Настоящее издание содержит изложенную в справочной форме ту часть астрономии и механики, которую принято называть классической и прикладной небесной механикой. Справочник состоит из девяти частей, из которых части II, III, IV, V, VII и IX охватывают классическую небесную механику: теорию невозмущённого и возмущённого движений небесных тел, аналитические, качественные и численные методы небесной механики. В них включены основные результаты, имеющие к настоящему времени законченный характер, различные формы основных уравнений, различные системы координат и элементов, типичных для небесной механики.

Часть VI охватывает основные вопросы актуального современного направления небесной механики — теории движения искусственных спутников Земли и связанной с ней теории гравитационного потенциала Земли. Содержание VIII части составляют основные уравнения, методы и некоторые результаты астродинамики — механики космического полёта.

Особняком находится часть I справочника «Основные понятия и формулы сферической и эфемеридной астрономии». В ней изложены те сведения из астрономии, с которыми чаще всего приходится встречаться специалистам, работающим в области динамики космического полёта.

Количество иллюстраций — 78, библиографических ссылок — 457

В последние годы появилось довольно много отечественных и переводных изданий, предназначенных для широкого круга научных и инженерно-технических работников, занимающихся классической и современной небесной механикой и астродинамикой, а также для студентов и аспирантов, специализирующихся в этих научных направлениях. Читателя, желающего приобрести глубокие и систематические знания в этой области науки, мы отсылаем прежде всего к двухтомному изданию Г. Н. Дубошина «Небесная механика», посмертно изданному сочинению М. Ф. Субботина «Введение в теоретическую астрономию», «Аналитическим и численным методам небесной механики» Г. А. Чеботарева, а также к переведённым на русский язык «Методам небесной механики» Д. Брауэра и Дж. Клеменса, «Аналитическим основам небесной механики» А. Уинтнера и другим работам.

Предлагаемый справочник преследует иную цель. По замыслу авторов он должен выполнять функции «оперативного помощника» в практической повседневной работе уже сложившегося специалиста. Именно эта идея и была положена в основу справочника; поэтому его содержание составляют основные уравнения движения небесных тел для различных систем координат и оскулирующих элементов, методы и результаты небесной механики и астродинамики, приведённые без подробных выкладок и выводов. Мы ограничивались только минимальным количеством необходимых пояснений и комментариев.

Мы сочли необходимым включить в настоящее издание не относящиеся по традиции к небесной механике основные соотношения и формулы сферической и эфемеридной астрономии, необходимые в расчётах по небесной механике и астродинамике, новую систему астрономических постоянных, утверждённую Международным Астрономическим союзом в 1964 г., различные системы счёта времени, а также основы вариационного исчисления и математической теории оптимальных процессов, на которых базируются методы решения астродинамических задач. Эти вопросы составляют содержание частей I и VIII.

Остальные части Справочника посвящены традиционным аналитическим, численным и качественным методам классической и современной небесной механики.

Мы разделили работу между собой следующим образом: В. К. Абалакиным написаны части I и § 10.02 из части IV, Е. П. Аксеновым — части II и VI, Е. А. Гребениковым — главы 1—8 из части IV, части V, VIII, IX, Ю. А. Рябовым — части III и VII, а также главы 9—12 из части IV (за исключением § 10.02)…

ПРЕДИСЛОВИЕ
Авторы

Предисловие	13

Ч А С Т Ь I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ И ЭФЕМЕРИДНОЙ АСТРОНОМИИ (АБАЛАКИН В. К.)

Г л а в а 1. Системы координат	15

§ 1.01. Небесная сфера	15
§ 1.02. Главнейшие круги, линии и точки небесной сферы	16
§ 1.03. Горизонтальная система координат	18
§ 1.04. Экваториальные системы координат	19
§ 1.05. Эклиптическая система координат	21
§ 1.06. Галактическая система координат	22
§ 1.07. Основные формулы сферической тригонометрии	23
§ 1.08. Формулы перехода в различных астрономических системах
координат	29
§ 1.09. Прямоугольные системы координат	31
§ 1.10. Системы географических координат	38
§ 1.11. Соотношения между астрономическими и геодезическими
координатами	42
§ 1.12. Планетоцентрические системы координат	49
§ 1.13. Марсоцентрическая и ареографическая системы координат	53
§ 1.14. Юпитероцентрическая и зенографическая системы координат	56
§ 1.15. Сатурноцентрическая система координат	58
§ 1.16. Луноцентрическая и селенографическая системы координат	58
§ 1.17. Орбитальная система координат	64
§ 1.18. Объектоцентрическая система координат	67

Г л а в а 2. Редукционные вычисления	69

§ 2.01. Прецессия	69
§ 2.02. Редукция звёздных положений с учётом прецессии и
собственного движения	73
§ 2.03. Нутация	75
§ 2.04. Годичная аберрация	79
§ 2.05. Сводка основных формул редукции звёздных положений	81
§ 2.06. Учёт влияния членов второго порядка	83
§ 2.07. Годичный параллакс	83
§ 2.08. Точные формулы для учёта прецессии	84
§ 2.09. Формулы учёта прецессии в прямоугольных экваториальных
координатах	85
§ 2.10. Формулы учёта прецессии в прямоугольных эклиптических
координатах	86
§ 2.11. Совместный учёт прецессии и нутации в прямоугольных
экваториальных координатах	87
§ 2.12. Формулы учёта прецессии в координатах и элементах орбит при
умеренных и малых разностях эпох	89
§ 2.13. Аберрация света	91
§ 2.14. Параллакс	95
§ 2.15. Учёт суточного параллакса в горизонтальной системе координат	97
§ 2.16. Формулы учёта суточного параллакса в экваториальной системе
координат	98
§ 2.17. Формулы учёта суточного параллакса в координатах Солнца и
планет	100
§ 2.18. Формулы учёта суточного параллакса в системе эклиптических
координат	102
§ 2.19. Астрономическая рефракция	103
§ 2.20. Формулы учёта рефракции в координатах небесных объектов	107
§ 2.21. Рефракция при наблюдении небесных объектов, расположенных на
конечных расстояниях от Земли	109
§ 2.22. Дифференциальная прецессия и нутация. Дифференциальная
аберрация и дифференциальный параллакс	110
§ 2.23. Сравнение теории с наблюдениями	112
§ 2.24. Каталоги звёздных положений	115

Г л а в а 3. Время и его измерение	117

§ 3.01. Основные понятия и определения	117
§ 3.02. Звёздное и солнечное время. Всемирное время	120
§ 3.03. Квазиравномерное всемирное время	124
§ 3.04. Связь между всемирным временем и звёздным гринвичским
временем	125
§ 3.05. Эфемеридное время	129
§ 3.06. Поправка за эфемеридное время	132
§ 3.07. Атомное время	134
§ 3.08. Юлианский период. Юлианские дни	135

Г л а в а 4. Астрономические постоянные	138

§ 4.01. Новая система астрономических постоянных (система
астрономических постоянных MAC 1964)	139
§ 4.02. Задачи астродинамики и астрономические постоянные	146
§ 4.03. Результаты радиолокационных определений астрономической
единицы в км	146
§ 4.04. Значения масс больших планет	147
§ 4.05. Астродинамические характеристики тел Солнечной системы	148
§ 4.06. Астродинамические постоянные, связанные с Землёй	151
§ 4.07. Астродинамические постоянные, связанные с Луной	153
§ 4.08. Либрация Луны	155

Литература	159

Ч А С Т Ь II
*ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ (АКСЕНОВ Е. П.)*

Г л а в а 1. Общая теория невозмущённого кеплеровского движения	161

§ 1.01. Постановка задачи. Различные формы дифференциальных
уравнений движения	161
§ 1.02. Первые интегралы уравнений невозмущённого кеплеровского
движения	164
§ 1.03. Типы невозмущённого кеплеровского движения	166
§ 1.04. Элементы орбиты	168
§ 1.05. Формулы, связывающие постоянные интегрирования и элементы орбиты	170

Г л а в а 2. Основные формулы невозмущённого кеплеровского движения	171

§ 2.01. Эллиптическое движение	171
§ 2.02. Круговое движение	174
§ 2.03. Гиперболическое движение	175
§ 2.04. Параболическое движение	177
§ 2.05. Прямолинейное движение	179
§ 2.06. Вычисление эфемерид планет и комет	180

Г л а в а 3. Разложение координат невозмущённого кеплеровского
движения в ряды	181

§ 3.01. Разложение функций эксцентрической аномалии в
тригонометрические ряды по кратным средней аномалии	181
§ 3.02. Разложение функций истинной аномалии в тригонометрические
ряды по кратным средней аномалии	184
§ 3.03. Первые члены рядов по кратным средней аномалии для некоторых
функций	185
§ 3.04. Тригонометрические ряды по кратным эксцентрической аномалии	186
§ 3.05. Ряды по кратным истинной аномалии	188
§ 3.06. Разложения координат невозмущённого кеплеровского движения в
ряды по степеням времени	189
§ 3.07. Степенные ряды в случае эллиптического движения	191

Литература	192

Ч А С Т Ь III
*МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ (РЯБОВ Ю. А.)*

Г л а в а 1. Вычисление координат эллиптического движения по
элементам орбиты	194

§ 1.01. Вычисление орбитальных координат в случае эллиптической или
гиперболической орбит	194
§ 1.02. Вычисление орбитальных координат в случае параболической
орбиты	195
§ 1.03. Вычисление орбитальных координат в случае орбит,
эксцентриситет которых близок к единице	195
§ 1.04. Вычисление гелиоцентрических прямоугольных эклиптических и
экваториальных координат	196

Г л а в а 2. Определение орбит	197

§ 2.01. Определение гелиоцентрических положений по трём
геоцентрическим наблюдениям в случае эллиптической или
гиперболической орбит	197
§ 2.02. Особые случаи, встречающиеся при вычислении
гелиоцентрических координат	201
§ 2.03. Определение гелиоцентрических положений по четырём
геоцентрическим наблюдениям в случае эллиптической или
гиперболической орбит	202
§ 2.04. Определение гелиоцентрических положений по трём
геоцентрическим наблюдениям в случае параболической орбиты	204
§ 2.05. Вычисление элементов эллиптической орбиты по двум
гелиоцентрическим положениям	206
§ 2.06. Определение элементов гиперболической орбиты по двум
гелиоцентрическим положениям	209
§ 2.07. Определение элементов параболической орбиты по двум
гелиоцентрическим положениям	209
§ 2.08. Вычисление элементов гелиоцентрической орбиты по положению и
скорости в начальный момент	210

Г л а в а 3. Улучшение первоначальной орбиты	212

§ 3.01. Дифференциальное исправление орбит. Постановка задачи	212
§ 3.02. Выражения для производных от координат по элементам (или по
функциям элементов)	214

Г л а в а 4. Определение и улучшение элементов орбит искусственных
спутников Земли	220

§ 4.01. Определение элементов орбит ИСЗ по положению и скорости в
момент выхода на орбиту	220
§ 4.02. Определение предварительных элементов орбиты ИСЗ по
наблюдениям	222
§ 4.03. Улучшение орбит ИСЗ	224

Литература	224

Ч А С Т Ь IV
*ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЁННОГО ДВИЖЕНИЯ (ГРЕБЕНИКОВ Е. А., РЯБОВ Ю. А.)*

Г л а в а 1. Дифференциальные уравнения движения задачи n тел.
Возмущающая функция. Первые интегралы	225

§ 1.01. Уравнения абсолютного движения	225
§ 1.02. Уравнение Лагранжа-Якоби	227
§ 1.03. Уравнения движения в барицентрических прямоугольных
координатах	227
§ 1.04. Уравнения движения в координатах Якоби	228
§ 1.05. Уравнения относительного движения в прямоугольных
координатах	23)
§ 1.06. Уравнения движения в идеальных прямоугольных координатах
Ганзена	232
§ 1.07. Уравнения абсолютного движения в цилиндрических координатах	234
§ 1.08. Уравнения относительного движения в цилиндрических
координатах	235
§ 1.09. Уравнения абсолютного движения в сферических координатах	237
§ 1.10. Уравнения относительного движения в сферических координатах	238
§ 1.11. Уравнения движения вполярных координатах Ганзена	240
§ 1.12. Уравнения Клеро-Лапласа	242
§ 1.13. Первая каноническая форма уравнений абсолютного движения	243
§ 1.14. Вторая каноническая форма уравнений абсолютного движения	245
§ 1.15. Третья каноническая форма уравнений абсолютного движения	246
§ 1.16. Первая каноническая форма уравнений относительного движения	247
§ 1.17. Вторая каноническая форма уравнений относительного движения	249
§ 1.18. Третья каноническая форма уравнений относительного движения	250
§ 1.19. Уравнения движения систему в ректорной форме	252

Г л а в а 2. Дифференциальные уравнения поступательно-вращательного
движения небесных тел	254

§ 2.01. Углы Эйлера. Кинематические уравнения Эйлера	254
§ 2.02. Силовая функция системы тел	256
§ 2.03. Уравнения поступательно-вращательного движения системы тел в
абсолютной прямоугольной системе координат	257
§ 2.04. Уравнения поступательно-вращательного движения системы тел в
относительной прямоугольной системе координат (первая форма)	259
§ 2.05. Уравнения поступательно-вращательного движения системы тел в
относительной прямоугольной системе координат (вторая форма)	260
§ 2.06. Каноническая форма уравнений поступательно-вращательного
движения системы тел	262

Г л а в а 3. Дифференциальные уравнения возмущенного движения тела
для различных систем оскулирующих элементов	264

§ 3.01. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных	264
§ 3.02. Уравнения Ньютона для кеплеровских оскулирующих элементов
(общий случай)	266
§ 3.03. Уравнения Ньютона для эллиптических кеплеровских
оскулирующих элементов	268
§ 3.04. Уравнения Лагранжа для кеплеровских оскулирующих элементов
(общий случай)	269
§ 3.05. Уравнения Лагранжа для эллиптических кеплеровских
оскулирующих элементов	270
§ 3.06. Уравнения возмущённого движения для канонических элементов
Якоби	271
§ 3.07. Уравнения возмущённого движения для канонических элементов
Делоне	272
§ 3.08. Две системы канонических элементов Пуанкаре	273
§ 3.09. Связь между прямоугольными координатами движущейся точки и
различными системами канонических элементов	274

Г л а в а 4. Дифференциальные уравнения возмущенного движения
задачи n тел для различных систем оскулирующих элементов	276

§ 4.01. Уравнения Ньютона для кеплеровских оскулирующих элементов
(общий случай)	276
§ 4.02. Уравнения Ньютона для эллиптических кеплеровских
оскулирующих элементов	278
§ 4.03. Уравнения Лагранжа для кеплеровских оскулирующих элементов
(общий случай)	279
§ 4.04. Уравнения Лагранжа для эллиптических кеплеровских
оскулирующих элементов	279
§ 4.05. Уравнения возмущённого движения в канонических элементах
Якоби	280
§ 4.06. Уравнения возмущённого движения в канонических элементах
Делоне	282
§ 4.07. Две системы канонических элементов Пуанкаре	282

Г л а в а 5. Специальные функции	284

§ 5.01. Эллиптические интегралы и эллиптические функции	284
§ 5.02. Гипергеометрический ряд и гипергеометрическая функция	291
§ 5.03. Полиномы Лежандра. Функции Лежандра	293
§ 5.04. Присоединённые функции Лежандра	296
§ 5.05. Сферические функции	297
§ 5.06. Цилиндрические функции. Функции Бесселя	299
§ 5.07. Функции Ламе	303
§ 5.08. Полиномы Гегенбауэра. Коэффициенты Лапласа	304
§ 5.09. Числа Коши	308

Г л а в а 6. Разложение возмущающей функции	309

§ 6.01. Разложение возмущающей функции в задаче о движении двух
планет (случай круговых орбит)	309
§ 6.02. Разложение возмущающей функции в задаче о движении двух
планет (случай малых эксцентриситетов и взаимного наклона)	314
§ 6.03. Вековая часть возмущающей функции в двухпланетной задаче	317
§ 6.04. Численные методы разложения возмущающей функции	318
§ 6.05. Полуаналитический метод Брауэра-Клеменса разложения
возмущающей функции	319

Г л а в а 7. Аналитические методы вычисления возмущений координат	322

§ 7.01. Метод Хилла	322
§ 7.02. Метод Ганзена	326
§ 7.03. Метод Брауэра	329
§ 7.04. Метод Лапласа-Ньюкома	333

Г л а в а 8. Аналитические методы вычисления возмущений элементов	335

§ 8.01. Общий вид возмущений элементов. Порядок, степень, ранг и
класс возмущений	335
§ 8.02. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений первого порядка	336
§ 8.03. Метод Лагранжа определения вековых возмущений в
двухпланетной задаче	338
§ 8.04. Основы метода Делоне	340
§ 8.05. Метод Боголюбова	314
§ 8.06. Связь между возмущениями координат и возмущениями элементов	345

Г л а в а 9. Теория движения Луны	347

§ 9.01. Уравнения основной проблемы в теории движения Луны	348
§ 9.02. Разложение возмущающей функции в основной проблеме теории
движения Луны	349
§ 9.03. Решение Делоне основной проблемы в теории движения Луны	351
§ 9.04. Основные этапы построения теории Хилла-Брауна движения Луны	353
§ 9.05. Промежуточная орбита в теории Хилла-Брауна	363
§ 9.06. Общее решение уравнений основной проблемы в теории
Хилла-Брауна	365
§ 9.07. Переход к сферическим координатам	367
§ 9.08. Численные значения постоянных интегрирования и параметров в
теории Хилла-Брауна	368
§ 9.09. Окончательные выражения для долготы V, широты β и синуса
параллакса sinp_L, соответствующие решению основной проблемы	370
§ 9.10. Возмущения Луны, обусловленные притяжением планет, фигурами
Земли и Луны	373
§ 9.11. Уточнение теории движения Луны Хилла-Брауна	375

Г л а в а 10. Теория движения больших планет	377

§ 10.01. Средние элементы орбит внутренних планет	378
§ 10.02. Упрощённые теории движения внутренних планет	379
§ 10.03. Полиномиальное представление оскулирующих элементов орбит
внешних планет	386
§ 10.04. Полиномиальное представление прямоугольных
гелиоцентрических координат Юпитера и Сатурна	386
§ 10.05. Тригонометрическая теория вековых возмущений орбит больших
планет	389

Г л а в а 11. Движение малых тел Солнечной системы	393

§ 11.01. Невозмущённое движение спутников	394
§ 11.02. Возмущения оскулирующих элементов орбит спутников,
вызываемые сжатием планеты	395
§ 11.03. Возмущения в движении спутников, вызываемые притяжением
Солнца	398
§ 11.04. Общие сведения о характере движения малых планет	398
§ 11.05. Возмущённое движение малых планет	399
§ 11.06. Общие сведения о движении комет	402
§ 11.07. Возмущённое движение комет	403

Литература	404

Ч А С Т Ь V
*ЗАДАЧА ТРЁХ ТЕЛ (ГРЕБЕНИКОВ Е. А.)*

Г л а в а 1. Неограниченная задача трёх тел	408

§ 1.01. Различные формы дифференциальных уравнений движения задачи
трёх тел	408
§ 1.02. Лагранжевы решения. Точки либрации	409

Г л а в а 2. Ограниченная круговая задача трёх тел	415

§ 2.01. Дифференциальные уравнения движения. Интеграл Якоби	415
§ 2.02. Поверхность нулевой относительной скорости	413
§ 2.03. Лагранжевы решения ограниченной круговой задачи трёх тел.
Точки либрации	417
§ 2.04. Различные гравитационные сферы	418
§ 2.05. Периодические решения ограниченной круговой задачи трёх тел	421
§ 2.06. Критерий Тиссерана	424

Г л а в а 3. Другие ограниченные задачи трёх тел	425

§ 3.01. Общий случай ограниченной задачи трёх тел	425
§ 3.02. Задача двух неподвижных центров	426
§ 3.03. Задача Хилла	428

Литература	429

Ч А С Т Ь VI
*ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ (АКСЕНОВ Е. П.)*

Г л а в а 1. Возмущения от несферичности Земли	431

§ 1.01. Гравитационное поле Земли	431
§ 1.02. Дифференциальные уравнения движения спутника	435
§ 1.03. Невозмущённое движение искусственного спутника	437
§ 1.04. Возмущения от второй зональной гармоники как функции средней
аномалии	437
§ 1.05. Возмущения от второй зональной гармоники, как функции
истинной аномалии	442
§ 1.06. Возмущения от второй зональной гармоники для орбит с малыми
эксцентриситетами	445
§ 1.07. Возмущения от зональных гармоник высших порядков	448
§ 1.08. Возмущения от тессеральных и секториальных гармоник	452
§ 1.09. Определение постоянных интегрирования	454
§ 1.10. Вычисление возмущённых координат и эфемериды спутника	455

Г л а в а 2. Другие возмущения в движении ИСЗ	457

§ 2.01. Плотность атмосферы	457
§ 2.02. Сила сопротивления атмосферы	460
§ 2.03. Основные возмущения от сопротивления атмосферы	461
§ 2.04. Лунно-солнечные возмущения	462
§ 2.05. Сила светового давления	456
§ 2.06. Возмущения от светового давления (без учёта тени)	467
§ 2.07. Возмущения от светового давления (с учётом тени)	469

Литература	470

Ч А С Т Ь VII
*ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ (РЯБОВ Ю. А.)*

Г л а в а 1. Интерполирование и численное дифференцирование	472

§ 1.01. Таблица разностей функции	472
§ 1.02. Интерполяционные формулы	474
§ 1.03. Обратное интерполирование	475
§ 1.04. Численное дифференцирование	475

Г л а в а 2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений	4?7

§ 2.01. Метод Рунге-Кутта	478
§ 2.02. Метод Адамса	480
§ 2.03. Метод Коуэлла	481
§ 2.04. Метод Штермера для уравнений второго порядка	433
§ 2.05. Метод Коуэлла (1-й вариант)	484
§ 2.06. Метод Коуэлла (2-й вариант)	485
§ 2.07. Накопление ошибок при численном интегрировании	486

Г л а в а 3. Метод наименьших квадратов	487

§ 3.01. Постановка задачи. Условные уравнения	487
§ 3.02. Нормальные уравнения и их решение	488
§ 3.03. Вероятностные оценки ошибок решения нормальных уравнений 488

Литература	489

Ч А С Т Ь VIII
*ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ (ГРЕБЕНИКОВ Е. А.)*

Г л а в а 1. Сведения из вариационного исчисления и математической
теории оптимальных процессов	490

§ 1.01. Понятие функционала	492
§ 1.02. Задача Лагранжа. Множители Лагранжа. Уравнения Эйлера	494
§ 1.03. Первая формулировка задачи Майера	495
§ 1.04. Вторая формулировка задачи Майера	495
§ 1.05. Изопериметрическая задача	496
§ 1.06. Задача Больца	496
§ 1.07. Третья формулировка задачи Майера. Обобщение теоремы
Лагранжа. Характеристические уравнения (обобщённые уравнения
Эйлера-Лагранжа)	497
§ 1.08. Свойство множителей Лагранжа на ломаных экстремалях. Условие
Вейерштрасса-Эрдмана	499
§ 1.09. Принцип максимума Понтрягина	500
§ 1.10. Принцип оптимальности Беллмана	501

Г л а в а 2. Основные уравнения динамики тел переменной массы	503

§ 2.01. Основное уравнение динамики точки переменной массы
(уравнение Мещерского)	503
§ 2.02. Обобщённое уравнение Мещерского	504
§ 2.03. Уравнения движения тела переменной массы в обобщённых
координатах (уравнения Лагранжа второго рода)	505
§ 2.04. Канонические уравнения движения тела переменной массы	505

Г л а в а 3. Некоторые оптимальные задачи динамики полёта в
околоземном пространстве	507

§ 3.01. Уравнения движения ракеты. Формула Циолковского	507
§ 3.02. Развёрнутая форма характеристических уравнений для задачи о
движении ракеты	510
§ 3.03. Определение базис-вектора и р-траектории. Определение
функций переключения	511
§ 3.04. Определение импульсной тяги. Точки соединения на оптимальных
траекториях	513
§ 3.05. Максимизация высоты вертикального подъёма ракеты в
однородном поле тяжести	513
§ 3.06. Максимизация горизонтальной дальности полёта ракеты в
однородном поле тяжести при заданной программе расхода топлива	516
§ 3.07. Общая вариационная задача для движения ракеты в однородном
поле тяжести	518
§ 3.08. Общая вариационная задача для движения ракеты в однородном
поле тяжести при наличии аэродинамического сопротивления	519
§ 3.09. Определение оптимальной программы тяги при вертикальном
подъёме ракеты в неоднородном поле тяготения в сопротивляющейся
атмосфере	521
§ 3.10. Задача о максимизации полной энергии космического аппарата	523
§ 3.11. Задача о минимизации характеристической скорости маневра	524

Г л а в а 4. Межорбитальные перелёты	525

§ 4.01. Простейшая краевая задача	525
§ 4.02. Уравнения для базис-вектора на участке нулевой тяги при
движении ракеты в ньютоновском поле тяготения	526
§ 4.03. Уравнения для базис-вектора на участке промежуточной тяги
при движении ракеты в ньютоновском поле тяготения	527
§ 4.04. Уравнения для базис-вектора на участке максимальной тяги
при движении ракеты в ньютоновском поле тяготения	529
§ 4.05. Метод р-траекторий. Структура оптимальной траектории	529
§ 4.06. Связь между величиной импульса и элементами эллиптической
орбиты	530
§ 4.07. Оптимальный n-импульсный переход между двумя заданными
компланарными эллиптическими орбитами	531
§ 4.08. Оптимальный переход между двумя компланарными круговыми
орбитами	532
§ 4.09. Оптимальный переход между двумя соосными орбитами	534
§ 4.10. Задача о перелёте Земля-Луна	534

Литература	535

Ч А С Т Ь IX
*КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА (ГРЕБЕНИКОВ Е. А.)*

Г л а в а 1. Периодические и условно-периодические решения. Финальные
движения	538

§ 1.01. Метод малого параметра Пуанкаре	538
§ 1.02. Метод Ляпунова	540
§ 1.03. Периодические решения в задачах небесной механики	542
§ 1.04. Почти-периодические функции и их свойства.
Условно-периодические функции	543
§ 1.05. Теорема Арнольда о существовании условно-периодических
решений гамильтоновых систем. Условно-периодические решения в
небесной механике	545
§ 1.06. Финальные движения в задаче трёх тел. Захват и обмен в
задаче трёх тел	548

Г л а в а 2. Проблема интегрируемости и сходимость рядов в небесной
механике	551

§ 2.01. Теорема Пуассона об интеграле гамильтоновой системы	552
§ 2.02. Теорема Брунса о несуществовании алгебраических первых
интегралов задачи трёх тел, отличных от десяти классических
интегралов	553
§ 2.03. Теорема Пуанкаре о несуществовании однозначных аналитических
первых интегралов гамильтоновой системы	554
§ 2.04. Соударения	555
§ 2.05. Решение задачи трёх тел в виде рядов, сходящихся для всех
вещественных значений времени. Теорема Зундмана	558
§ 2.06. Сходимость рядов Хилла в основной проблеме теории движения
Луны	558
§ 2.07. Характер сходимости рядов классической теории возмущений	559
§ 2.08. Теоремы Пуанкаре о ранге и классе возмущений	561

Г л а в а 3. Проблема устойчивости в небесной механике	562

§ 3.01. Определение устойчивости по Ляпунову	562
§ 3.02. Определение орбитальной устойчивости	564
§ 3.03. Другие определения устойчивости	565
§ 3.04. Теоремы Лапласа-Лагранжа и Пуассона об отсутствии вековых
возмущений больших полуосей	566
§ 3.05. Теоремы Лапласа и Арнольда об устойчивости планетных орбит	567
§ 3.06. Теоремы Арнольда об устойчивости решения гамильтоновой
системы в общем эллиптическом случае	569
§ 3.07. Устойчивость лагранжевых равновесных решений задачи трёх тел	570
§ 3.08. Устойчивость движения искусственных спутников	573

Литература	573

Предметный указатель	576

Книги на ту же тему

Приливные движения, Ржонсницкий В. Б., 1979
Математические методы классической механики, Арнольд В. И., 1974
Основы гамильтоновой механики, тер Хаар Д., 1974
Лекции по теории относительности и гравитации: современный анализ проблемы, Логунов А. А., 2005
Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В. В., 1995
Сборник задач по классической механике. — 2-е изд., исправл. и доп., Коткин Г. Л., Сербо В. Г., 1977
Обратные задачи динамики, Галиуллин А. С., 1981
Лекции по теоретической механике, Павленко Ю. Г., 2002
Асимптотические методы нелинейной механики, Моисеев Н. Н., 1969
Механика. — 3-е изд. перераб., Стрелков С. П., 1975
Аналитические алгоритмы небесной механики, Брумберг В. А., 1980
Физика космоса: Маленькая энциклопедия. — 2-е изд., перераб. и доп., Сюняев Р. А., ред., 1986
Курс сферической астрономии. — 3-е изд., перераб. и доп., Куликов К. А., 1974
Теория гироскопов, Николаи Е. Л., 1948
Гравитационное поле, фигура и внутреннее строение Земли, Молоденский М. С., 2001
Математические методы оптимального управления. — 2-е изд., перераб. и доп., Болтянский В. Г., 1968
Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Янг Л., 1974
Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Варга Д., 1977
Элементы теории оптимальных систем, Моисеев Н. Н., 1975
Лекции по математической теории устойчивости, Демидович Б. П., 1967
Функции Ляпунова, Барбашин Е. А., 1970
Партнёры в космосе: американо-российское сотрудничество после «холодной войны», Эйзенхауэр С., 2006
Планеты и жизнь. — 2-е изд., Мухин Л. М., 1980
Занимательно об астрономии, Томилин А. Н., 1970
Космические мосты, Губарев В. С., 1976
Небо и телескоп. — 2-е изд., перераб., Куимов К. В., Курт В. Г., Рудницкий Г. М., Сурдин В. Г., Теребиж В. Ю., 2014
История взорвавшейся планеты, Резанов И. А., 2004
Кометы и их наблюдение, Чурюмов К. И., 1980
Результаты фундаментальных космических исследований в России. 1999—2001. Национальный доклад, Боярчук А. А., ред., 2004
Результаты фундаментальных космических исследований в России. 1999—2001. Справочные материалы к национальному докладу, Боярчук А. А., ред., 2004
Теоретические основы проектирования информационно-управляющих систем космических аппаратов, Кульба В. В., Микрин Е. А., Павлов Б. В., Платонов В. Н., 2006
Проектирование информационно-управляющих систем долговременных орбитальных станций, Кульба В. В., Микрин Е. А., Павлов Б. В., 2002
Оптико-электронные приборы космических аппаратов, Изнар А. Н., Павлов А. В., Федоров Б. Ф., 1972
Радиобиологические эффекты корпускулярных излучений: радиационная безопасность космических полётов, Федоренко Б. С., 2006
Спектрометрия ионизирующих излучений на космических аппаратах, Горн Л. С., Хазанов Б. И., 1979
Искусственные пучки частиц в космической плазме, Гранналь Б., ред., 1985
Системы обеспечения вихревой безопасности полётов летательных аппаратов, Бабкин В. И., Белоцерковский А. С., Турчак Л. И., Баранов Н. А., Замятин А. И., Каневский М. И., Морозов В. В., Пасекунов И. В., Чижов Н. Ю., 2008

elapsed time 0.021 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему