| Предисловие | 3 |
| |
 Ч а с т ь п е р в а я |
| ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
| |
| В В Е Д Е Н И Е | 7 |
| |
| § 1. Значение интегральных уравнений для приложений | — |
| § 2. Колебание стержня. Интегральные уравнения Фредгольма | — |
| § 3. Задача Дирихле | 11 |
| § 4. Задача Коши. Интегральные уравнения Вольтерра II рода | 14 |
| § 5. Уравнения Вольтерра как частный случай уравнений Фредгольма | 16 |
| § 6. Задача Абеля. Интегральные уравнения Вольтерра I рода | — |
| § 7. Регулярное ядро | 20 |
| § 8. Случай многих переменных | 21 |
| § 9. Неравенство Шварца | 22 |
| § 10. Ортогональные функции | — |
| § 11. Ортогонализация и нормирование | — |
| § 12. Обобщённые коэфициенты Фурье | — |
| § 13. Неравенство Бесселя | 24 |
| |
| Задачи | 25 |
| |
| Г Л А В А I |
| МЕТОД ИТЕРАЦИЙ | 27 |
| |
| § 1, Приложение метода итераций к уравнениям Фредгольма | — |
| § 2. Итерированные ядра | 29 |
| § 3. Резольвента | — |
| § 4. Уравнения Вольтерра | 30 |
| § 5. Интегральные уравнения резольвенты | 33 |
| |
| Задачи | 34 |
| |
| Г Л А В А II |
| ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА | 35 |
| |
| § 1. Частный случай уравнения Фредгольма | — |
| § 2. Общий случай | 37 |
| § 3. Неравенство Адамара | 46 |
| § 4. Сходимость рядов Фредгольма и переход к пределу | 49 |
| § 5. Интегральные уравнения резольвенты | 51 |
| § 6. Обоснование метода Фредгольма | 54 |
| § 7. Единственность решения | 55 |
| § 8. Первая теорема Фредгольма | — |
| § 9. Вычисление коэфициентов рядов Фредгольма | 56 |
| § 10. Фундаментальные числа | 57 |
| § 11. Решение однородного уравнения. Вторая теорема Фредгольма | 59 |
| § 12. Вывод из первой и второй теорем Фредгольма | 71 |
| § 13. Ортогональность решений | — |
| § 14. Третья теорема Фредгольма | 72 |
| § 15. Вид знаменателя резольвенты для уравнения Вольтерра | 76 |
| § 16. Квази-регулярные интегральные уравнения | 78 |
| § 17. Ядро вида H(x,s)/|x-s|α | 80 |
| § 18. Ядро вида H(M,P)/MP α | 86 |
| § 19. Особые интегральные уравнения | 87 |
| § 20. Особое интегральное уравнение с ядром вида H(|x-s|) | 92 |
| |
| Задачи | 99 |
| |
| Г Л А В А III |
| ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ | 101 |
| |
| § 1. Интегральное уравнение тригонометрических функций | 102 |
| § 2. Ортогональность фундаментальных функций | 109 |
| § 3. Отсутствие мнимых фундаментальных чисел | 110 |
| § 4. Существование фундаментального числа | 111 |
| § 5. Спектр фундаментальных чисел | 115 |
| § 6. Полюсы резольвенты | 117 |
| § 7. Разложение ядра | 119 |
| § 8. Спектр итераций ядра | 122 |
| § 9. Разложение итераций ядра | 125 |
| § 10. Замкнутое ядро | 126 |
| § 11. Теорема Гильберта-Шмидта | 129 |
| § 12. Разложение первой итерации ядра | 133 |
| § 13. Разложение решения уравнения Фредгольма по фундаментальным |
| функциям. Третья теорема Фредгольма | 134 |
| § 14. Разложение резольвенты по фундаментальным функциям | 136 |
| § 15. Классификация симметрических ядер | 139 |
| § 16. Ядро вида K(x,s)p(s) | 140 |
| § 17. Теорема Мерсера | — |
| |
| Задачи | 143 |
| |
| Г Л А В А IV |
| ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА К ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ |
| УРАВНЕНИЙ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ | 144 |
| |
| § 1. Сходимость в среднем | — |
| § 2. Критерий сходимости в среднем | 146 |
| § 3. Почленное интегрирование ряда, сходящегося в среднем | 148 |
| § 4. Минимальное свойство коэфициентов Фурье. Формула и неравенство |
| Бесселя | 150 |
| § 5. Сходимость в среднем ряда Фурье. Равенство замкнутости |
| нормированной ортогональной системы | 151 |
| § 6. Теорема Фишера-Рисса | 153 |
| § 7. Уравнение Фредгольма I рода | 154 |
| § 8. Существование фундаментального числа | 157 |
| § 9. Сходимость в среднем к ядру K(x,s) соответствующего разложения |
| по фундаментальным функциям | 162 |
| |
| Ч а с т ь в т о р а я |
| ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
| |
| Г Л А В А I |
| ОБЩИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ |
| ЛИНЕЙНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ | 165 |
| |
| § 1. Постановка задачи | 171 |
| § 2. Формула Грина | 173 |
| § 3. Функция Грина | — |
| § 4. Фундаментальная теорема Гильберта | 176 |
| § 5. Эквивалентность краевой задачи однородному линейному |
| интегральному уравнению | 179 |
| § 6. Краевая задача с симметрической функцией Грина | 180 |
| § 7. Общие теоремы для краевой задачи с симметрической функцией |
| Грина | 182 |
| § 8. Случай отрицательных фундаментальных чисел | 186 |
| § 9. Замечание относительно случая, когда r(x) в интервале (a, b) |
| обращается в нуль | 189 |
| § 10. Неоднородная краевая задача | 191 |
| § 11. Особый случай краевой задачи | 193 |
| |
| Г Л А В А II |
| РАЗЛИЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, |
| ПРИВОДЯЩИЕСЯ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ |
| ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ | 202 |
| |
| § 1. Колебание струны | — |
| § 2. Распространение теплоты в брусе | 207 |
| § 3. Некоторые вспомогательные результаты вариационного исчисления | 212 |
| § 4. Минимум интеграла Дирихле | 215 |
| § 5. Исследование второй вариации | 221 |
| |
| Г Л А В А III |
| ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА | 223 |
| |
| § 1. Некоторые вспомогательные предложения теории потенциала | — |
| § 2. Логарифмические потенциалы простого и двойного слоя | 230 |
| § 3. Разрывность нормальной производной потенциала простого слоя | 231 |
| § 4. Нормальная производная потенциала двойного слоя | 234 |
| § 5. Внутренняя задача Дирихле | 238 |
| § 6. Внешняя задача Дирихле | 240 |
| § 7. Вторая граничная задача теории потенциала | 243 |
| § 8. Третья граничная задача теории потенциала | 246 |
