покойного друга Всеволода Константиновича Балтага, который прочел рукопись первого издания и сделал ряд полезных замечаний.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Автор

Предисловие ко второму изданию	6

Г л а в а I. Общие теоремы об эллиптических функциях	7

1. О периодах однозначных аналитических функций	7
2. Доказательство теоремы Якоби	9
3. Тэта-функции	11
4. Теоремы Лиувилля	14
5. Функция Вейерштрасса ℑ(u)	18
6. Дифференциальное уравнение функции ℑ(u)	22

Г л а в а II. Модулярная функция	26

7. Инварианты	26
8. Модулярные формы	31
9. Фундаментальная область группы Σ	36
10. Модулярная функция J(τ)	42
11. Обращение эллиптических интегралов первого рода	49

Г л а в а III. Функции Вейерштрасса	52

12. Функция Вейерштрасса ς(u)	52
13. Функция Вейерштрасса σ(u)	54
14. Выражение произвольной эллиптической функции посредством функции
σ(u) и посредством функции ς(u)	56
15. Теоремы сложения функций Вейерштрасса	59
16. Представление всякой эллиптической функции через функции
ℑ(u) и ℑ'(u)	62
17. Эллиптические интегралы	65

Г л а в а IV. Тэта-функции	71

18. Представление тэта-функций бесконечными произведениями	71
19. Связь между сигма-функциями и тэта-функциями	75
20. Разложение функций ς(u) и ℑ(u) в простые ряды	77
21. Выражение величин e₁, e₂, e₃ через нулевые значения
тэта-функций	79
22. Преобразование тэта-функций	81
23. Модулярная функция λ(τ)	83

Г л а в а V. Функции Якоби	91

24. Эллиптический интеграл первого рода в форме Якоби и Римана	91
25. Функции Якоби	94
26. Дифференцирование функций Якоби	98
27. Якобиева функция Z(w)	100
28. Теорема Эйлера	102
29. Нормальные эллиптические интегралы второго и третьего рода в
форме Якоби	105
30. Полные эллиптические интегралы первого рода	108
31. Полные эллиптические интегралы второго рода	112
32. Вырождение эллиптических функций	114
33. Простой маятник	117

Г л а в а VI. Преобразование эллиптических функций	122

34. Проблема преобразования эллиптических функций	122
35. Редукция общей проблемы	125
36. Первое главное преобразование первой степени	129
37. Второе главное преобразование первой степени	132
38. Преобразование Ландена	133
39. Преобразование Гаусса	134
40. Главные преобразования n-й степени	136

Г л а в а VII. Дополнительные сведения об эллиптических интегралах	140

41. Эллиптические кривые общего вида	140
42. Функция ℑ(u) с вещественными инвариантами	144
43. Приведение эллиптических интегралов к нормальному виду Якоби в
вещественном случае	147
44. Полные эллиптические интегралы как гипергеометрические функции	151
45. Вычисление h по заданному модулю k	158
46. Арифметико-геометрическое среднее	160

Г л а в а VIII. Некоторые конформные отображения	163

47. Конформное отображение прямоугольника на полуплоскость	163
48. Конформное отображение на круговое кольцо двусвязной
многоугольной области	173
49. Примеры конформных отображений	181

Г л а в а IX. Экстремальные свойства дробей, к которым приводит
преобразование эллиптических функций	193

50. Постановка задач	193
51. Решение задачи C	202

Г л а в а X. Обобщение чебышевских полиномов	208

52. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля	208
53. Ортогональные многочлены на двух интервалах	215

Г л а в а XI. Различные дополнения и приложения	223

54. Теорема Абеля	223
55. Функция Грина для кругового кольца	232
56. Проблема Дирихле для кругового кольца	235
57. Эллиптические координаты	241
58. Уравнение Лапласа в эллиптических координатах	248
59. Уравнение Лямэ	250
60. Теоремы Пикара о мероморфных функциях	255
61. Теорема Ландау	257
62. О мероморфных функциях, обладающих алгебраической теоремой
сложения	260
63. О рядах Фурье аналитических функций	262

Таблицы важнейших формул	268
Таблицы значений эллиптических интегралов	288
Литература	304

Книги на ту же тему

Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1967
Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
Асимптотические методы нелинейной механики, Моисеев Н. Н., 1969
Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990

elapsed time 0.021 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему