Книга принадлежит перу видного американского математика, известного не только многочисленными научными исследованиями, но и прекрасно написанными учебниками. Многие его статьи и книги переведены на русский язык.

Новый учебник Уолтера Рудина отличается продуманным подбором материала, мастерским изложением, разбором нетривиальных примеров приложений функционального анализа в других областях математики. В книге три основные части: общая теория; распределения и преобразования Фурье; банаховы алгебры и спектральная теория. Наряду с классическими результатами отражены и многие новые факты функционального анализа.

Книга доступна студентам средних курсов математических специальностей университетов и пединститутов. Она, несомненно, окажется полезной всем изучающим или преподающим функциональный анализ.

Имя автора этой книги, американского математика Уолтера Рудина хорошо известно советскому читателю: две из его книг, в том числе учебник математического анализа, переведены на русский язык и получили заслуженное признание. Мы не сомневаемся, что и данный курс функционального анализа должен понравиться всем изучающим или преподающим анализ.

По подбору материала и по уровню требований, предъявляемых к читателю, эта книга занимает особое положение — промежуточное между краткими сравнительно элементарными руководствами и фундаментальными сочинениями (один только внешний вид которых внушает современным студентам суеверный ужас). В принципе её легко одолеет любой студент 3-го курса физико-математической специальности. Большое число хорошо подобранных упражнений разной степени сложности позволяют контролировать понимание при самостоятельном изучении предмета. Сколько-нибудь сложные задачи снабжаются указаниями, порой настолько развёрнутыми, что читатель сможет без особого напряжения восстановить детали.

Вместе с тем активный студент сумеет использовать книгу не только с целью сдать очередной экзамен, но и в качестве доступного источника представлений о «следующем уровне» функционального анализа. Конечно, такие вещи, как теорема Хана-Банаха, преобразование Фурье, обобщённые функции или понятие спектра линейного оператора, стали обязательными для студентов-математиков. Однако идеи общей линейной топологии, основные понятия теории банаховых алгебр, достаточно развёрнутые формы спектральной теоремы пока не входят в обязательные программы. Прочтя (или просто перелистав) книгу, можно получить приблизительное представление о состоянии некоторых классических ветвей функционального анализа. При этом её выгодно отличает хорошее чувство меры: хотя автор является активно работающим специалистом по функциональному анализу, его учебник не перегружен результатами, представляющими интерес только для узкого круга знатоков.

Вместе с тем автор не ограничивается только стандартными приложениями общих теорем функционального анализа, но приводит и такие, которые могут показаться неожиданными. Скажем, во второй части, начинающейся с обобщённых функций, читатель на финише получает асимптотический закон распределения простых чисел.

Книга написана аккуратно, но живо и без излишнего педантизма. При переводе мы старались по возможности сохранить стиль автора. Небольшие погрешности оригинала (в основном опечатки) исправлены без специальных оговорок. На большую часть из них нам любезно указал сам автор, за что мы ему весьма признательны. В наших подстрочных примечаниях чаще всего даются чуть более развёрнутые пояснения, иногда варианты доказательств или дополнительные примеры (разумеется, всю ответственность за эти примечания несём мы, а не автор).

Основной список литературы немного расширен (добавления помечены звёздочкой). В соответствии с замыслом автора этот список остаётся весьма скромным. Наши добавления объясняются исключительно соображениями удобства для русского читателя и главным образом связаны с обилием ссылок в оригинале на один из ещё не переведённых на русский язык учебников У. Рудина.

Библиографические указания (на журнальные статьи) и исторические справки собраны автором в одном из приложений в конце книги. Мы согласны с автором в том, что они не полны, и поэтому вслед за ним рекомендуем читателю не пренебрегать другими источниками библиографической и исторической информации.

В указателе терминов наряду с русскими в ряде случаев сохранены английские наименования, что сделано отчасти с целью облегчить страдания наших коллег — переводчиков и составителей словарей.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Е. А. Горин
В. Я. Лин

Книги на ту же тему

1. Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
2. Функциональный анализ, Иосида К., 1967
3. Теория функций вещественной переменной. — 3-е изд., Натансон И. П., 1974
4. Дополнительные главы математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов, Макаров И. П., 1968
5. Лекции по дополнительным главам математического анализа, Соболев В. И., 1968
6. Функциональный анализ. — 2-е изд., перераб. и доп., Крейн С. Г., ред., 1972
7. Исследования по функциональному анализу и его приложениям, Кусраев А. Г., Тихомиров В. М., ред., 2006
8. Лекции по нелинейному функциональному анализу, Ниренберг Л., 1977
9. Прикладной функциональный анализ, Балакришнан А. В., 1980
10. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, Варга Р., 1974
11. Интегральные уравнения (Введение в теорию), Краснов М. Л., 1975
12. Методы приближённого преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа (справочная книга), Крылов В. И., Скобля Н. С., 1974
13. Ряды Фурье, Толстов Г. П., 1951
14. Теория измеримых множеств и мультимножеств, Петровский А. Б., 2018